余 闖 方冬芳 杜廣印 蔡曉慶 溫燦燦 楊 萌

(1 溫州大學建筑工程學院，溫州325035)

(2 溫州大學數(shù)學與信息科學學院，溫州325035)

(3 東南大學交通學院，南京210096)

填埋是我國處理城市垃圾的主要方式.垃圾填埋場使用年限一般為幾十年;但實際上，垃圾在填埋場中存在時間可達幾百年甚至上千年，場底襯墊系統(tǒng)是阻止垃圾滲濾液等污染物運移的長期屏障［1］.垃圾滲濾液中的污染物通過對流、機械彌散、分子擴散以及吸附、解析和生物降解［2］等過程穿透襯墊系統(tǒng)向周圍環(huán)境中遷移，考慮污染物降解作用的對流-擴散模型可以較好地描述這一過程.近年來，國內(nèi)外眾多學者開展了污染物遷移規(guī)律的相關研究，并取得了一定的進展.陳云敏等［3］利用分離變量法求解成層土中的污染物遷移問題，主要考慮了擴散的作用;余闖等［4］利用分離變量法獲得了均質(zhì)土中考慮溶質(zhì)蛻變效應的污染物遷移模型的解析解;張文杰等［5］利用疊加法求解了源濃度恒定不變的遷移模型，但未考慮降解作用的影響;Chakraborty 等［6］基于有限差分法求解了常規(guī)邊界條件下一維降解、對流、擴散、線性吸附的遷移模型.然而，實際上源濃度并非恒定不變，其衰減作用對污染物的遷移會產(chǎn)生重大影響.van Genuchten等［7］求解了源濃度隨時間按指數(shù)衰減的一維降解、對流、擴散、線性吸附污染物遷移模型，Williams 等［8］則基于Laplace 變換方法求解了該模型.Chen 等［9］和謝海建等［10］分別運用差分變換方法和疊加方法求解源濃度隨時間按指數(shù)衰減的污染物遷移模型.在較為簡單的零初始條件下已有模型都有相應的理論解，對于具有更一般的、光滑的初始條件的模型則研究較少.Simpson 等［11］利用一種新方法求解Laplace 逆變換，進而求解了具有更一般的、光滑的初始條件的多組分反應遷移模型，獲得了級數(shù)解;該方法打破了以往求解方法的局限性，但其推導過程比較復雜，同時涉及到許多數(shù)學理論，從而限制了其推廣應用.

同倫分析法是由廖世俊等［12］提出的求解強非線性問題的近似解析方法，是一種統(tǒng)一的、更具普遍性的一般方法，已成功應用于很多實際問題的求解中［12-13］.其求解過程沒有涉及過多復雜的數(shù)學理論，且推導過程較簡單，借助Mathematica 軟件便能獲得其高精度近似解.本文利用同倫分析法求解了文獻［11］中源濃度恒定下單組分考慮污染物降解作用的對流-擴散模型，并與精確解進行了對比.然后，利用同倫分析法求解了源濃度隨時間按指數(shù)衰減的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型.

1 同倫分析法

令微分控制方程為

式中，Ni為第i 個非線性算子;x，t 分別為空間和時間變量;ci為待求變量.

選擇輔助線性算子L，推廣傳統(tǒng)的同倫方法，構造如下零階形變方程:

式中，i≠0 為第i 個輔助參數(shù);ci，0(x，t)為第i 個初始猜測解;q 為嵌入變量;φi(x，t;q)為第i 個未知函數(shù).

式(2)中有很多自由選取的輔助參數(shù)、輔助線性算子以及初始猜測解，體現(xiàn)了同倫分析法的有效性和靈活性.由式(2)可以看出，當q=0 和q=1時，分別有

即當嵌入變量q 從0 增大到1 時，φi(x，t;q)從初始猜測解ci，0(x，t)變化到精確解ci(x，t).

應用泰勒定理，將φi(x，t;q)展開成q 的冪級數(shù)，即

令

則有

當q=1 時式(6)收斂，故有

文獻［12］已證明式(7)是式(1)的一種解.式(7)利用ci，m(x，t)說明了初始猜測解和精確解之間的對應關系.因此，確定精確解前必須先求出ci，m(x，t).下面利用高階形變方程來確定ci，m(x，t).對式(2)中的q 求m 階導數(shù)后除以m!，再令q=0，即可得m 階形變方程為

式中

對式(8)兩邊同時進行逆算子L－1運算可得

當輔助線性算子、非線性算子和i均選取恰當值時，根據(jù)式(7)和(9)，運用Mathematica 軟件編程計算，可得原方程的高精度近似解.則ci(x，t)的M 階近似解為

式中，Ω 為積分域.

2 同倫分析法的應用

為便于對比和驗證，本文運用同倫分析法求解Simpson 等［11］提出的具有更一般的、光滑的初始條件的單組分考慮污染物降解作用下對流-擴散模型，以及源濃度隨時間按指數(shù)衰減的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型，并對所得結(jié)果進行模擬分析，檢驗其正確性與可行性.

2.1 源濃度恒定的一維污染物遷移模型

首先利用同倫分析法求解具有一般的、光滑的初始條件的一維污染物遷移模型.

2.1.1 基本模型

該模型描述了單組分考慮污染物降解作用的對流-擴散遷移規(guī)律，模型如下:

式中，c(x，t)為溶質(zhì)的濃度;D 為彌散系數(shù);V 為對流速度;k 為衰變系數(shù).

初始條件為

式中，a，b 為常數(shù).

邊界條件為

2.1.2 模型求解

根據(jù)初始條件，可選取如下的初始猜測解:

定義輔助線性算子為

式中，ψ 為構造方程.

式(16)滿足L(j)=0，其中j 為積分常數(shù).

定義非線性算子為

構造如下的零階形變方程:

當q=0 和q=1 時，分別有

ψ(x，t;q)在q=0 處的泰勒展開式為

式(20)在q=1 處收斂，故有

下面求解cm(x，t).對式(18)中q 求m 階導數(shù)后除以m!，再令q=0 可得

式中

此時的初始條件為

求解式(22)得

根據(jù)cm(x，0)=0，可解得j=0.

由此可知

由式(26)可得

因此，只要級數(shù)解(21)收斂，它必然是式(12)的解.本文通過編制程序，對級數(shù)解(21)中的時間t求二階導數(shù)，并取x=0 cm，t=1 h，D=0.5 cm2/h，V=0.2 cm/h，k=0.05/h，a=2，b=0.002 5，繪制出中間變量ctt(0，1)與 的關系圖(見圖1).由圖可知，在－2 ～2 之間，ctt(0，1)數(shù)值基本保持不變，說明只要 ?。? ～2 之間的任意數(shù)，均可保證級數(shù)收斂.根據(jù)式(11)可計算出 的最優(yōu)值為0.2.

圖1 ctt(0，1)- 曲線圖

2.1.3 結(jié)果分析

［11］中的參數(shù)數(shù)值，模型所用參數(shù)為D=0.5 cm2/h，V=0.2 cm/h，k=0.05/h，a=2，b=0.002 5.為了驗證本文所得解的精確性，編制了計算程序.t=20 h 時，在式(26)級數(shù)解取一階、二階、三階、四階和五階的條件下同倫解與文獻［11］中精確解的對比見圖2.由圖可知，隨著同倫解答中階數(shù)的增加，計算結(jié)果逐漸接近精確解，五階時計算結(jié)果與精確解吻合良好，即五階同倫近似解已滿足精度要求.

圖2 不同階同倫解與精確解對比

2.2 源濃度變化的一維污染物遷移模型

2.2.1 基本模型

考慮污染物降解作用的對流-擴散模型為

式中，R 為吸附阻滯因子.初始條件為

邊界條件為

即該模型中源濃度隨指數(shù)規(guī)律衰減.

2.2.2 模型求解

由初始條件和邊界條件可選取初始猜測解為

定義輔助線性算子為

定義非線性算子為

構造如下的零階形變方程:

根據(jù)式(11)可計算出 的最優(yōu)值為－1.由此可得

該模型的污染物濃度表達式為

2.2.3 結(jié)果分析

模型參數(shù)取值為R=3，D= 0.1 m2/a，V=1 m/a，c0=1 g/L，k=1.5/a.繪制了t=0.1，1，2 a時污染物濃度隨深度的變化曲線(見圖3).由圖可知，污染物濃度隨著距離的增加而減小，且污染物在遷移過程中濃度梯度逐漸變小，直至在空間分布上趨于平衡.

圖3 不同時刻c(x，t)隨距離變化曲線

3 結(jié)語

本文采用同倫分析法求解了具有一般、光滑初始條件的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型.通過選取輔助線性算子和非線性算子，構造零階形變方程，并借助Mathematica 軟件編程計算，獲得模型的近似解析解.基于此近似解編制相應的計算程序，將本文解與已有精確解答進行對比，發(fā)現(xiàn)兩者吻合良好，從而證明了本文方法的正確性和合理性.此外，利用同倫分析法求解了源濃度隨時間按指數(shù)衰減的一維降解污染物遷移模型，并進行了計算分析，所得結(jié)果符合實際情況.結(jié)果表明，同倫分析法是研究污染物遷移模型的一種行之有效的方法，且數(shù)學概念清楚，計算過程簡單，可以考慮復雜的初始條件和邊界條件.本文只考慮了單組分問題，實際上同倫分析法還可求解2 種及2 種以上溶質(zhì)的多組分污染物遷移問題，具有廣闊的應用前景.

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