徐嘯虎 周克毅 韋紅旗 黃軍林

(東南大學(xué)能源熱轉(zhuǎn)換及其過程測控教育部重點實驗室，南京210096)

單相受熱管集總參數(shù)建模是電站鍋爐實時仿真領(lǐng)域中的重要研究內(nèi)容之一［1-8］.動態(tài)過程中，管壁與工質(zhì)存在蓄熱、儲質(zhì)變化，管壁對工質(zhì)的放熱量一般與穩(wěn)態(tài)計算值并不一致.但建模時，管壁與工質(zhì)間的放熱量基本都采用靜態(tài)方程計算，這不利于受熱管仿真精度的進一步提高.理論分析表明，以出口參數(shù)為代表參數(shù)的一維集總參數(shù)模型，單段上的精度僅同一階迎風(fēng)格式相當(dāng)［8-9］.盡管通過各種分多段方式，如多段串聯(lián)方法［2］、兩段嵌套方法［10］和三段鏈?zhǔn)椒椒ǎ?1］等，理論上可以提高受熱管整體的仿真精度，但就單段控制體而言，上述建模方式并沒有本質(zhì)的區(qū)別，單段控制體的精度也沒有提高.

為提高集總參數(shù)模型在單個控制體上的仿真精度，20 世紀(jì)90年代以來，出現(xiàn)了基于動態(tài)補償或修正的建模方法［12-15］.通過對比分析集總參數(shù)模型與分布參數(shù)模型在系統(tǒng)傳遞函數(shù)上的差異，進而建立用以補償或修正的數(shù)學(xué)模型［12-13］，或在集總參數(shù)的選擇上采用“移動參數(shù)”，用以修正模型的輸運延遲［14-15］.因補償或修正環(huán)節(jié)的特征參數(shù)與研究對象有關(guān)，此類方法對于特定物理參數(shù)及工況的受熱管易取得較好的效果.

為使管壁放熱量計算能反映管內(nèi)工質(zhì)動態(tài)過程，提高單段上控制體模型的精度，同時保持多段模型易于顯式求解的優(yōu)點，本文從描述單相受熱管動態(tài)過程的一維偏微分方程出發(fā)，將方程中的時空分離，采用解析和集總參數(shù)相結(jié)合的方法，建立了一種新的單相受熱管動態(tài)數(shù)學(xué)模型(以下簡稱混合模型).其中，管壁對工質(zhì)放熱量的計算模型不再是靜態(tài)計算公式，而是同管內(nèi)工質(zhì)蓄熱和儲質(zhì)過程相關(guān)的動態(tài)方程.理論分析和仿真結(jié)果表明，相同情況下(集總參數(shù)均取出口參數(shù))，混合模型比以往采用靜態(tài)傳熱公式的集總參數(shù)模型更接近分布參數(shù)模型;模型在入口溫度階躍響應(yīng)方面的改進尤為明顯，可以更好地反映系統(tǒng)響應(yīng)的輸運延遲特性.

1 建模原理

1.1 描述單相管動態(tài)過程的一維微分方程組

一維集總參數(shù)的物理模型是在空間上對三維分布參數(shù)物理模型進行一維簡化后得到的［1-2］，物理模型如圖1所示.

描述單相管動態(tài)過程的一維微分方程有:

質(zhì)量守恒方程(連續(xù)性方程)

圖1 單相受熱管物理模型

式中，D 為工質(zhì)流量;ρ 為工質(zhì)密度;z 為長度;τ 為時間;F 為管內(nèi)橫截面積.

能量守恒方程

式中，Q2為單位長度上管壁對工質(zhì)的放熱量;h 為工質(zhì)焓;P 為工作壓力.

單位長度上管壁對工質(zhì)的放熱方程

式中，T 為工質(zhì)溫度;Tj為管壁金屬溫度;α2為管內(nèi)壁對工質(zhì)的放熱系數(shù)，精度和理論分析時近似認為與流量的n 次方成正比，并取n=0.8;K2為比例系數(shù);d2為管內(nèi)直徑;U2為管內(nèi)壁周長.

動量守恒方程

式中，Pd為單位長度的壓損.

熱力學(xué)狀態(tài)方程

管壁金屬熱平衡方程

式中，Q1為單位長度上煙氣對管壁的放熱量;cj為金屬比熱;mj為單位長度的金屬質(zhì)量.

式(7)僅在時間維上對管壁溫度有熱平衡約束，沿長度方向上，管壁溫度為集總參數(shù)，即0.在采用強制熱流量分析受熱管動態(tài)特性時，方程組不包括煙氣側(cè)放熱方程.此時，Q1作為預(yù)先計算值或邊界條件代入計算.以下在精度分析時也將Q1作強制熱流量處理.

1.2 工質(zhì)出口溫度和管壁放熱量動態(tài)方程

由式(6)可得到如下鏈?zhǔn)奖磉_式:

式中，cp為工質(zhì)比熱.對于同樣有:

將式(8)和(9)代入式(2)，得

式中，ω 為工質(zhì)流速.

考慮到壓力-流量通道的動態(tài)過程遠快于焓-溫通道，在進行焓-溫通道計算時，通常認為壓力-流量通道的動態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束，即另一方面，對于阻力集中于入口或出口的壓力-流量通道模型，認為管內(nèi)壓力是沿空間均勻分布的，即Pd=0.進一步簡化式(10)，得

式(11)為時變的非線性偏微分方程，若任一τ 時刻，等式右邊項可確定上述方程可轉(zhuǎn)換為常系數(shù)的非齊次微分方程.積分并代入τ 時刻的邊界條件(Tj－T)z=0=Tj－T1，其解為

式中，T1，T2分別為管內(nèi)工質(zhì)入口和出口溫度;L 為受熱管總長度;A2為管內(nèi)表面積，A2=U2L.

同樣，利用式(11)也可得到沿管長方向任意位置的工質(zhì)溫度，將其代入式(3)并積分，得到管壁對工質(zhì)的放熱量的動態(tài)方程:

式(7)、(12)和(13)構(gòu)成了新的單相受熱管動態(tài)數(shù)學(xué)模型.模型的推導(dǎo)過程是按照傳熱微元積分的方法進行的，因此管壁放熱量模型反映了管內(nèi)工質(zhì)的動態(tài)過程，而以往的集總參數(shù)模型均不具備這一特點.

為了考察混合模型的最終穩(wěn)態(tài)值，令式(12)和(13)中的時變項得到

式中，下標(biāo)0 表示穩(wěn)態(tài)時參數(shù).由傳熱學(xué)可知，式(14)、(15)與按對數(shù)傳熱溫差計算傳熱量的穩(wěn)態(tài)方程是等價的，且同參數(shù)T*的選擇無關(guān).

對于參數(shù)T*，從建模的角度分析，也可認為是管內(nèi)工質(zhì)的集總參數(shù)，可按已有集總參數(shù)模型選擇.如選擇工質(zhì)出口溫度T2，此時方程組待求量為和用矩陣形式可描述為A·y=S，其中

式中，Mj為管壁金屬總質(zhì)量，Mj=mjL;ˉQ1為煙氣對受熱管的總放熱量.

由于混合模型與傳統(tǒng)的集總參數(shù)模型在形式上存在明顯差別，因此有必要對其進行精度分析和仿真實驗.在以下分析和計算中，混合模型均采用T2代替T*的形式.

2 模型精度分析

由基本方程(7)、(12)和(13)分別得到工質(zhì)在入口溫度、熱流量和流量這3 種擾動下的對象傳遞函數(shù)，并對其在零點(s=0)作泰勒展開，以考察混合模型與分布參數(shù)模型［1-2］的逼近程度，以及混合模型相對傳統(tǒng)集總參數(shù)模型(以下稱集總參數(shù)模型)的優(yōu)勢.

2.1 傳遞函數(shù)

分別對式(7)、(12)和(13)進行線性化處理，并以時間τ 為自變量進行Laplace 變換，得到入口溫度擾動時的傳遞函數(shù)Wη(s)為［16］

式中，Tm為管壁金屬蓄熱時間常數(shù);ad為動態(tài)參數(shù)，ad=α20A2/(D0cp);τ0為流動時間，τ0=L/ω0.

熱流量擾動時的傳遞函數(shù)Wq(s)為［16］

流量擾動時的傳遞函數(shù)Wd(s)為［16］

2.2 精度分析

理論上常用時域分析法來比較分析熱工環(huán)節(jié)的動態(tài)特性.通過對比傳遞函數(shù)在s=0 點的Taylor 展開式，可定性地分析模型間的逼近程度.對于模型在擾動初始時刻和穩(wěn)態(tài)終值方面的響應(yīng)特性，則可應(yīng)用Laplace 變換的初值定理和終值定理進行分析.簡化的分布參數(shù)模型的傳遞函數(shù)有如下形式［2］:

在相同條件下，集總參數(shù)模型的傳遞函數(shù)為［1］

根據(jù)Laplace 初值定理和終值定理，易得到在s→∞和s→0 時混合模型的3 個傳遞函數(shù)均與分布參數(shù)模型對應(yīng)的傳遞函數(shù)的計算結(jié)果一致.這表明，混合模型在動態(tài)響應(yīng)的初值和終值方面均無誤差.將式(16)～(24)在s=0 處作Taylor 展開，省略高階項后得到3 種模型入口溫度擾動傳遞函數(shù)的Taylor 展開式:

得到的3 種模型熱流量擾動傳遞函數(shù)的Taylor 展開式如下:

得到的3 種模型流量擾動傳遞函數(shù)的Taylor 展開式如下:

分別將混合模型、集總參數(shù)模型與分布參數(shù)模型所對應(yīng)的傳遞函數(shù)相減，對于入口溫度擾動的傳遞函數(shù)，二階精度上的比較結(jié)果為

對于熱流量擾動的傳遞函數(shù)，一階精度上的比較結(jié)果為

對于流量擾動的傳遞函數(shù)(n=0.8)，一階精度上的比較結(jié)果為

以上分析表明，同樣選擇工質(zhì)出口參數(shù)為集總參數(shù)的情況下，混合模型比集總參數(shù)模型更加接近于分布參數(shù)模型.

2.3 仿真結(jié)果比較

2.2 節(jié)理論精度分析是在不分段的情況下進行的，分析內(nèi)容也僅限于在s=0 處作Taylor 展開.為進一步說明3 種模型在動態(tài)過程的差異，有必要進行仿真計算比較.仿真計算的對象為某超超臨界壓力鍋爐的過熱器，管內(nèi)工質(zhì)壓力為26.7 MPa，特征參數(shù)τ0=4.0 s，Tm=21.8 s.三種擾動的仿真結(jié)果對比如圖2所示.

圖2 入口參數(shù)階躍擾動后出口溫度響應(yīng)(物性不變)

從仿真結(jié)果可看出，集總參數(shù)模型和混合模型的響應(yīng)趨勢與分布參數(shù)基本一致，但混合模型的響應(yīng)過程均介于集總參數(shù)模型和分布參數(shù)模型之間.即在相同分段數(shù)情況下，混合模型的計算結(jié)果都更接近于分布參數(shù)模型，尤其是在入口溫度擾動時，3段混合模型的精度明顯高于5 段集總參數(shù)模型.

3 考慮物性變化的混合數(shù)學(xué)模型

為考慮工質(zhì)儲質(zhì)和蓄熱過程對管壁放熱量的影響，還需補充連續(xù)性方程.結(jié)合傳統(tǒng)的多段集總參數(shù)建模思想，將受熱管沿管長均分為n 段，其中第i 段的物理模型如圖3所示.

圖3 考慮物性變化的單個控制體物理模型

3.1 考慮物性變化的連續(xù)性方程

密度對時間的偏導(dǎo)數(shù)存在如下鏈?zhǔn)疥P(guān)系:

將式(25)代入式(1)，推導(dǎo)得到第i 段內(nèi)工質(zhì)的連續(xù)性方程:

式中，V 為管內(nèi)總?cè)莘e，V=FL;Din為受熱管入口流量.

式(26)與式(7)、(12)、(13)一起構(gòu)成了考慮物性變化的混合模型.各段模型中的待求量分別為工質(zhì)出口溫度、管壁金屬壁溫、流量和管壁對工質(zhì)的放熱量，且均為顯式形式.當(dāng)受熱管均分為n 段時，待求參數(shù)向量y 共有4n 個元素，表示為

3.2 考慮物性變化時的仿真結(jié)果對比

分別建立單相受熱管多段混合模型與多段集總參數(shù)模型.仿真對象與2.3 節(jié)一致，時間步長均取0.1 s.計算結(jié)果如圖4所示.其中，用來比較的分布參數(shù)模型是通過流體力學(xué)計算軟件FLUENT建立的.采用FLUENT 數(shù)值模型可充分利用其中已有的大量經(jīng)驗證的、較成熟的數(shù)學(xué)模型及其算法，確?；旌夏Ｐ?、集總參數(shù)模型對比驗證的合理性.

圖4 入口參數(shù)階躍擾動后出口溫度響應(yīng)(物性變化)

計算結(jié)果顯示，在相同條件下，混合模型比集總參數(shù)模型更接近分布參數(shù)模型的計算結(jié)果.尤其是在入口溫度階躍響應(yīng)方面，3 段混合模型的初始響應(yīng)便可較好地表現(xiàn)出管內(nèi)工質(zhì)特有的輸運延遲現(xiàn)象，且同分布參數(shù)模型基本一致，而集總參數(shù)模型則與分布參數(shù)模型相差較大.

此外，混合模型的穩(wěn)態(tài)方程與按對數(shù)傳熱溫差求解傳熱量的計算公式是等價的，但兩者在形式上并不一致.混合模型不會出現(xiàn)對數(shù)傳熱溫差計算病態(tài)問題，其動態(tài)方程對大擾動也有很好的適應(yīng)性，可用于鍋爐全工況的實時仿真計算［16］.

4 結(jié)論

1)混合模型是從描述受熱管傳熱和流動的一維偏微分方程出發(fā)，按照傳熱微元積分的方式推導(dǎo)得到的，符合單相受熱管動態(tài)過程機理.

2)由于管壁放熱量的動態(tài)方程反映了管內(nèi)工質(zhì)蓄熱和儲質(zhì)過程對其計算值的影響，且其穩(wěn)態(tài)值與按對數(shù)傳熱溫差計算傳熱量的方程是等價的，使得模型在單個控制體上的仿真精度優(yōu)于常用的多段集總參數(shù)模型;精度分析表明，即使不考慮物性變化，混合模型的仿真精度也高于傳統(tǒng)的集總參數(shù)模型.

3)仿真結(jié)果表明，相比入口流量和熱流量的階躍響應(yīng)，混合模型對入口溫度階躍響應(yīng)的改進尤為突出，能更好地反映系統(tǒng)響應(yīng)的輸運延遲特性.

4)管內(nèi)工質(zhì)集總參數(shù)的選擇具有獨立性，這給模型的具體應(yīng)用帶來較高的自由度和通用性.既可以按多段串聯(lián)的方式建模，也可按多段嵌套或鏈?zhǔn)椒绞浇?對于特定研究對象，也可以按照移動參數(shù)方式建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型.

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