☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

基于現(xiàn)實(shí)“自然”精彩
——兼與張逢臣、王志進(jìn)兩位老師商榷

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

文1通過探索的方式給出了三個(gè)問題的三個(gè)“自然生成”的解法，通過反復(fù)拜讀，感觸莫深，對(duì)兩位老師給出的這些自然思路實(shí)施了再研究，有了自己的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，有商榷（文1中例1、例2的改進(jìn)思路），也有共鳴（文1中例3的思路），現(xiàn)成文以求切磋.

誠然，問題解法的自然而然，與解題者的文化背景有關(guān)，一個(gè)高中生與初中生面對(duì)同一問題，他們順乎自然的想法可能就不一樣，除了數(shù)學(xué)內(nèi)在的積累差異外，也與思維方式有關(guān)，強(qiáng)定勢(shì)下的思路容易形成，基本套路用的往往熟練，這些容易“上手”的思路可視為自然思路.從數(shù)學(xué)思維的角度來看，自然的想法才是最好的方法，因?yàn)?，自然的想法才是學(xué)生能夠想到的方法，自然的想法才能引起師生之間的共鳴，才能在簡單中彰顯大氣，給人啟迪.另外，這些自然的想法還應(yīng)該是指向核心知識(shí)、核心技能的，是基于通性的方法，它不偏鉆、不怪異、不生澀、不極端、不玄妙、不高蹈.因此，解題教學(xué)切忌用極其繁難的思路方法把學(xué)生弄得頭暈?zāi)X脹，用極其不自然的技巧把學(xué)生弄得茫然四顧.

筆者認(rèn)為，自然的解法就是通俗的解法、常規(guī)的解法，就是從題目條件出發(fā)，每一步跨度不大，容易想到，易于理解，接地氣之法.不過判斷一個(gè)解法是否自然，不同人的看法未必一致，可以說都有自己心中的自然之法.因?yàn)榻夥ㄗ匀慌c否，和解題者本身的知識(shí)素養(yǎng)有很大的相關(guān)度，比如四基的掌握程度、成功解題的案例多少、聯(lián)想及統(tǒng)攝能力、靈活運(yùn)用能力等，難以一概而論.但不管怎樣，承載核心知能、順乎一般思維規(guī)律、接近學(xué)生思維本能的方法就是自然的方法.

本文欲通過例子闡釋上述觀點(diǎn).

一、兩個(gè)基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)的案例

案例1現(xiàn)行人教版八下教材“勾股定理”一章復(fù)習(xí)題17（P39）加進(jìn)了一道拓廣探索題（14題），題目如下：

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h.求證：

大部分老師認(rèn)為這道題難度很大，學(xué)生無從下手.誠然，作為一道探索性問題，應(yīng)該是有難度的，不可能信手拈來，但筆者的學(xué)生完成這一道題目時(shí)卻相對(duì)順利，他們立足勾股定理借力面積關(guān)系很快得證，其思路為：如圖1，由勾股定理知a2+b2=c2，根據(jù)面積關(guān)系知將其代入a2+b2=c2，得a2+b2=等式兩邊同除以a2b2，得

圖1

分析：為何學(xué)生找到這個(gè)思路，其實(shí)是前期工作到位形成的，面積關(guān)系在三角形一章中已經(jīng)滲透，而消去“c”的作法在消元法中已經(jīng)升華為“消除差異”法，到現(xiàn)在就成了自然的思路，至此難題也就不難了.由于課程整合，現(xiàn)在筆者任教的初二學(xué)生已經(jīng)完成了相似性的學(xué)習(xí)，為了與高中接軌還引入了射影定理，再把上述問題給學(xué)生解答，竟然出現(xiàn)了另外一種景觀：

這個(gè)證明從等式的兩端分別入手計(jì)算，殊途同歸，用到的僅是分式的運(yùn)算，這無疑是自然的思路、大眾化的思路，但前提是學(xué)過射影定理.可見，所謂自然思路一定是基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)的思路，這個(gè)現(xiàn)實(shí)由相關(guān)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求和執(zhí)教者的教學(xué)定位.兩個(gè)思路各有千秋，但均基于“自然生成”.

在△ABF和△AND中，

如圖8，過點(diǎn)A作AN的垂線AF，在該垂線上截取AF= AN，連接BF、FM.（或?qū)ⅰ鰽ND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF的位置，使得AD與AB重合，連接BF、FM，或以AM為對(duì)稱軸作△AMN的對(duì)稱圖形△AMF，連接BF）

若將原題中的“中點(diǎn)E”改為“直線BC上任意一點(diǎn)（B、C兩點(diǎn)除外）時(shí)”，結(jié)論AE=EF都能成立．用上述方法同樣可證.

在沒學(xué)習(xí)相似形前，通過教學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)生面對(duì)此題的第一想法是過點(diǎn)F作FH⊥CG，如圖3，想法證△FHE與△ABE全等，但通過努力不能完成而中途放棄，可見這是個(gè)非常自然的思路，但由于知識(shí)的缺位而執(zhí)行不暢，致使思路夭折，然后才探尋其他思路（多種方法構(gòu)造全等形）；而我們教材上是通過提示（取AB的中點(diǎn)G，連接EG）給定的問題，如此問題的指向性就非常明了了，問題也因此缺少了探索性和挑戰(zhàn)性，其實(shí)本題是一個(gè)很好的拓廣探索題，學(xué)生學(xué)完相似形后，再次啟動(dòng)本題的證明，以銜接、落實(shí)學(xué)習(xí)四邊形時(shí)原初的想法，大部分學(xué)生能暢行之，同時(shí)也為深刻理解全等與相似的關(guān)系提供了優(yōu)質(zhì)的載體，可見這一資源的價(jià)值再次被利用.

圖2

圖3

拓展：將點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)，改為邊BC上任一點(diǎn)，同樣能用上述方法證得.設(shè)FH=CH=m，CE=a，BE=b，則AB=a+ b，同上證得△FHE∽△ABE，則變形得am=ab，故m=b，可知△FHE≌△ABE，得證.

如圖2，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF= 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證：AE=AF.

可見這一方法不單單對(duì)于點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)可行，具有一定的通性，所以說這也是很自然的方法，是一般的思路，屬通法之列.但可惜的是在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)相似形之前，此路不通，甚為可惜！故建議把此題移置到相似形一章合適位置，其利用價(jià)值會(huì)更大，因?yàn)樵谒倪呅我徽鲁霈F(xiàn)，構(gòu)造全等形的思路不好形成，有突兀之感，在提示之下，價(jià)值被淡化，起不到應(yīng)有的作用.

通過以上兩例，筆者有理由認(rèn)為，自然之法是基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)的方法，是基于學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的方法，并非一成不變.

二、對(duì)文1三例的個(gè)中之見

例1如圖4，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC= 120°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD的長.

見解一：例1的原初解法其實(shí)是基于對(duì)稱的補(bǔ)形思路，把看似不和諧，有殘?jiān)珨啾谥械膱D形適當(dāng)修補(bǔ)，成為相對(duì)圓滿的圖形，進(jìn)而把已知條件有效組合而得解.應(yīng)該說這個(gè)思路也是一條自然的思路，但有煩瑣之嫌，其煩主要體現(xiàn)在輔助線的構(gòu)建上.

圖4

見解二：文1在原初解法的基礎(chǔ)上通過深度思考探得一法，是著眼于角平分線的性質(zhì)定理聯(lián)想到的方法，應(yīng)該說這是一個(gè)自然的聯(lián)想，因?yàn)榫褪菢?gòu)造出角平分線性質(zhì)定理的模型，然后借力面積法而獲解.相比而言，這一思路似乎前進(jìn)了一步，更通俗一些，但輔助線的條數(shù)并沒減少，筆者認(rèn)為，以上兩種方法在思維量上是伯仲之間，沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展.

見解三：（筆者思路）基于人教版義務(wù)教育八上教材P78例2提煉的思路一：角平分線+平行線=等腰三角形.

解法一：如圖5，過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA延長線于點(diǎn)E，由于∠BAC=120°，而AD平分∠BAC，所以∠AED=∠BAD= 60°，∠ECA=∠CAD=60°，推知△AEC為正三角形，即有CE=AE=3，由于CE∥AD，所以△ABD∽△EBC，則，代入數(shù)據(jù)得故 AD=2.

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題使用的思路就是等腰三角形學(xué)習(xí)時(shí)的常規(guī)思路“角分線+平行線=等腰三角形”的基本模型，兩條輔助線就足夠了，說白了其實(shí)就是一條輔助線——平行線，另外一線是被動(dòng)之下自然生成的線，可見其構(gòu)圖的基本化和思路的簡潔性，文1中的角平分線性質(zhì)嫁接面積法確實(shí)是順乎其理的方法，但如此解答是不是更基本.實(shí)踐證明，面積法縱然好用，但學(xué)生用起來并不像我們老師一樣駕輕就熟，對(duì)有些同學(xué)來說甚至是個(gè)“盲點(diǎn)”，當(dāng)然這可能和平日的教學(xué)定位有關(guān).如此說來，所謂的通法、自然解法顯然是立足學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)的，因此我們認(rèn)為，教科書上滲透的方法都可稱之為基本方法，或者說是自然方法；另外，我們?cè)谧非笞匀唤夥ǖ耐瑫r(shí)也要注意方法的優(yōu)化，一個(gè)題目思路眾多，需要我們開放思維去直面，開拓我們的思路、開闊我們的視野，對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展是有諸多好處的.筆者認(rèn)為，這個(gè)解法更簡潔、更通俗，因?yàn)槠叫芯€這條輔助線是再普通不過的了，它是平移變換的執(zhí)行者，這應(yīng)該是輔助線的開端，是平行公理的直接效能，值得我們研究.

如圖9，連接BD，過點(diǎn)M作MH⊥

圖6

圖7

解法三：沿著以上思路思考下去，其實(shí)過線段BC內(nèi)部的點(diǎn)D作平行線也可，如圖7，可證△ADE為正三角形，即AD=DE=AE，設(shè)AD=x，則，故x=2.可見此時(shí)只需要一條輔助線，當(dāng)然本解法與前面兩種解法并無二致，都是基于角平分線聯(lián)想等腰三角形的基本想法，但其簡捷易行可見一斑.

當(dāng)然簡單未必是自然，有可能是神來之筆、妙手偶得，可本思路應(yīng)該不屬此類，也不是自己的方法就是“自然而然”，他人的方法就是“天外來物”的自我辯護(hù).同仁自有明斷，懇請(qǐng)交流.

例2證明：方程x8-x5+x2+x+1=0無實(shí)數(shù)根.

原文證明過程略.

點(diǎn)評(píng)：在此舉這樣的例子，筆者不清楚作者何意？因?yàn)檫@樣的方程顯然不是基于初中生的，否則，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了課標(biāo)的底線，若不是對(duì)初中生而言，最起碼是高中生吧，立方差公式應(yīng)該是高中生熟知的，原變形應(yīng)該說是很自然的思路，消元、降次應(yīng)然是面對(duì)整式方程問題最原初的想法，故而把方程變形為x5（x3-1）+x2+x+1=0，即x5（x-1）（x2+x+1）+x2+x+1=0，（x6-x5+1）（x2+x+1）=0，對(duì)高中生而言不失順暢，剛才的變形可謂舉手之勞，至此，剩下的任務(wù)就是識(shí)辨x6-x5+1=0是否有解？

而文1中作者的解法與原解法并非有本質(zhì)區(qū)別，一開始通過降次處理，將原方程化歸為兩個(gè)因式的積，再行判斷符合問題求解的一般思路，解法是自然的，直至x6-x5+1=0是否有解的判斷，引發(fā)了分類討論，剩下的思路基本等同于作者的思路.其實(shí)到（x6-x5+1）（x2+x+1）=0時(shí)，自然分化為兩個(gè)方程x2+x+1=0和x6-x5+1=0，而兩個(gè)思路對(duì)第一個(gè)方程均用配方做出的說明，既然是一元二次方程，用“根的判別式”直接判斷不可以嗎？筆者認(rèn)為，不管是初高中哪類學(xué)生，一元二次方程實(shí)根的存在情況，用根的判別式更自然、更一般，更逼近學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).

筆者想，可能因?yàn)樵C法與作者證法相比多了點(diǎn)思維回路，就認(rèn)為不是自然解法了，面對(duì)x6-x5+1=0時(shí)與面對(duì)原題時(shí)，分類的節(jié)點(diǎn)更容易發(fā)現(xiàn)，不然為何瞄準(zhǔn)了0和 1的節(jié)點(diǎn)展開分類，是不是有點(diǎn)突兀？總之，兩個(gè)解法半斤八兩，彼此難說自然與否！

（7）孔斜超規(guī)的預(yù)防及處理措施。經(jīng)常校核桅桿的垂直度，銑頭中心應(yīng)與開槽中心吻合；銑削槽孔時(shí)，根據(jù)地層的情況，選擇合適的銑輪轉(zhuǎn)數(shù)和銑削給進(jìn)力。

例3 略.

筆者為文1對(duì)這個(gè)例題的處理叫好.因?yàn)樽髡呓o出的方法確實(shí)是一般的思路——消元，進(jìn)一步說是消除差異元，而原思路是構(gòu)造函數(shù)，給人玩高空雜技的感覺，讓人望而生畏，這種技法難以飛到平民百姓家，而消除差異法就是平民之路，人人能為、可為，且有效.當(dāng)然，原題的作者可能以此為例來闡明構(gòu)造函數(shù)的方法，我們的認(rèn)識(shí)或許偏離了作者的初衷，斷章取義.但就這個(gè)問題來說也應(yīng)屬于遠(yuǎn)離學(xué)生的題目，洋溢著競賽題的味道.若作為教學(xué)之外的探研，還是值得稱道的.

三、兩道中考題釋解別樣的“自然”

自古以來，用線造型就是人類觀察自然、表現(xiàn)對(duì)象最常用的一種方式。無論是西方藝術(shù)還是東方藝術(shù)，無論是古典還是當(dāng)下，“線”的繪畫表現(xiàn)是他們的共同點(diǎn)，在奔放的線條旋律中，展現(xiàn)出美學(xué)的“概括”和“個(gè)性化”的藝術(shù)語言。可以說，在素描造型藝術(shù)中線條的表現(xiàn)包含著重要的審美特質(zhì)和諸多的審美元素，在藝術(shù)史的發(fā)展進(jìn)程中，在各個(gè)“流派”和各式“主義”的名家的作品中、手稿里，線性素描在繪畫中都顯現(xiàn)出獨(dú)特的藝術(shù)魅力和無可代替的視覺特點(diǎn)。

（1）若正方形的邊長為a，求BM·DN的值；

圖8

（2）若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀并證明你的結(jié)論.

解析：（1）BM·DN=AB·AD=a2，過程略.

（2）以BM、DN、MN所組成三角形為直角三角形，證明如下：

⑩ 劉 譯 ：Pleased that he can practice the ancient Way...[4]38

案例2現(xiàn)行人教版八下教材“平行四邊形”一章復(fù)習(xí)題18（P69）拓廣探索的14題，題目如下：

因?yàn)椤?+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，所以∠1=∠3.

WV-CNN中文文本語義相似度計(jì)算模型由三部分組成：第一部分是對(duì)輸入文本進(jìn)行詞語向量化表示，通過對(duì)中文語句進(jìn)行分詞、編碼、生成向量的過程獲得文本的詞向量，將其作為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)的輸入；第二部分是即為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)，設(shè)置了卷積、Dropout、池化和Flatten4層，通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行選擇和訓(xùn)練，得到優(yōu)化的參數(shù)和結(jié)果；第三部分是輸出，即文本語義相似度的結(jié)果。

因?yàn)锳B=AD，∠1=∠3，AF=AN，

數(shù)學(xué)是一種文化，更是一種精神，數(shù)學(xué)文化通過其內(nèi)涵極大地影響了人類的道德和社會(huì)生活。人類用這種正能量思維拓寬視野，加強(qiáng)科學(xué)人文精神學(xué)習(xí)。在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中融入相關(guān)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)理性精神，更好地將數(shù)學(xué)與人文融合，使數(shù)學(xué)課不再枯燥，洋溢著濃郁的人文精神。例如在介紹極限概念時(shí)，可介紹我國古代《莊子》一書中的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”，把極限的動(dòng)態(tài)過程及其歸宿描寫得十分透徹傳神。將數(shù)學(xué)史內(nèi)容貫穿于課堂教學(xué)，可使數(shù)學(xué)教學(xué)中的德育功能得到更好的發(fā)揮。

所以△ABF≌△ADN，所以BF=DN，∠FBA=∠NDA= 135°.

本文以對(duì)硝基苯甲腈為原料、甲醇鈉為催化劑進(jìn)行脒基化反應(yīng)，合成了對(duì)硝基苯甲脒，通過傅里葉紅外光譜儀對(duì)產(chǎn)物的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了表征，并通過考察反應(yīng)時(shí)間、物料配比等因素對(duì)收率的影響，確定了最佳反應(yīng)條件?？紤]到目前企業(yè)的生存與生產(chǎn)過程產(chǎn)生的“三廢”存在直接聯(lián)系，研究了母液套用次數(shù)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量及收率的影響，為企業(yè)生產(chǎn)減少“三廢”提供了數(shù)據(jù)，有利于企業(yè)的平穩(wěn)生產(chǎn)。

因?yàn)椤螰AN=90°，∠MAN=45°，

所以∠1+∠2=45°=∠FAM=∠MAN.

在△AFM和△ANM中，

通過上述處理后，小面積的塌方得到了有效解決，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，最主要的還是要做好塌方的預(yù)防措施，避免同樣的事故再次出現(xiàn)，具體如下：

因?yàn)锳F=AN，∠FAM=∠MAN，AM=AM，

所以△AFM≌△ANM，所以FM=NM.

所以∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°，所以∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°.

所以△FBM為直角三角形.

因?yàn)镕B=DN，F(xiàn)M=MN，故以BM、DN、MN為三邊的三角形為直角三角形.

測(cè)試的工況油流阻為139 L/min、迎風(fēng)面風(fēng)速10 m/s、液氣溫差40℃，環(huán)境溫度24.5℃，測(cè)試的數(shù)據(jù)如表2(普通型切口翅片和加強(qiáng)型切口翅片產(chǎn)品換熱性能數(shù)據(jù)表)。

筆者的思路探尋與解法：（僅限于第（2）小題）

不難發(fā)現(xiàn)BM、DN和MN三條線段可以看作是梯形的兩底一腰，只要把BD一連，一個(gè)直角梯形就顯現(xiàn)在我們面前，剩下的任務(wù)無非就是尋找直角梯形兩底與一腰的關(guān)系，這類問題我們有非常樸素的經(jīng)驗(yàn)，作梯形的高，這就是基本套路，也就是自然而然的思路.然后通過“勾股定理”把它們鏈接在一起，剩下的任務(wù)就是代數(shù)變形了.這些想法更接近學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，更貼近我們的數(shù)學(xué)教材，尤其重要的是這道題目兩小問之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)之魅力才能得到更好的展現(xiàn).

在全國組織工作會(huì)議上，習(xí)近平總書記發(fā)表重要講話，首次提出新時(shí)代的組織路線：全面貫徹新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想，以組織體系建設(shè)為重點(diǎn)，著力培養(yǎng)忠誠干凈擔(dān)當(dāng)?shù)母咚刭|(zhì)干部，著力集聚愛國奉獻(xiàn)的各方面優(yōu)秀人才，堅(jiān)持德才兼?zhèn)?、以德為先、任人唯賢，為堅(jiān)持和加強(qiáng)黨的全面領(lǐng)導(dǎo)、堅(jiān)持和發(fā)展中國特色社會(huì)主義提供堅(jiān)強(qiáng)組織保證。

解法二：既然能過點(diǎn)C作平行線，那過點(diǎn)B應(yīng)該也能行，一試成功，如圖6，過程略，此時(shí)輔助線的條數(shù)等同于解法一. A

DN，垂足為H，可證四邊形MNDB為直

例4（2014年菏澤市）已知：如圖8，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN.

楚艷出生在陜西省西安市一個(gè)文藝愛好者家庭，古都的歷史遺跡，啟蒙著楚艷對(duì)美的感知——從小，碑林、青龍寺就是她的游樂園，十多歲的年紀(jì)，沒事就背著畫板，在陜西歷史博物館里描摹唐代仕女圖、宋代陶俑。

圖6給出了模擬電弧故障的過程，當(dāng)電弧再次發(fā)生時(shí)，文獻(xiàn)[13]中的初級(jí)電弧模型開始生效并產(chǎn)生初級(jí)電弧特性。在每個(gè)時(shí)間步長下，通過求解電弧方程可以得到電弧電導(dǎo)率，而電弧電導(dǎo)率的倒數(shù)則通過TACS轉(zhuǎn)化為時(shí)變電弧電導(dǎo)。次級(jí)電弧是一種受多種因素的影響高度復(fù)雜現(xiàn)象，在斷路器打開后，利用文獻(xiàn)[14]中基于具有重燃電壓特性的反向并聯(lián)雙二極管電路的仿真技術(shù)對(duì)次級(jí)電弧進(jìn)行仿真。通過EMTP線路常數(shù)程序計(jì)算線路參數(shù)，同步電機(jī)（SM）和TACS用于核電站的調(diào)速器和勵(lì)磁系統(tǒng)[15]，在750 kV架空輸電線路系統(tǒng)的雙回路中線路1上產(chǎn)生故障，如圖7所示。

圖9

這個(gè)方法，立足圖形現(xiàn)有的元素，用最通俗的作梯形高輔助線（小學(xué)生都會(huì)的輔助線），然后借助勾股定理構(gòu)建起相關(guān)給定三線段的數(shù)量關(guān)系，借力問題中獲得的結(jié)論變換而得三線段的平方關(guān)系，根據(jù)勾股定理逆定理敲定問題的答案.相比之下，這個(gè)方法脫胎于學(xué)生學(xué)習(xí)“四邊形”一章的基本經(jīng)驗(yàn)，通俗自然，更貼近學(xué)生.

若從題目本身承載的效能來說，標(biāo)準(zhǔn)答案制定成第二個(gè)思路的形式，更能體現(xiàn)題目命制的精妙.因?yàn)橛玫谝粋€(gè)思路，第一問就是擺設(shè)，兩個(gè)子問題不搭界，彼此不相往來；若用第二個(gè)思路境界就不同了，第二問有機(jī)鏈接了第一問，兩個(gè)子問題渾然一體，那命題者構(gòu)思的良苦用心才會(huì)真正體現(xiàn)出它的智能價(jià)值來，而不至于出現(xiàn)流于子問題拼湊的嫌疑.正可謂“精彩源于自然”.［2］

例5（2013年濟(jì)寧市）在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE，如圖10.

（1）求證：AF=BE；

圖10

圖11

（2）如圖11，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，MP⊥NQ，MP與NQ是否相等？并說明理由.

解析：（1）證明略.

（2）MP=NQ.理由如下：

如圖12，過點(diǎn)A作AF∥MP交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于點(diǎn)E，則四邊形AMPF、BNQE都是平行四邊形，所以MP=AF，NQ=BE，由（1）知AF=BE，即得MP= NQ.

水庫塌岸影響因素主要有地形地貌、巖層結(jié)構(gòu)和巖性、水的作用、波浪作用、沿岸流及凍融作用、水流沖刷及水庫淤積等。

圖13

圖12

評(píng)析：從試題制定的答案來看，是想把第一問的結(jié)論遷移過來成為第（2）問的接力點(diǎn)，如此充分體現(xiàn)了化歸的思想方法，但從學(xué)生的解答來看，很多孩子沒有關(guān)注第（1）問的狀況，而是另起鍋灶，把互相垂直的兩條線段分別置于全等的直角三角形中，通過全等去落實(shí)證明（圖13）.哪一個(gè)是基本思路、自然思路？從邏輯關(guān)聯(lián)的角度去思考，答案制定的很好，把兩個(gè)小問鏈接在一起，形成遞進(jìn)式關(guān)聯(lián)，便于學(xué)生形成良好的思維序列，從該層意義上說，答案的解法應(yīng)該說是合乎自然的方法，是基于問題發(fā)展區(qū)的方法；若從學(xué)生的解答來看，另起鍋灶者不在少數(shù)，說明這個(gè)想法也是學(xué)生容易想到的.再往大的范圍擴(kuò)充，這個(gè)方法也是基于平移變換而構(gòu)建的，不過一個(gè)是平移“目標(biāo)線”，一個(gè)是平移“背景圖的線”，從而出現(xiàn)了不同的基本范式：平行四邊形模型和全等三角形模型.可見自然的思路并非非此即彼，它們往往融匯于一體，上溯至道的高度或許就是同“源”之分“流”.

例5若把兩個(gè)子問題視為單個(gè)的題目，這兩個(gè)思路可以說均為自然而然的思路，但若從兩個(gè)子問題的關(guān)聯(lián)來看，哪一個(gè)思路更能體現(xiàn)自然而然？顯然是第一個(gè)，因?yàn)橥ㄟ^構(gòu)造把第二個(gè)一般問題化歸成了第一個(gè)特殊狀態(tài)的問題，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)得淋漓盡致，這種化歸遷移力是學(xué)生學(xué)力的體現(xiàn).

因此說，所謂“自然生成”的想法其實(shí)是基于背景的，不可絕對(duì)化.此時(shí)的“通法”可能是彼時(shí)的“特技”，自然的變得不自然，但境移物換，不自然的或許升值為自然.

降水量是衡量一個(gè)地區(qū)降水多少的數(shù)據(jù)，指從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)（經(jīng)融化后）水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的深度［5］。降水觀測(cè)是研究流域或地區(qū)水文循環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸入項(xiàng)目，是水資源最重要的基礎(chǔ)資料之一，對(duì)于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利開發(fā)、江河防洪和工程管理等具有深遠(yuǎn)的意義。

四、自然解法的探尋也應(yīng)因材施教

對(duì)這個(gè)給定的題目而言，可用整體意識(shí)，兩個(gè)方程相加，問題隨即化解，但一般的思路是把m視為已知數(shù)解二元一次方程組，再瞄準(zhǔn)目標(biāo)求解，一波三折，要說哪一種方法自然，當(dāng)然是解方程組，但一些思維活躍、整體意識(shí)強(qiáng)的學(xué)生選擇法一也是很自然的事情，其實(shí)解決的也是“一類”問題，只不過這類問題需要更苛刻的條件，并不是只適用于那“一個(gè)”問題之法.

從思維的視角來說，以上兩個(gè)思路其實(shí)體現(xiàn)的是不同的思維層次，有的同學(xué)觀察的入木三分，有的僅浮于表面，表現(xiàn)在具體的操作上就有了別異的思路，何為自然，在這里似乎難以定奪，因人而異，對(duì)此人自然對(duì)彼人可能高不可攀，因此，自然就是逼近本質(zhì)，探得真意.對(duì)此題而言，一加了事更能凸顯題目的本真，而解方程組不過是循規(guī)蹈矩，且有迂回之嫌.

五、寫在后面

可見，所謂的自然思路是基于現(xiàn)實(shí)的，這個(gè)現(xiàn)實(shí)或許是學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)與知能儲(chǔ)備，或許是學(xué)生的慣性思路或熟練技法，或許是特有的問題背景等.但不論如何，我們也不能因?yàn)椤白匀弧倍裾J(rèn)孩子的認(rèn)知，要基于課標(biāo)的要求兼顧學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，落實(shí)好教學(xué)，積淀、積累通性通法，破解應(yīng)然之法，在不懈的探索中使更多的應(yīng)然變?yōu)閷?shí)然，以壯大學(xué)生的“自然思路”之庫.在教學(xué)中，盡可能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決過程中享受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔之美、自然之美、和諧之美，“盡可能少用“技巧”舞弄“玄妙”，多用“通俗”演繹“精彩”.［3］

自然之法就是道法，就是濾掉沉渣而呈現(xiàn)澄澈的本真之法，是順其自然、渾然天成的簡單之法，就是逼近數(shù)學(xué)核心知識(shí)、核心技能、核心思想的內(nèi)在規(guī)律之法，“道法自然”就是這個(gè)道理！

1.張逢臣，王志進(jìn).探索解題方法自然生成的軌跡［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（4）.

2.邢成云.別解見證關(guān)聯(lián)常規(guī)凸顯不凡［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（2）.

3.李文明.“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”——2014年高考福建卷數(shù)學(xué)壓軸題另解與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.H