周 羽，李槐樹，周 石，曹 晴

(海軍工程大學，武漢430033)

0 引 言

與傳統(tǒng)電機相比，永磁同步電機具有高功質比、高轉矩體積比、高效率和振動噪聲小等優(yōu)點，它已經廣泛用于商業(yè)、工業(yè)和軍工等產品［1-3］。永磁同步電機氣隙磁場的準確計算是電機各種性能分析的基礎，例如:繞組電感［4］、反電動勢［5］、損耗［6］、徑向力［7-8］、齒槽力矩［9］、不平衡力［10］、振動與噪聲［11］等。目前，在不簡化電機結構并考慮磁性材料飽和的前提下，磁場計算的有限元數值方法能得到提供精確的永磁電機磁場計算結果。但是這種數值方法非常費時，不利于電機優(yōu)化設計，一般只用于驗證電機解析優(yōu)化設計的最終結果。而且網格剖分對有限元數值計算的結果影響有時較大，特別是在計算齒槽力和不平衡電磁力時［12-13］。事實上，通過合理的假設，磁場解析計算方法能夠更快速靈活準確地計算并分析電機的各種性能［14］。

極槽接近永磁同步電機是一種特殊結構，具有低速大轉矩和超高功率密度的優(yōu)點。由于結構的特殊性，在考慮定子鐵心磁性材料飽和的前提下，計算反電動勢、電感等參數必須以單個齒部的磁密為基礎。但是目前極槽接近永磁同步電機定子齒磁密的相關研究比較少。

本文利用面電流等效法，在不開槽時推導了氣隙磁密的解析計算公式，在此基礎上，提出了截取加三次函數擬合法計算考慮飽和時的電機定子齒部最大磁密。用有限元法對定子齒部最大磁密進行了計算，驗證了截取加三次函數擬合法具有較高的精度。最后根據時步有限元法，得到極槽接近永磁同步電機的齒部磁密具有正弦周期性。

1 無槽磁場計算

1.1 一對線圈產生的磁場

電機中二維空間平面場域上的電磁場可以在極坐標系中進行分析計算，且其矢量磁位滿足泊松方程［15］:

式中:μ0為磁導率，且μ0=1/ν，ν 為磁阻率;Ht為磁場強度的切向分量;Az為z 軸方向的矢量磁位;J(x，y)為源電流密度;S1為第一類邊界條件;S2為第二類邊界條件。

假設定、轉子鐵心的導磁率μFe=∞，如圖1 所示，導線A 和B 的位置為r =b，θ = ±α 處。一對通電線圈由兩根通電導線組成，把每根帶電流導線產生的矢量磁位疊加，可得到一對通電線圈在氣隙中產生的矢量磁位［16］。

圖1 氣隙中一對載流線圈

電機定子和轉子之間氣隙的磁場邊界條件:

(1)電機轉子外表面，磁通密度切向分量為零，即:r=Rr時，Bθ=0

定子和轉子之間的氣隙屬于通電線圈以外的區(qū)域，在這些區(qū)域內的電流密度J(r，θ)=0。根據邊界條件(1)和邊界條件(2)以及分離變量法求解泊松方程，得到一對通電線圈在氣隙中P 點產生的矢量磁位:

于是一對通電線圈在半徑為Rs位置的徑向氣隙磁密(本文后面求得的磁密均為半徑為Rs位置處的徑向磁密:

式中:KPm=sin(mα)為m 次諧波的節(jié)距因數。

1.2 平行充磁永磁體產生的氣隙磁密

在表面式永磁電機中，瓦片形磁極有平行充磁和徑向充磁二種。其中，同圓心不同半徑瓦片形磁極的永磁電機結構如圖2 所示，其中p 為永磁電機極對數，hm為永磁體厚度，2η 為永磁體的張角，Rr為電機轉子外半徑，Rs為電機定子內半徑。

圖2 瓦片形永磁體尺寸

由于充磁工藝的限制，標準徑向充磁的瓦片形永磁體很難得到，而平行充磁的瓦片形永磁體的充磁工藝簡單且容易得到，分析并計算平行充磁瓦片形永磁體在電機氣隙中產生的磁場更有實用價值。

圖3 平行充磁時的面電流

平行充磁的瓦片形永磁體的磁化方向和各邊等效面電流方向如圖3 所示。根據永磁體的面電流等效法，圖中永磁體AB 和CD 的等效面電流大小相等且方向相反，其電流密度的大小可以表示:

式中:Hcb為永磁體矯頑力。

沿BC 和AD 邊變化的面電流密度的大小:

一個平行充磁同心瓦片形永磁體AB 和CD 段的等效面電流在電機氣隙中產生的磁密:

BC 段面電流產生的磁密:

在Cm中，b=Rr+hm。

AD 段面電流產生的磁密:

一個平行充磁的永磁體在定子內表面產生的磁密B1( )θ 為AB，CD，BC 和AD 各段的疊加，即:

式中:A，Cm，Kpm和式(6)相同。

式中:A，Cm和式(7)相同。

式中:A，Cm和式(8)相同。

于是多極平行充磁同心瓦片形永磁體在永磁電機的定子內表面產生的磁密:

上述公式都是在定子和轉子表面光滑時推導得到的。

2 齒部最大磁密計算

極槽接近永磁同步電機結構特殊，一個永磁極的磁力線基本通過一個齒達到另一個磁極，并構成閉合磁路。為了充分利用磁路結構，使電機磁路和電路的利用率達到最大，提高永磁電機的功率密度，設計極槽接近永磁同步電機時，齒部磁密通常會達到較大的飽和。絕大多數文獻對電機磁場計算時都假設定子和轉子鐵心的導磁率為無窮大，忽略電機定子齒部的磁密飽和等非線性因素的影響。在這種假設前提下，當齒中心線和極中心線正對時，由磁極進入齒面的磁力線將全部通過定子齒部和定子軛部，但是定子齒部鐵心在飽和影響下，電機槽口和槽肩的漏磁將會比較大，這是不容忽視的。非極槽接近永磁同步電機一般以定子內表面的磁通為有效磁通計算反電動勢，而在計算極槽接近的永磁同步電機的反電動勢時，有效磁通是每個齒的磁通。

如圖4 所示，N 極中心線和齒中心線正對時，齒部的磁密最大，極槽接近永磁同步電機的極面寬度和齒面寬度不相等且相差較小，圖中tm為齒面的寬度。計算進入齒面的有效磁通時，本文采用磁通截取法:根據式(13)計算得到定子無槽時電機定子內表面的徑向磁密如圖5 所示;在圖4 中，截取N 極與齒面正對的磁通作為開槽時由氣隙進入齒面的磁通，此磁通即為計算齒部磁密的截取磁通φjq。由于槽口影響，沒有被截取的磁通將作為氣隙漏磁直接和鄰近的永磁體構成氣隙漏磁路。

表1 是兩種極槽接近的永磁同步電機的基本尺寸，表2 是以表1 的電機結構為基礎，改變極對數p、槽數Ns、永磁體厚度hm、氣隙厚度δ 和齒寬ts時，8 個樣機的齒部最大磁密、截取磁通以及相對磁導率的對比表。表2 中，齒部最大磁密為有限元計算結果，其余均為解析計算結果。本文中，考慮飽和的硅鋼片選為50DW350。

表1 樣機參數

根據齒部磁密的有限元結果，查表得到表2 中齒部的磁感應強度H，并計算得到齒部的相對磁導率μr。由表2 中的相對磁導率計算結果可以看出，極槽接近的永磁同步電機中鐵心的磁導率不能假設為線性或是無窮大，必須考慮飽和影響。

圖4 電機主磁路

圖5 不開槽時定子內表面徑向磁密

表2 最大齒磁密計算結果

齒部磁通計算公式:

Bcmax為齒部最大磁密，ts為齒寬，leff為電機軸向長度，本文中設定為單位長度，不影響計算結果。

齒寬、齒部磁通和齒部磁密存在式(14)的關系，由于受到磁路飽和等非線性因素的影響，齒部磁通很難得到，因此本文以齒寬和齒面磁通作為變量，采用有限元和解析計算相結合的方法尋找規(guī)律，得到計算極槽接近永磁電機的齒部最大磁密公式。

定性分析可知，ts增大Bcmax減小，φjq增大Bcmax增大，可以方便地把ts和φjq兩個變量簡化為φjq/ts一個變量，采用截取法加三次函數擬合的方法。取表2 中樣機編號為2，4，6，7 的φjq/ts結果進行三次函數擬合，得:

3 有限元驗證

表2 中1，3，5，8 號樣機用于驗證擬合方法的正確性，這種方法是針對定子鐵心材料B -H 曲線非線性部分的局部擬合法。在設計高功率密度的極槽接近永磁同步電機時，齒部磁密的最大值通常在本文擬合范圍之內。表3 以有限元結果為基準，列出了截取法和截取加擬合法的誤差結果，易知在考慮飽和情況下，截取加三次函數擬合法較高的精度，非常適用于電機工程設計。

表3 齒部最大磁密誤差比較

截取法和截取加三次函數擬合法的齒部最大磁密對比結果如圖6 所示。當擬合函數曲線的橫坐標小于交點處的橫坐標時，由于定子齒面邊端的聚磁效應占主導，槽漏磁較小，進入齒面的磁通大于截取法得到的磁通，擬合法得到的齒部磁密大于截取法得到的齒部磁密;當擬合函數曲線上橫坐標大于交點處的橫坐標時，槽漏磁占主導，聚磁效應相對較小，隨著實際齒部磁密的增大，槽漏磁增大，擬合法得到的齒部磁密小于截取法得到的齒部磁密。

圖6 三種方法計算結果

對平行充磁同心瓦片型永磁同步電機，對表2中5 號和8 號極槽接近的永磁同步電機進行Ansys建模，利用時步有限元法計算得到一個電角度周期內的齒部磁密波形如圖7 和圖8 所示。電機定子齒寬相等，齒部磁密保持均勻分布。由圖7(b)和8(b)可知，齒部磁密的諧波較小，實際波形接近正弦，定子開槽設計使定子磁路飽和并產生較大的槽漏磁。因此，用解析法計算齒部磁密時，只需要計算齒部磁密的最大值，然后根據齒部磁密的正弦周期性得到不同位置時的齒部磁密。

圖7 5 號電機一個電周期內的齒磁密

圖8 8 號電機一個電周期內的齒磁密

4 結 語

本文利用面電流等效法，在不開槽時推導了氣隙磁密的解析計算公式，提出了截取加三次函數擬合法計算考慮飽和時的電機定子齒部最大磁密。用有限元法驗證了截取加三次函數擬合法，定子齒部最大磁密的解析計算結果誤差在1%以內。最后根據時步有限元法證實，極槽接近永磁同步電機的齒部磁密具有正弦的周期性。在考慮定子鐵心飽和的前提下，本文所提的方法非常適合極槽接近的永磁電機齒磁密計算，對此類型永磁電機的設計和性能分析有很大的幫助。

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