戴邵武， 王克紅， 錢儉學(xué)

(1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.92349部隊(duì)，山東 淄博 255178)

基于AKPSO算法的加速度計(jì)快速標(biāo)定方法*

戴邵武1， 王克紅1， 錢儉學(xué)2

(1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.92349部隊(duì)，山東 淄博 255178)

針對(duì)粒子群優(yōu)化(PSO)算法在加速度計(jì)標(biāo)定優(yōu)化后期出現(xiàn)的早熟、陷入局部最優(yōu)的不足，以及KalmanPSO(KPSO)算法在設(shè)計(jì)與應(yīng)用過程中存在的缺陷，提出了基于自適應(yīng)Kalman濾波的改進(jìn)PSO(AKPSO)算法，并將其成功應(yīng)用于加速度計(jì)快速標(biāo)定。利用粒子群狀態(tài)空間Markov鏈模型，建立了粒子群系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程；采用指數(shù)加權(quán)的自適應(yīng)衰減記憶Kalman濾波來對(duì)粒子的位置進(jìn)行估計(jì)。加速度計(jì)標(biāo)定仿真結(jié)果表明：所提出的算法在收斂速度、收斂精度方面都要優(yōu)于PSO，KPSO算法，有效地提高了加速度計(jì)的標(biāo)定精度。

加速度計(jì)標(biāo)定； 自適應(yīng)Kalman粒子群優(yōu)化； Markov鏈模型

0 引 言

慣性導(dǎo)航是一種抗干擾能力強(qiáng)、隱蔽性好不依賴于任何外部信息的自主導(dǎo)航系統(tǒng)，在航空、航天、航海和許多民用領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。然而慣性導(dǎo)航精度隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷下降的缺點(diǎn)嚴(yán)重制約了其導(dǎo)航精度的提高。慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差的標(biāo)定與補(bǔ)償，是提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度十分有效的方法。對(duì)此，荷蘭學(xué)者L?tters J C在1998年提出了基于模觀測(cè)的加速度計(jì)標(biāo)定方法[1]，基本原理是三軸的加速度計(jì)測(cè)量值的模等于重力加速度的模，以此為依據(jù),列寫待標(biāo)定參數(shù)的非線性方程組，這樣加速度計(jì)的標(biāo)定就轉(zhuǎn)化為非線性方程組的優(yōu)化求解問題。針對(duì)傳統(tǒng)非線性方程組求解方法[2～4]存在的不足，有學(xué)者將粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法[5]引入到加速度計(jì)的標(biāo)定中，證明了基于PSO算法的加速度計(jì)標(biāo)定方法具有可行性、有效性，與傳統(tǒng)牛頓迭代標(biāo)定方法相比，更加具有優(yōu)越性。

然而，在標(biāo)定優(yōu)化后期，PSO算法出現(xiàn)了早熟、標(biāo)定值陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果與理想結(jié)果之間存在一定差異。隨著對(duì)基本PSO算法研究的不斷深入，一些學(xué)者[6,7]將Kalman濾波原理引入到PSO算法，提出了KPSO(Kal-man PSO)算法，證明了KPSO算法在全局搜索能力和局部搜索能力方面都強(qiáng)于基本PSO算法，并將其成功應(yīng)用于數(shù)據(jù)分類。但文獻(xiàn)[6]只報(bào)道了Kalman濾波對(duì)基本PSO算法搜索能力的提升，對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)沒有進(jìn)行深入的探討，對(duì)濾波器應(yīng)用過程中存在的缺陷沒有分析；粒子運(yùn)動(dòng)的建模也只采用了線性模型，而實(shí)際的粒子運(yùn)動(dòng)是非常復(fù)雜的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，濾波模型參數(shù)難以適應(yīng)實(shí)際系統(tǒng)，容易導(dǎo)致濾波發(fā)散。

針對(duì)上述問題，本文提出了自適應(yīng)Kalman濾波改進(jìn)的PSO算法(adaptive Kalman PSO,AKPSO)，并將其應(yīng)用于加速度計(jì)的快速標(biāo)定中，仿真結(jié)果表明:AKPSO算法能夠有效地提高加速度計(jì)的標(biāo)定優(yōu)化精度。

1 加速度計(jì)標(biāo)定原理

1.1 加速度計(jì)輸出模型

在只考慮零階和一階參數(shù)時(shí)，加速度計(jì)單位時(shí)間脈沖輸出模型[8]為

=Ka·fb+Da+na,

(1)

式中Ka為加速度計(jì)的脈沖當(dāng)量矩陣，Na為單位時(shí)間加速度計(jì)輸出脈沖,pulse;fb為比力矢量在b系的表示，Da為加速度計(jì)常值零偏,m/s2;na為加速度計(jì)測(cè)量噪聲。

根據(jù)公式(1)表示的加速度計(jì)輸入輸出關(guān)系，可以從加速度計(jì)脈沖輸出得到比力測(cè)量結(jié)果

=KANa-f0-δa.

(2)

1.2 模觀測(cè)標(biāo)定原理

靜態(tài)條件下，加速度計(jì)的測(cè)量滿足

(3)

(4)

公式(4)表明，靜態(tài)條件下，無(wú)論慣測(cè)組合處于什么姿態(tài)，加速度的模都是已知的。

將加速度計(jì)標(biāo)定參數(shù)模型(2)代入式(4)得

|fb|=|KANa-f0-δa|=g.

(5)

兩邊平方，整理得

g2=|fb|2=(KANa-f0-δa)T(KANa-f0-δa).

(6)

式(6)是關(guān)于加速度計(jì)待標(biāo)定參數(shù)的非線性方程，多個(gè)位置的觀測(cè)可以組成非線性方程組，求解非線性方程組就可得到標(biāo)定參數(shù)。針對(duì)傳統(tǒng)非線性方程組求解方法的不足，將PSO方法引入到非線性方程組的求解之中，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(7)

這里，θa為待標(biāo)定參數(shù)θa=[KAf0]，J為標(biāo)定時(shí)靜態(tài)測(cè)試的位置數(shù)。這樣，就將非線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)全局優(yōu)化問題，通過最小化目標(biāo)函數(shù)即可得到待標(biāo)定參數(shù)。

2 AKPSO算法

2.1PSO算法描述

PSO算法是Kennedy和Eberhart提出的一種基于種群的隨機(jī)優(yōu)化算法，源于對(duì)鳥群覓食等社會(huì)行為的模擬。與其它進(jìn)化算法類似，粒子群算法也是通過個(gè)體間的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間中最優(yōu)解的搜索。算法中，每個(gè)優(yōu)化問題的解被看作搜索空間的一個(gè)“粒子”，粒子在解空間運(yùn)動(dòng)，由一個(gè)速度決定其飛行方向和距離。每一次迭代過程中，粒子跟蹤兩個(gè)“極值”來更新自己的速度和位置：一個(gè)是粒子本身找到的最優(yōu)解，另一個(gè)是整個(gè)種群的全局最優(yōu)解，粒子速度和位置更新方程如下[9]

(8)

2.2 AKPSO模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，PSO算法中粒子的速度、位置、個(gè)體最優(yōu)位置、全局最優(yōu)位置共同組合構(gòu)成的狀態(tài)是一個(gè)Markov狀態(tài)，即：下一時(shí)刻的狀態(tài)空間僅僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)空間有關(guān)，且狀態(tài)空間為可列集，粒子不同時(shí)刻的狀態(tài)序列構(gòu)成Markov鏈。考慮最小化優(yōu)化問題，則重新列寫PSO算法方程為

(9)

其中

(10)

(11)

其中,Φk,k-1為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且

Φk,k-1=

將式(9)的前兩式改造如下

(12)

令Zk=[zpk;zvk]，則系統(tǒng)觀測(cè)方程為

(13)

對(duì)式(11)和式(13)采用指數(shù)加權(quán)的自適應(yīng)衰減記憶Kalman濾波，其濾波方程如下:

一步預(yù)測(cè)均方誤差陣為

(14)

濾波增益為

(15)

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)值為

(16)

狀態(tài)估計(jì)值為

(17)

估計(jì)均方誤差為

(18)

預(yù)測(cè)均方誤差為

=eα·Pk+1,k.

(19)

通過公式(20)變換得到粒子的新位置

(20)

AKPSO算法框架圖如圖1所示。

圖1 AKPSO算法框架圖

3 基于AKPSO算法的加速度計(jì)標(biāo)定

3.1 參數(shù)設(shè)置

加速度計(jì)待標(biāo)定參數(shù)有12個(gè)，要完全激勵(lì)出所有參數(shù)需要在至少12個(gè)不相關(guān)的位置進(jìn)行觀測(cè)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式可知，進(jìn)行位置觀測(cè)數(shù)越多，標(biāo)定精度越高，為了提高參數(shù)標(biāo)定精度，本文在仿真中取24個(gè)位置進(jìn)行觀測(cè)，三種基本初始方位放置如表1所示，在每一基本初始方位下，又變換8種方位。第一種初始方位y軸指北，以45°間隔繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，變換8個(gè)方位；第二種初始方位x軸指北，以45°間隔繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，變換8個(gè)方位；第三種初始方位z軸指北，以45°間隔繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，變換8個(gè)方位，共計(jì)24個(gè)位置。

表1 位置觀測(cè)的三種初始方位

Tab 1 Three initial positions of observation

為了驗(yàn)證AKPSO算法在加速度計(jì)標(biāo)定中的應(yīng)用性能，仿真中將AKPSO算法與KPSO，PSO算法進(jìn)行對(duì)比仿真。具體參數(shù)設(shè)置為：粒子種群規(guī)模N=500，粒子維數(shù)D=12，加速因子c1=c2=2，迭代步數(shù)500步，PSO算法慣性權(quán)重w=0.728 9，系統(tǒng)自適應(yīng)Kalman濾波的狀態(tài)初值為0，初始估計(jì)均方差P0=εdiag(w,w,w,w)，ε調(diào)整常數(shù)，w是粒子位置邊界條件組成的行向量；系統(tǒng)過程噪聲方差陣初值Q0=εdiag(w,w,w,w)；觀測(cè)噪聲方差陣初值為R0=εdiag(w,w)。

3.2 標(biāo)定結(jié)果與分析

在仿真過程中，為了避免四舍五入造成的算法性能無(wú)法區(qū)分，標(biāo)定結(jié)果多取了一位，標(biāo)定仿真結(jié)果如表2和圖2所示。

圖2 加速度計(jì)標(biāo)定適應(yīng)度函數(shù)曲線

結(jié)合圖2和表2的加速度計(jì)標(biāo)定結(jié)果可以得出：在加速度計(jì)標(biāo)定優(yōu)化中，AKPSO算法在收斂速度、收斂精度方面都要優(yōu)于PSO,KPSO算法，有效地提高了加速度計(jì)的標(biāo)定精度。

表2 加速度計(jì)的標(biāo)定結(jié)果

4 結(jié) 論

本文從工程實(shí)際需要的角度出發(fā)，提出了AKPSO算法，并將其成功應(yīng)用于加速度計(jì)快速標(biāo)定。該算法利用粒子群狀態(tài)空間Markov鏈模型，建立了粒子群系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程；采用指數(shù)加權(quán)的自適應(yīng)衰減記憶Kalman濾波來對(duì)粒子的位置進(jìn)行估計(jì)。加速度計(jì)標(biāo)定仿真結(jié)果表明:AKPSO算法在收斂速度、收斂精度方面都要優(yōu)于PSO,KPSO算法，有效地提高了加速度計(jì)的標(biāo)定精度。

[1] L?tters J C,Schipper J,Veltink P H,et al.Procedure for in-usecalibration of triaxial accelerometers in medical applications[J].Sensors and Actuators A:Physical,1998,61(1):221-228.

[2] Skog I,H Ndel P.Calibration of a MEMS inertial measurement unit[C]∥XVII IMEKO World Congress,2006.

[3] Fong W,Ong S,Nee A.Methods for in-field user calibration of an inertial measurement unit without external equipment[J].Mea-surement Science and Technology,2008,19(8)：085202-085213.

[4] Syed Z,Aggarwal P,Goodall C,et al.A new multi-position calibration method for MEMS inertial navigation systems[J].Mea-surement Science and Technology,2007,18(7):1897-1907.

[5] Kennedy J,Eberhart R C.Particle swarm optimization[C]∥Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks,Piscataway,New Jersey,1995:1942-1948.

[6] Monson C K,Seppi K D.The Kalman swarm:A new approach to particle motion in swarm optimization[C]∥Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference,Springer,2004:140-150.

[7] Suresh Chandra Satapathy,Suresh Chittineni,Mohan S Krishna,et al.Kalman particle swarm optimized polynomials for data cla-ssification[J].Applied Mathematical Modeling,2012,36(1):115-126.

[8] 張紅良.陸用高精度激光陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差參數(shù)估計(jì)方法研究[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2010.

[9] 潘 峰,周 倩,李位星,等.標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法的馬爾科夫鏈分析[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2013,39(4):381-389.

[10] 廖振興,鐘偉民,錢 鋒.基于高斯白噪聲擾動(dòng)變異的粒子群優(yōu)化算法[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008，34(6):859-863.

Rapid calibration method for accelerometerbased on AKPSO algorithm*

DAI Shao-wu1, WANG Ke-hong1, QIAN Jian-xue2

(1.Department of Control Engineering,Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai 264001,China； 2.92349 Unit of PLA,Zibo 255178,China)

Aiming at premature and trapped in a local optimum which appeared in calibration optimization of accelerometer based on particle swarm optimization(PSO)algorithm and insufficience which existed in design and application process of Kalman PSO(KPSO)algorithm,an improved PSO algorithm based on adaptive Kalman filtering(AKPSO)is proposed and it is applied successfully to fast calibration of accelerometer.Using particle swarm state space Markov chain model,state equation and observation equation of particle swarm system are established;exponentially weighted adaptive attenuation memory Kalman filtering is used to estimate position of particle.Simulation result of accelerometer calibration shows that the proposed algorithm is better than PSO and KPSO algorithm in both convergence speed and convergence precision,and it can effectively improve calibration precision of accelerometer.

calibration of accelerometer; adaptive Kalman PSO(AKPSO); Markov chain model

2014—07—03

中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M532173)； 航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20135184007)

10.13873/J.1000—9787(2015)02—0069—04

U 666.1; TP 18

A

1000—9787(2015)02—0069—04

戴邵武(1966-)，男，湖南邵陽(yáng)人，博士，教授，研究方向?yàn)閼T性導(dǎo)航、組合導(dǎo)航、人工智能。