吳成富, 邵朋院

(西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人機(jī)特種技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710065)

基于改進(jìn)函數(shù)替換法的變形無(wú)人機(jī)LPV系統(tǒng)建模

吳成富, 邵朋院

(西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人機(jī)特種技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710065)

為了提高函數(shù)替換法的適用范圍,對(duì)現(xiàn)有的函數(shù)替換法進(jìn)行了分析,提出了一種改進(jìn)的函數(shù)替換法,并使用該方法建立了變形無(wú)人機(jī)的縱向LPV模型。首先,對(duì)現(xiàn)有的LPV系統(tǒng)建模方法進(jìn)行了總結(jié),通過(guò)在函數(shù)替換法基礎(chǔ)上引入部分線性化,使變參數(shù)的選取更為靈活,增強(qiáng)了函數(shù)替換法的實(shí)用性;然后,以變形無(wú)人機(jī)縱向系統(tǒng)為例,給出了基于所提出方法的縱向LPV系統(tǒng)模型;最后,對(duì)所建立模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明,所建立的模型與原始非線性模型近似程度很高,證明了該方法的有效性。

LPV系統(tǒng); 系統(tǒng)建模; 變形無(wú)人機(jī); 函數(shù)替換法

0 引言

在控制工程中,多數(shù)系統(tǒng)均為非線性、時(shí)變且不確定的,如本文研究的變形無(wú)人機(jī)(MUAV)。雖然在理論上非線性控制、魯棒控制和自適應(yīng)控制等先進(jìn)控制方法可以解決上述問(wèn)題,但是在工程實(shí)際中這些方法常常難以應(yīng)用。在工程實(shí)際中,應(yīng)用最多的仍然是基于線性定常(LTI)系統(tǒng)模型的PID控制[1]。在處理非線性、時(shí)變特性和不確定性時(shí),工程中常用的方法是增益調(diào)度PID方法[2]。這種增益調(diào)度方法雖然可以處理很多實(shí)際的非線性參變系統(tǒng)的控制問(wèn)題,但其理論基礎(chǔ)仍然是基于LTI系統(tǒng)的線性控制理論，所以無(wú)法從理論上保證被控系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)行包線范圍內(nèi)的魯棒性和穩(wěn)定性。

針對(duì)此問(wèn)題,Rugh和Shamma[3]提出了線性變參數(shù)系統(tǒng)(Linear Parameter Varying, LPV),該系統(tǒng)具有LTI系統(tǒng)的形式,并引入了變參數(shù)。理論研究表明,非線性系統(tǒng)都可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)PV系統(tǒng)來(lái)研究其控制問(wèn)題;由于形式相同,可以將對(duì)于LTI系統(tǒng)的研究結(jié)論拓展到LPV系統(tǒng)。因此,LPV系統(tǒng)的概念一經(jīng)提出,便成為控制學(xué)界一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。

模型建立是控制的基礎(chǔ),系統(tǒng)建模也成為L(zhǎng)PV系統(tǒng)控制研究的一個(gè)重要問(wèn)題。與其他系統(tǒng)類似,LPV系統(tǒng)的建模方法也可以分為機(jī)理建模和系統(tǒng)辨識(shí)兩類。由于飛行力學(xué)的發(fā)展,對(duì)于飛機(jī)的氣動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)理已經(jīng)具有較為深入的認(rèn)識(shí),本文主要研究機(jī)理建模方法,即得到非線性模型之后,如何將其轉(zhuǎn)化成LPV系統(tǒng)模型。在總結(jié)現(xiàn)有LPV系統(tǒng)建模方法的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的函數(shù)替換方法,并在MUAV的LPV建模中進(jìn)行應(yīng)用,證明了該方法的有效性。

1 一種改進(jìn)的LPV系統(tǒng)建模方法

1.1 LPV系統(tǒng)的定義

LPV系統(tǒng)是指具有線性系統(tǒng)的形式,而系統(tǒng)中某些參數(shù)隨著外部參數(shù)的變化而變化的系統(tǒng)。用狀態(tài)空間形式表達(dá)如下:

(1)

式中:x,u,y分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和量測(cè)輸出;θ為變參數(shù)向量,即θ=[θ1,θ2,…,θn]T。對(duì)于LPV系統(tǒng),要求所有變參數(shù)是可測(cè)的;同時(shí),對(duì)于實(shí)際系統(tǒng),假設(shè)變參數(shù)及其變化率有界。

1.2 改進(jìn)的函數(shù)替換法

本文中的LPV系統(tǒng)建模特指將非線性模型轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)PV系統(tǒng)模型。即將如下系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)式(1)的形式:

(2)

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,LPV系統(tǒng)的建模方法一般有如下幾種:雅克比線性化方法[4]、狀態(tài)變換法[5]、基于速度的線性化方法[6]和函數(shù)替換法[5]。由于采用函數(shù)替換法進(jìn)行LPV建模時(shí)必須將所有與非線性有關(guān)的狀態(tài)納入變參數(shù),若非線性相關(guān)的狀態(tài)不可測(cè)量,則函數(shù)替換法無(wú)法應(yīng)用。改進(jìn)方法的核心思想是將與非線性有關(guān)的狀態(tài)中不能或不需要納入的變參數(shù)進(jìn)行線性化。

下面進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。為簡(jiǎn)明起見,只對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行函數(shù)替換,輸出方程類似,在此不再贅述。

對(duì)系統(tǒng)式(2),設(shè)x=[x1,x2,x3]T,其中x1和x2為與非線性有關(guān)的狀態(tài),x3為與非線性無(wú)關(guān)的狀態(tài)。

則系統(tǒng)式(2)中的狀態(tài)方程可以寫成:

(3)

若使用原始的函數(shù)替換法,則需要將x1和x2均納入變參數(shù),若x1不可測(cè)或者得到的變參數(shù)過(guò)多,則需要將x1從變參數(shù)向量中剔除,本小節(jié)通過(guò)對(duì)x1進(jìn)行線性化,從而將x1從變參數(shù)向量中剔除。

選取參考點(diǎn)x0=[x10,x20,x30]T,定義新狀態(tài)變量dx1=x1-x10,并在該參考點(diǎn)處對(duì)x1進(jìn)行線性化。定義輔助函數(shù):

(4)

則有:

(5)

上式中與x2無(wú)關(guān)的非線性項(xiàng)只有

(6)

再定義dx3=x3-x30,將x3線性化并省略一階小量的乘積項(xiàng),則有:

Δgx3=g(x10,x2)x30+g(x10,x2)dx3+

(7)

若對(duì)x1線性化之后無(wú)與x3有關(guān)的乘積項(xiàng),則對(duì)x3線性化的步驟可以省略。非線性項(xiàng)剩下與x2有關(guān)的項(xiàng),對(duì)這些項(xiàng)進(jìn)行函數(shù)替換,即可得到變參數(shù)只包含x2的LPV系統(tǒng)。

2 在變形無(wú)人機(jī)建模中的應(yīng)用

本文研究對(duì)象為Z型折疊翼變形無(wú)人機(jī),其機(jī)翼分內(nèi)外兩段,內(nèi)段機(jī)翼可以繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng),在內(nèi)段機(jī)翼轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),外段機(jī)翼始終保持水平,如圖1所示。

圖1 變形無(wú)人機(jī)展開和折疊構(gòu)型Fig.1 Expanding and folding configurations of MUAV

下面使用改進(jìn)的函數(shù)替換法來(lái)建立變形無(wú)人機(jī)的LPV模型。為簡(jiǎn)明起見,只建立其縱向系統(tǒng)模型。飛機(jī)的六自由度方程見文獻(xiàn)[7],結(jié)合方向余弦矩陣,可以分離出縱向運(yùn)動(dòng)方程為:

(8)

式中:u,w分別為機(jī)體軸Ox和Oz軸方向的速度分量;q為機(jī)身俯仰角速率;θ為俯仰角;M為俯仰力矩;Iyy為繞機(jī)體軸Oy軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Fx和Fz分別為合外力沿機(jī)體Ox和Oz軸的分量,如下式所示:

(9)

式中:T,L,D分別為飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)推力、升力和阻力,L和D的組成和計(jì)算參見文獻(xiàn)[7]。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力線過(guò)重心,且發(fā)動(dòng)機(jī)安裝角為0°。

設(shè)飛機(jī)的氣動(dòng)系數(shù)和導(dǎo)數(shù)可以表示為C*=f*(v1,v2,…),其中“*”表示氣動(dòng)力或力矩;v1,v2,…表示查表的索引項(xiàng)。例如升力對(duì)升降舵的導(dǎo)數(shù)表示為:

CLδe=fLδe(α,θr,δe)

通過(guò)觀察氣動(dòng)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn),飛機(jī)的舵偏輸入以及油門輸入與輸出的力和力矩近似呈線性關(guān)系,所以,可以將輸入進(jìn)行線性化。例如,對(duì)于升降舵,可以近似認(rèn)為下式成立:

f*(α,θr,δe)=f*(α,θr)δe

其他控制的處理方法類似,處理之后所有的氣動(dòng)系數(shù)和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)均可以表示成α和θr的函數(shù),聯(lián)立以上各式,可以得到:

(10)

式中:Q為動(dòng)壓;Sw為機(jī)翼參考面積。為簡(jiǎn)明起見,在表達(dá)式中將氣動(dòng)系數(shù)中的變參數(shù)項(xiàng)α和θr省略。

非線性項(xiàng)中包含了速度分量u和w,迎角α,折疊角θr,俯仰角θ和馬赫數(shù)Ma?？梢钥闯?非線性項(xiàng)與θ的非線性關(guān)系最為簡(jiǎn)單,僅有sinθ和cosθ兩項(xiàng),所以用對(duì)θ的線性化來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)部分線性化來(lái)減少必須包含的變參數(shù)個(gè)數(shù)。

選取參考點(diǎn)θ0,對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行線性化,如下式所示:

(11)

將式(11)代入式(10),并定義dθ=θ-θ0,可得:

(12)

選取狀態(tài)變量為x=[u,w,q,dθ]T,輸入為u=[δe,δT]T,則可以將式(12)表示成如下的狀態(tài)空間形式:

(13)

其中,系統(tǒng)A和B矩陣中各項(xiàng)分別為:

(14)

非線性項(xiàng)h中的各項(xiàng)為:

hu=m-1QSw(fCLcosα-fCDsinα)-gsinθ0

(15)

hw=gcosθ0-m-1QSw(fCLsinα+fCDcosα)

(16)

(17)

以上討論中,變參數(shù)中的機(jī)體軸速度分量u,w是不能直接測(cè)量的,在無(wú)風(fēng)假設(shè)下,這兩個(gè)量與飛機(jī)的空速V和迎角α是等價(jià)的,有如下關(guān)系成立:

(18)

在飛機(jī)飛行高度變化不大的前提下,Ma和V也是對(duì)應(yīng)的,所以,式(12)中的LPV系統(tǒng)的變參數(shù)向量可以選取為θ=[V,α,θr]T。對(duì)于查表的非線性關(guān)系,例如氣動(dòng)系數(shù),可以采用多項(xiàng)式擬合獲得其解析形式,多項(xiàng)式的形式可以通過(guò)觀察氣動(dòng)數(shù)據(jù)曲線獲得。

以Cmq為例,通過(guò)觀察氣動(dòng)系數(shù)曲線,可以看出其與α近似呈三次多項(xiàng)式關(guān)系,與θr近似呈四次多項(xiàng)式關(guān)系,故采用如下多項(xiàng)式形式:

fCmq(α,θr)=a0+a1α+a2α2+a3α3+

(19)

使用吹風(fēng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到各個(gè)系數(shù)值:a0=-8.605 9,a1=-0.212 6,a2=-15.839 7,a3=52.424 9,b1=2.890 7,b2=-3.833 4,b3=2.416 7,b4=-0.525 3。將結(jié)果代入式(19),在吹風(fēng)數(shù)據(jù)點(diǎn)處由下式求出擬合值和實(shí)際吹風(fēng)值的相對(duì)誤差:

(20)

式中:ffit為擬合數(shù)據(jù);fwind為吹風(fēng)數(shù)據(jù)。

計(jì)算結(jié)果如圖2所示。由圖可知,擬合結(jié)果的最大誤差不超過(guò)1.5%,擬合誤差較小,在工程容許的誤差之內(nèi)。

圖2 擬合數(shù)據(jù)和吹風(fēng)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差曲線Fig.2 Relative error between fitted data and wind-tunnel data

將擬合結(jié)果代入式(12),即可得到解析形式的LPV模型。

3 仿真結(jié)果及分析

將建立的LPV模型與原始非線性模型響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比,給定初始狀態(tài)為空速25 m/s,折疊角θr為0°的配平狀態(tài),在仿真進(jìn)行2 s時(shí),機(jī)翼以20 (°)/s的速率進(jìn)行折疊,到8 s時(shí)折疊角達(dá)到120°,之后保持2 s,得到各個(gè)量的響應(yīng)如圖3～圖5所示。

圖3 俯仰角響應(yīng)曲線Fig.3 Responses of angle of pitch

圖4 迎角響應(yīng)曲線Fig.4 Responses of AOA

圖5 空速響應(yīng)曲線Fig.5 Responses of airspeed

由圖3～圖5可以看出,所建立的LPV模型與原始非線性模型響應(yīng)十分接近,迎角和俯仰角的響應(yīng)誤差均小于0.5°,空速響應(yīng)誤差小于1 m/s,所以文中提出的建模方法是可行的。如果減小線性化區(qū)間間隔,則建模誤差可以進(jìn)一步減小。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)函數(shù)替換法不能自由選取變參數(shù)的缺點(diǎn),通過(guò)引入部分線性化對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),使用改進(jìn)方法建立了變形無(wú)人機(jī)的縱向LPV系統(tǒng)模型。與原有的函數(shù)替換法相比,該方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以自由選取變參數(shù),從而增強(qiáng)了函數(shù)替換法的應(yīng)用范圍。

由于引入了線性化,該方法與原有的函數(shù)替換法相比存在一定的建模誤差,雖然建模誤差可以通過(guò)增加線性化的網(wǎng)格密度來(lái)減小,但是網(wǎng)格密度的選取尚無(wú)理論方法可用,只能依據(jù)實(shí)際的對(duì)象,按照經(jīng)驗(yàn)選取,這是該方法需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

[1] Ang K H,Chong G,Li Y.PID control system analysis,design,and technology[J].Control Systems Technology,IEEE Transactions on,2005,13(4):559-576.

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[3] Rugh W J,Shamma J S.Research on gain scheduling[J].Automatica,2000,36(10):1401-1425.

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[5] 李文強(qiáng).LPV系統(tǒng)魯棒變?cè)鲆婵刂蒲芯考捌鋺?yīng)用[D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2009.

[6] 王青,王通,后德龍,等.基于速度線性化的變體飛行器魯棒變?cè)鲆婵刂芠J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2014,36(6):1130-1136.

[7] 吳森堂,費(fèi)玉華.飛行控制系統(tǒng)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005:58-59.

(編輯：任亞超)

LPV modeling of morphing UAV based on improved function-substitution method

WU Cheng-fu, SHAO Peng-yuan

(National Key Laboratory of Special Technology on UAV, NWPU, Xi’an 710065, China)

To enhance the applicability of function-substitution method, an improved function-substitution based modeling method for LPV systems is proposed and applied on modeling of the longitudinal system of morphing UAV. Partial linearization is introduced to function-substitution method, thus the varying parameters can be chosen more flexibly and the number of varying parameters can be reduced. After that, the LPV model for longitudinal system of morphing UAV is derived using the proposed method and the simulation result shows that the responses of LPV model is highly consistent with the nonlinear model.

LPV system; system modeling; morphing UAV; function-substitution method

2015-01-15;

2015-05-18;

時(shí)間:2015-09-25 16:10

吳成富(1962-)，男，浙江金華人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)人機(jī)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制； 邵朋院(1986-)，男，陜西咸陽(yáng)人，博士研究生，主要研究方向?yàn)闊o(wú)人機(jī)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

V279

A

1002-0853(2015)06-0565-04