雷選華，孔小健，楊文亮

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢430033)

引 言

海水介質(zhì)及海水中的懸浮顆粒決定了光在水中傳播方式［1］，這使得水下激光成像系統(tǒng)在不同海域獲取圖像退化程度差異大，相應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(point spread function，PSF)的不確定性，給圖像處理帶來了較大困難。目前對(duì)水下退化函數(shù)的研究主要集中在模型的建立，主流模型都是建立在海洋光學(xué)理論和小角度前向散射理論基礎(chǔ)上的半經(jīng)驗(yàn)公式［2-3］，但都需要海水固有光學(xué)特性的先驗(yàn)知識(shí)。而對(duì)于實(shí)時(shí)觀測(cè)方面應(yīng)用，動(dòng)態(tài)環(huán)境的變化使得先驗(yàn)知識(shí)獲取較為困難。為此，作者提出了一種基于粒子群優(yōu)化的正則化盲復(fù)原方法，可以在線對(duì)激光水下成像的目標(biāo)圖像進(jìn)行復(fù)原。

1 正則化圖像復(fù)原模型

水下成像系統(tǒng)可用一退化模型表示:

式中，* 表示卷積，f(x，y)是無失真圖像，h(x，y)為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，n(x，y)是噪聲函數(shù)。點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x，y)包含了成像系統(tǒng)自身的系統(tǒng)響應(yīng)和海水介質(zhì)對(duì)成像的影響。由于水體環(huán)境的不確定性，使得相應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的信息不可知，常采用盲圖像復(fù)原技術(shù)［4］。

盲圖像復(fù)原過程中，由于退化過程中噪聲的引入，使其具有病態(tài)性［5］。正則化可將一個(gè)病態(tài)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)穩(wěn)定問題［6］。目前在圖像處理中應(yīng)用最多的有 Tikhonov 正則化方法［7］和全變分(total variation，TV)正則化方法［8］。前者通過最小化來獲取最佳的復(fù)原圖像，表達(dá)式如下:

式中，α1＞0稱為正則化參量，H為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，f為恢復(fù)圖像，g為退化圖像，‖▽f‖2為正則化函數(shù)。

由于Tikhonov正則化算法具有各向同性的擴(kuò)散性質(zhì)，沒有對(duì)邊緣方向和梯度方向加以區(qū)別，導(dǎo)致邊緣模糊。

如果將Tikhonov正則化模型中的梯度平方項(xiàng)改為梯度項(xiàng)，即為全變分正則化函數(shù)，表達(dá)式如下:

式中，α2＞0為正則化參量。

全變分模型是一種非各向同性的擴(kuò)散算法，在去噪的同時(shí)保持邊緣的連續(xù)性和尖銳性，但在圖像的平滑位置可能會(huì)產(chǎn)生虛假輪廓。

根據(jù)兩種模型的特點(diǎn)，采用交替算法，分別用(2)式和(3)式估計(jì)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與恢復(fù)函數(shù)。

1．1 點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)估計(jì)

求解點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)時(shí)，采用Tikhonov模型，根據(jù)交互迭代方法，先固定f，再求解H。

利用變分原理和梯度下降方法，對(duì)(2)式進(jìn)行變換，得到模糊函數(shù)的偏微分方程:

式中，△為拉普拉斯算子，f*為f的伴隨矩陣。其遞推公式表示為:

式中，H(t)表示第t次迭代。

1．2 恢復(fù)圖像估計(jì)

求解恢復(fù)圖像時(shí)，固定H，利用變分原理和梯度下降方法對(duì)(3)式進(jìn)行變換，得到恢復(fù)后的圖像的偏微分方程:

式中，div是散度算子，▽是梯度算子，H*是H的共軛矩陣。全變分泛函在=0處不可微，特別在平坦的光滑區(qū)，這在圖像處理中經(jīng)常遇到。PERONA和MALIK［9］引入單調(diào)遞減函數(shù)，使得方程在同質(zhì)區(qū)圖像被平滑，在邊緣圖像增強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的方程為:

當(dāng)

式中，f(t)表示第t次迭代結(jié)果。

1．3 正則化參量的選取

兩個(gè)正則化參量α1和α2的選取對(duì)算法的收斂及復(fù)原結(jié)果是至關(guān)重要的［7］。α1過大會(huì)引起所估得的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)擴(kuò)散，而過小則其支撐域不能充分地展開。同樣，α2過大使圖像過度正則化，從而丟失大量的圖像細(xì)節(jié)。本文中使用粒子群優(yōu)化算法來指導(dǎo)上述算法參量的選取。

2 基于粒子群智能優(yōu)化算法的參量選取

2．1 粒子群優(yōu)化算法簡(jiǎn)介

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法首先由KENNEDY和EBERHART［10］提出。由于其算法的簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、無需梯度信息、參量少等特點(diǎn)，在連續(xù)優(yōu)化問題和離散優(yōu)化問題中都表現(xiàn)出良好的效果。算法的基本原理可以描述如下:設(shè)問題的解空間為D維，每個(gè)粒子是D維空間中的不同解，假設(shè)N個(gè)粒子在D維搜索空間中以一定的速度飛行，每個(gè)粒子在搜索時(shí)，考慮到了自己搜索到的歷史最優(yōu)點(diǎn)(個(gè)體極值pbest)和群體內(nèi)其它粒子的歷史最優(yōu)點(diǎn)(全局極值gbest)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行粒子的速度和位置更新模型為:

式中，→x，→v分別表示粒子的位置和速度，是一個(gè)D維向量;c1，c2稱為學(xué)習(xí)因子或加速系數(shù)，一般為正常數(shù)。學(xué)習(xí)因子使粒子具有自我總結(jié)和向群體中優(yōu)秀個(gè)體學(xué)習(xí)的能力，從而向自己的歷史最優(yōu)點(diǎn)以及群體內(nèi)或鄰域內(nèi)的歷史最優(yōu)點(diǎn)靠近。學(xué)習(xí)因子對(duì)算法的影響不是太大，但合理選擇可加快算法的收斂速度，通常兩個(gè)學(xué)習(xí)因子的值取為 2［11］。r1和 r2為［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的偽隨機(jī)數(shù);w為加權(quán)因子，限制粒子的最大更新速度，其值一般由最大加權(quán)因子wmax線性遞減到最小加權(quán)因子wmin，即:

式中，t為迭代次數(shù)，tmax為最大迭代值。

2．2 圖像復(fù)原算法描述

基于粒子群優(yōu)化正則化參量過程中，每個(gè)粒子代表了正則化參量α1，α2和平衡參量λ。這樣第i個(gè)粒子用一個(gè)3 維向量 Xi表示，Xi=(αi1，αi2，λi)。由于優(yōu)化的目標(biāo)是搜索最優(yōu)化參量，因此適應(yīng)度函數(shù)用下式計(jì)算:

算法的主要步驟如下:(1)輸入退化圖像;(2)設(shè)置初始化參量，如粒子數(shù)量、迭代次數(shù)等;(3)用(5)式計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的估計(jì)值;(4)用(6)式計(jì)算恢復(fù)函數(shù)的估計(jì)值;(5)迭代次數(shù)是否到達(dá)設(shè)定的值，如到達(dá)，轉(zhuǎn)到第(10)步，否則，轉(zhuǎn)到第(6)步;(6)用(12)式計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)值;(7)將適應(yīng)度函數(shù)值與自身的歷史最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest進(jìn)行比較，如果適應(yīng)度函數(shù)值優(yōu)于pbest與gbest，則替換;(8)用(9)式、(10)式更新粒子的速度與位置;(9)轉(zhuǎn)到第(3)步;(10)輸出相應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與恢復(fù)函數(shù)的估計(jì)值。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了評(píng)判算法對(duì)圖像復(fù)原的效果，實(shí)驗(yàn)中采用信噪比來客觀地衡量復(fù)原圖質(zhì)量的優(yōu)劣，信噪比RSNR定義如下:

分別采用模擬退化圖像和實(shí)際水下成像圖像來驗(yàn)證算法的性能。

3．1 模擬退化圖像的復(fù)原實(shí)驗(yàn)

在模擬退化圖像實(shí)驗(yàn)中，本文中采用了經(jīng)典的單通道灰度圖像“checkerboard”，如圖1所示。圖像的像素大小均為256×256。用于模糊圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分別為高斯模糊(像素大小為7×7，方差為25)，其中高斯PSF采用MATLAB中的“fspecial”函數(shù)生成。

Fig.1 The tested imagesa—checkerboard images b—degraded images

圖2 分別是用Tiknonov正則化復(fù)原方法(方法1)、TV正則化復(fù)原方法(方法2)及本文中提出的方法(方法3)的復(fù)原結(jié)果。方法1的正則化參量為0.006;方法2的正則化參量為0.004;方法3的參量為α1=0．0053，α2=0．0002，λ =0.003。從圖 2 中可看出，圖2a噪聲比圖2b噪聲小，但邊緣較圖2b模糊，而圖2c的性能都高于前兩者。表1中計(jì)算了不同圖像的信噪比。

Fig.2 Results comparison of three methods a—result of method 1 b—result of method 2 c—result of method 3

Table 1 Image restoration comparison of several methods

3．2 水下圖像復(fù)原

對(duì)水下圖像進(jìn)行處理如圖3所示，藍(lán)綠激光距離選通水下成像系統(tǒng)獲取的原始圖如圖3a所示，圖3b～圖3d是不同方法處理的結(jié)果。圖3表明，本文中提出的方法圖像復(fù)原結(jié)果優(yōu)于其它兩種方法。

為了評(píng)估提出算法的可靠性及收斂性能，選用不同的種群數(shù)目，對(duì)同一幅圖像進(jìn)行5次獨(dú)立運(yùn)算。計(jì)算每次迭代次數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)，再取平均。在圖4中繪制出其運(yùn)算結(jié)果，圖中曲線表明，種群數(shù)大于5的收斂速度及性能穩(wěn)定可靠。種群數(shù)較少時(shí)，參量的選擇不當(dāng)可能使算法進(jìn)入局部最優(yōu)。

Fig.3 Restoration results for real underwater imagesa—real underwater image(RSNR=23.8dB)b—result of method 1(RSNR=36.2dB)c—result of method 2(RSNR=34.7dB)d—result of method 3(RSNR=36.8dB)

Fig.4 The convergent curve for method 3

4 結(jié)論

針對(duì)不同海域點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)變化的情形，提出了一種交替正則化盲復(fù)原方法對(duì)水下圖像進(jìn)行恢復(fù)，通過對(duì)正則化算子的改進(jìn)，用粒子群算法對(duì)參量進(jìn)行優(yōu)化。通過對(duì)仿真圖像及實(shí)際水下圖像處理表明，所提出的算法在性能及收斂速度均能滿足實(shí)際要求。

［1］ GE W L，HUA L H，ZHANG X H.Simulation and experiment of change rule of water backscattering light energy［J］.Laser Technology，2013，37(6):756-759(in Chinese).

［2］ GRAY D J.Order-of-scattering point spread and modulation transfer functions for natural waters［J］.Applied Optics ，2012，51(28):6753-6764.

［3］ HOU W L，WOODS S，JAROSZ E，et al.Optical turbulence on underwater image degradation in natural environments［J］.Applied Optics，2012，51(14):2678-2686.

［4］ FANG H Zh，YAN L X.Multiframe blind image deconvolution with split Bregman method［J］.Optik-International Journal for Light and Electron Optics，2014，125(1):446-451.

［5］ PRADEEPA D S，RODNEY A K.Regularized image restoration，image restoration-recent advances and applications［M］.Rijek，Croatia:In Techopen，2012:145-170.

［6］ HABSEN P C.Rank-deficient and discrete ill-posed problems:numerical aspects of linear inversion［M］.Philadelphia，USA:Society for Industrial and Applied Mathematics，1997:69-97.

［7］ TIKHONOV A N.On solving incorrectly posed problems and method of regularization［J］.Dokl Acad Nauk USSR ，1963，151(3):501-504.

［8］ RUDIN L I，OSHER S，F(xiàn)ATEMI E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physica，1992，D60(4):259-268.

［9］ PERONA P，MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intlligence，1990，12(7):629-639.

［10］ KENNEDY J，EHERHART R C.Particle swarm optimization［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Neural NetworksⅣ.New York，USA:IEEE，1995:1942-1948.

［11］ SHI Y，EBERHART R C.Empirical study of particle swarm optimization［C］//IEEE Congress on Evolutionary Computation.New York，USA:IEEE，1999:1945-1950.