李 飛，李國(guó)林，尹洪偉

(海軍航空工程學(xué)院 七系，山東 煙臺(tái)264001)

1 引 言

雷達(dá)數(shù)據(jù)處理器和雷達(dá)信號(hào)處理器是現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中的兩大重要組成部分。雷達(dá)接收到的信號(hào)首先要在信號(hào)處理器中進(jìn)行處理，從而達(dá)到抑制雜波、干擾信號(hào)和檢測(cè)目標(biāo)信號(hào)的目的［1］。在現(xiàn)代電子戰(zhàn)環(huán)境下，一般認(rèn)為全頻段電子戰(zhàn)接收機(jī)每秒將面臨30～100 萬(wàn)個(gè)脈沖流［2］。如何在日益復(fù)雜的電磁戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中識(shí)別有用的雷達(dá)信號(hào)是雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域所面臨的棘手問(wèn)題。此時(shí)，盲信號(hào)處理(Blind Signal Processing，BSP)技術(shù)是極佳的選擇。

盲信號(hào)處理是目前信號(hào)處理中最熱門的新興技術(shù)之一［3］。盲源分離(Blind Source Separation，BSS)作為盲信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，其特點(diǎn)是在傳輸信道特性和源信號(hào)分布未知的情況下，僅從傳感器陣列或轉(zhuǎn)換器輸出的觀測(cè)信號(hào)中恢復(fù)源信號(hào)的波形。盲源分離技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、通信、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域［4－6］。

本文針對(duì)雷達(dá)接收機(jī)接收到的多路混合信號(hào)，參考Choi 所提出的基于非平穩(wěn)信號(hào)去相關(guān)算法［7］，提出了一種新的構(gòu)造協(xié)方差矩陣的方法，減少了噪聲影響。由于新構(gòu)造的協(xié)方差矩陣為正定對(duì)稱矩陣，利用Hadamard 不等式提出的代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣聯(lián)合對(duì)角化，從而完成信號(hào)分離的目的。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明了本算法的有效性。

2 盲源分離數(shù)學(xué)模型

典型的盲源分離模型如圖1所示［3］。

圖1 盲源分離基本框圖Fig.1 Basic block diagram of blind source separation

圖中，S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T是n 維源信號(hào)，H 是m×n 階混合矩陣，v(t)是加性噪聲，在盲分離問(wèn)題中這些參數(shù)認(rèn)為是未知的;X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xm(t)］T是m 維接收信號(hào)，Y(t)=［y1(t)，y2(t)，…，yn(t)］T為分離信號(hào)，W 是n×m 階分離矩陣，即

將式(1)代入式(2)得。

式中，G 為全局變換矩陣。在盲分離中，全局變換矩陣G 可表示為

式中，P 為排列矩陣，即每一列只有一個(gè)非零元素;D 為對(duì)角矩陣。正是由于全局變換矩陣的這種形式，導(dǎo)致分離信號(hào)排序和幅度的不確定性。另外，需要說(shuō)明的是，根據(jù)算法的不同，在盲源分離問(wèn)題中，要求源信號(hào)是相互獨(dú)立或不相關(guān)的，在利用基于高階累積量或信息論的盲分離方法中，還要求源信號(hào)中高斯分布的源信號(hào)不多于一個(gè)。

3 算法描述

本算法研究的是適定情況下的盲源分離問(wèn)題，即接收信號(hào)的數(shù)目與源信號(hào)的數(shù)目相等。

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在盲分離前，通常對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行時(shí)間、空間或空－時(shí)解相關(guān)等相應(yīng)的預(yù)處理，以此改善系統(tǒng)的收斂特性，并消除冗余或減少噪聲［3］。

首先將接收信號(hào)零均值化，即

式中，xi(t)為接收信號(hào)中第i 路信號(hào)，N 為采樣點(diǎn)數(shù)。

對(duì)比式(1)所描述的接收信號(hào)模型，若不能準(zhǔn)確知道噪聲的協(xié)方差矩陣，則在信噪比不高的情況下，將會(huì)嚴(yán)重影響分離結(jié)果。基于以上原因，采用如下方法重新構(gòu)造接收信號(hào)協(xié)方差:

式中，＜·＞為平均算子，計(jì)算方式與求均值相同。此時(shí)協(xié)方差矩陣Rx(p)為對(duì)稱矩陣，p 代表延時(shí)，根據(jù)不同的延時(shí)pk，由式(6)可得k 階接收信號(hào)協(xié)方差矩陣組為

對(duì)式(8)中的元素進(jìn)行特征值分解(EVD):

因?yàn)槭沁m定盲分離問(wèn)題，保證了Σ 中包含了n個(gè)特征值，U 包含了n 個(gè)特征矢量。設(shè)Σ 中各元素絕對(duì)值最大為為使協(xié)方差矩陣組R 為正定矩陣，取正實(shí)數(shù)ξ，使得將式(8)協(xié)方差矩陣組中的元素按下式進(jìn)行計(jì)算更新:

式中，I 為單位矩陣。重新按式(8)計(jì)算協(xié)方差矩陣組的特征值分解，得特征值矩陣為Σ1，特征向量矩陣為U1。對(duì)接收信號(hào)x(t)進(jìn)行球化:

3.2 算法推導(dǎo)

在對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理之后，選取一組時(shí)間延時(shí)(p1，p2，…，pl)估計(jì)式(11)的協(xié)方差矩陣，可得協(xié)方差矩陣集合中元素如下式:

由式(2)，得到分離信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

因?yàn)樵葱盘?hào)是不相關(guān)的，故其協(xié)方差矩陣是對(duì)角陣，對(duì)角元素為各分量的自相關(guān)函數(shù)，因此，對(duì)混合信號(hào)的盲分離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式(13)的聯(lián)合對(duì)角化問(wèn)題。由Hadamard 不等式，可得如下目標(biāo)函數(shù)［8］:

式中，D(pi)為協(xié)方差矩陣Ry(pi)的對(duì)角線元素，式(14)其梯度為

因此，

而Ryx(pi)=Ryy(pi)W－T，代入式(17)得

再考慮式(15)右側(cè)第二部分，有

將式(18)、式(20)代入式(15)得代價(jià)函數(shù)梯度為

由牛頓迭代公式，得到分離矩陣更新公式為

Amari 等人［9］已經(jīng)證明，參數(shù)W 在一個(gè)Riemannian 空間真實(shí)最速下降方向不是而是這也被稱為自然梯度，而且Amari 等人也證明采用自然梯度方法會(huì)使全局矩陣G 的收斂性能與混合矩陣H 無(wú)關(guān)。式(20)右端乘以WTW得到基于自然梯度的分離矩陣更新公式為

式中，μ 為更新因子。對(duì)比式(20)和式(21)可知，采用自然梯度算法，分離矩陣在更新時(shí)不必每次計(jì)算矩陣逆，因此算法性能也大大提升。在算法收斂后，根據(jù)式(2)可得到最終的分離結(jié)果。

3.3 算法步驟

本文算法具體步驟如下:

Step 1:根據(jù)式(5)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行去均值處理，式(7)估計(jì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣，取不同延時(shí)pi構(gòu)成協(xié)方差矩陣組;

Step 2:根據(jù)式(9)對(duì)Step 1 估計(jì)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，根據(jù)式(10)對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行正定化處理，根據(jù)式(11)對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行白化處理;

Step 3:根據(jù)式(14)計(jì)算白化后協(xié)方差矩陣組具體代價(jià)函數(shù)形式;

Step 4:根據(jù)式(16)～(22)計(jì)算代價(jià)函數(shù)自然梯度，直至算法收斂，計(jì)算過(guò)程中以WTW 替代W－T，避免迭代過(guò)程中的求逆運(yùn)算;

Step 5:由式(23)估計(jì)出分離矩陣最終形式，根據(jù)式(2)計(jì)算最終分離信號(hào)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

本文采用5 路源信號(hào)，其中感興趣的是第3 路線性調(diào)頻信號(hào)，其余信號(hào)是接收機(jī)接收到的雜波、干擾等無(wú)關(guān)信號(hào)，源信號(hào)如圖2所示。

圖2 源信號(hào)Fig.2 Source signals

圖3是經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換(FFT)后源信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，可見(jiàn)，各信號(hào)頻譜在頻域是相互混疊的，區(qū)分是困難的。

圖3 源信號(hào)頻譜Fig.3 Frequency spectrum of source signals

混合矩陣是隨機(jī)生成的5 階滿秩矩陣，在信噪比為－10 dB條件下，經(jīng)過(guò)線性混合后，接收機(jī)接收到的信號(hào)形式如圖4所示。

分離矩陣初值隨機(jī)生成，取μ =0.001，利用式(23)進(jìn)行迭代直至算法收斂，得到最終解分離信號(hào)如圖5所示。

圖5 本文算法分離信號(hào)Fig.5 Separated signals of the proposed algorithm

取相同參數(shù)，利用FastICA 算法最終分離結(jié)果如圖6所示。

圖6 FastICA 算法分離結(jié)果Fig.6 Separated result of FastICA algorithm

對(duì)比圖2和圖5可見(jiàn)，分離效果是令人滿意的，盡管信號(hào)的順序和幅度均有一定變化，但這并不影響對(duì)信號(hào)的辨識(shí)，同時(shí)也印證了盲分離問(wèn)題中的兩個(gè)不確定性。從圖6可以看出，F(xiàn)astICA 算法雖然完成信號(hào)分離，但分離結(jié)果受噪聲影響較大，信號(hào)時(shí)域波形毛刺較多，對(duì)比圖5，證明在噪聲環(huán)境中，本文算法優(yōu)于FastICA 算法。

算法PI 值計(jì)算公式如式(24)所示［3］:

式中，G 為式(3)中的全局矩陣，gij為矩陣G 第i 行、第j 列元素。算法PI 值越小，說(shuō)明其分離信號(hào)與源信號(hào)越接近。本文算法與FastICA 算法PI 值曲線如圖7所示。

圖7 算法PI 值曲線Fig.6 PI curves of algorithms

從圖7中可以看出，在算法迭代12 次時(shí)，本文算法已經(jīng)穩(wěn)定收斂，而FastICA 算法收斂速度相對(duì)較慢，且PI 值明顯高于本文算法，在證明分離信號(hào)精度方面，本文算法明顯高于FastICA 算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

要進(jìn)行信號(hào)識(shí)別首先需要對(duì)接收到的混合信號(hào)進(jìn)行分離。面對(duì)日益復(fù)雜的現(xiàn)代電磁戰(zhàn)場(chǎng)，針對(duì)雷達(dá)接收機(jī)接收到的混疊信號(hào)，本文提出了一種基于盲源分離的方法。對(duì)于加性噪聲的影響，構(gòu)造了一組新的協(xié)方差矩陣，使其不會(huì)影響分離結(jié)果。在協(xié)方差矩陣對(duì)角化過(guò)程中，采用自然梯度的方法，避免分離矩陣更新過(guò)程中的求逆問(wèn)題，提高了算法的實(shí)時(shí)性。仿真證明了相對(duì)于FastICA 算法，本文算法在噪聲環(huán)境下具有更好的分離性能，為進(jìn)一步的信號(hào)識(shí)別提供了可靠依據(jù)。

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