馬佳輝，薛亞奎

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原030051）

0 引 言

隨著在醫(yī)院和社區(qū)越來越常見的細(xì)菌病原體產(chǎn)生的抗生素耐藥性的增加，給全球人類健康帶來了日益增長的威脅．抗生素耐藥性細(xì)菌會引起如敗血癥，膿腫，傷口感染，皮膚和軟組織感染和血液感染等后遺癥．然而，健康人也可能攜帶抗生素耐藥性細(xì)菌而不造成感染．人類身體的許多部位可以成為抗生素耐藥性細(xì)菌的大量繁殖的地方如葉腋，會陰，腹股溝，直腸，皮膚，前鼻孔．事實上，三分之一的人類是無癥狀的鼻腔攜帶金黃色葡萄球菌［1－2］．因此有限的治療選擇使預(yù)防變得越來越重要，必須在最前沿實現(xiàn)有效的感染控制策略．

數(shù)學(xué)模型幫助我們理解觀測到的流行病學(xué)模式，疾病控制，影響疾病傳播的潛在機制，還可能給我們提供疾病的控制策略．Lipsitch 和Levin［3］提出了一個簡單的藥物動力學(xué)和細(xì)菌種群動態(tài)的數(shù)學(xué)模型，旨在抑制治療期間耐藥性的突然出現(xiàn)．除了由常微分方程描述的流行病模型成為了重要的分析控制傳染病傳播的工具，各種各樣的非線性發(fā)生率和時滯模型也被用于生物數(shù)學(xué)的模型研究中［4－8］．許多專家學(xué)者也都在討論時滯是如何影響傳染病的傳播的［9］．本文分析了醫(yī)院內(nèi)傳染的抗生素耐藥菌的時滯模型，引入時滯代表未攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者成為攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者的潛伏時間，根據(jù)文獻［10－11］本文采用來表示醫(yī)院內(nèi)工作人員的行為對疾病傳染的抑制作用，旨在研究和討論模型中平衡點的穩(wěn)定性，分析醫(yī)護工作者的行為對疾病傳播的影響．

1 時滯模型

本節(jié)考慮了具有非線性發(fā)生率的院內(nèi)感染的抗生素耐藥性的時滯傳染病模型．假設(shè)U 為未感染者，I 為耐藥菌感染者，R 為康復(fù)者，A 表示每天醫(yī)院新增的病人數(shù)．HU是未攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者，HR是攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者，Np為病人總數(shù)，Nh為醫(yī)護工作者總數(shù)．γ1是未感染者與攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者接觸后被感染的概率，γ2是醫(yī)護工作者與耐藥菌感染者接觸后攜帶耐藥菌的概率，μ 為出院率，δ 為因病死亡率，p 是治愈率，表示耐藥菌感染者在醫(yī)院的平均治療時間，B 為每天進入醫(yī)院的醫(yī)護工作者總數(shù)，d 是醫(yī)護工作者脫離攜帶的概率，C 為正常數(shù)．引入時滯代表未攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者成為攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者的潛伏時間．在t 時刻只有在τ 個時間單位前也就是t－τ 時刻接觸感染者的未攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者成為了攜帶者，即他們在tτ時刻接觸感染者時未攜帶耐藥菌．因此攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者的感染項為γ2I（t－τ）HU（t－τ），正參數(shù)τ 代表潛伏時間．對于病人來說，未被感染的病人是通過接觸攜帶耐藥菌的醫(yī)護工作者而被感染的．而醫(yī)護工作者又是通過接觸感染者才攜帶耐藥菌的．因此，醫(yī)護工作者的一些行為可能對疾病的傳播有很大的影響，如消毒和洗手．所以用來表示醫(yī)院內(nèi)工作人員的行為對疾病傳染的抑制作用．建立時滯模型如下：

考慮到實際情況，模型中所有的參數(shù)都應(yīng)為正數(shù)，所以設(shè)初始條件為U（ε）＝U0，I（ε）＝I0，

R（ε）＝R0，HU（ε）＝H0U，HR（ε）＝H0R，ε∈［－τ，0］．

其中，U0≥0，I0≥0，R0≥0，HU0≥0，HR0≥0．因為Np是病人總數(shù)，Nh為醫(yī)院工作人員總數(shù)，且

Np（t）＝U（t）＋I（t）＋R（t），Nh（t）＝HU（t）＋HR（t），因而可得

又B＝dNh，易知系統(tǒng)（1）同樣可以化為

式中：Q＝pq＋μ＋δ．R 和HU的值可以由R ＝得到．考慮到實際情況，模型的解均應(yīng)是正數(shù)，因此系統(tǒng)（2）的可行域為 和

這里，R3＋代表R3的非負(fù)區(qū)域．可以驗證Ω 是系統(tǒng)（2）的非負(fù)可行域［12］．是系統(tǒng)（2）的無病平衡點．了解疾病何時爆發(fā)是非常重要的，因此用文獻［13］中的方法來計算基本再生數(shù)R0，得出

當(dāng)R0≤1 時，在可行域Ω 中只存在無病平衡點；如果R0＞1，無病平衡點也存在．

假設(shè)R0＞1，首先考慮地方病平衡點的存在性，設(shè)地方病平衡點為E＊＝（U＊，I＊，HR＊），因此有I＊≠0，HR＊≠0，且是系統(tǒng)（2）與時間無關(guān)的一個解．因為與時間無關(guān)的解在t 時刻與t－τ時刻的值相同，所以在穩(wěn)定狀態(tài)下求解系統(tǒng)（2）得：

如果I＊≠0，在系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定狀態(tài)下替換U＊，HR＊，通過計算可得：

解方程得

顯然，當(dāng)R0＞1 時，I＊存在且唯一．所以系統(tǒng)（2）地方病平衡點I＊存在且唯一．

1．1 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理1 當(dāng)R0＜1 時，系統(tǒng)（2）的無病平衡點在可行域Ω 中是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0＞1時，不穩(wěn)定．

證明 在無病平衡點處線性化系統(tǒng)（2）得到Jacobian矩陣：

顯然，λ＝－μ 是一個負(fù)實根，所有其他的根由方程（3）決定．

當(dāng)τ＝0時，所有的特征根均為負(fù)數(shù)．由Hurwitz判定可知，若R0＜1 時，系統(tǒng)（2）的無病平衡點在可行域Ω 中是局部漸近穩(wěn)定的，若R0＞1時，不穩(wěn)定．

當(dāng)τ≠0時，如果R0＞1，要使系統(tǒng)（2）在無病平衡點處不穩(wěn)定只需方程（3）有一正根．首先，將方程（3）整理為如下形式：

另外，當(dāng)R0＜1 時，對于任意的λ≥0，F(xiàn)（λ）是遞增的且F（λ）≥0．而G（λ）關(guān)于λ 是遞減的且G（0）＝Qd（R02－1）＜0．因此方程（4）沒有非負(fù)實根，對某一τ＞0 一定有一對純虛根．設(shè)λ＝iω，不失一般性ω＞0 是方程（4）的一個根．從而，有

分離實虛部得：

對方程（5）和（6）兩邊平方消去三角函數(shù)，得到一個關(guān)于ω 的四次方程：

令z＝ω2，則可得

定理2 當(dāng)R0≤1 時，對任意的τ，系統(tǒng)（2）的無病平衡點在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 首先，把系統(tǒng)（2）的解轉(zhuǎn)化為xt，xt＝（U（t＋ε），I（t＋ε），HR（t＋ε）），其中ε∈［－τ，0］．定義Liapunov函數(shù)：

1．2 Hopf分支

首先以τ為參數(shù)分析Hopf分支發(fā)生的條件，假設(shè)R0＞1，則系統(tǒng)（2）的地方病平衡點是存在的．

定理3 若R0＞1，當(dāng)τ∈［0，τ0）時系統(tǒng)（2）的地方病平衡點E＊在Ω 中是局部漸近穩(wěn)定的．若R0＞R0＊＞1 且γ2A＞dQ，當(dāng)τ ＞τk時系統(tǒng)（2）的地方病平衡點處出現(xiàn)Hopf分支．

證明 在系統(tǒng)（2）中，地方病平衡點E＊處的特征方程：

整理得

實虛部分離可得

將方程（11）和（12）平方再相加得

令z＝ω2，有

由于

又因為R0＞1，所以，dμCR02＋μB ＋γ1B＜

由上可得這里只需證2Ad－（dQ＋Aγ2）I＊＜0．

接下來證明

這意味著對于任意的τ＞τk至少存在一個特征值有正實部，方程（10）對τ 求導(dǎo)，得

因此，當(dāng)f（R20）＝0 時，

所以，dQ 且R20＞R201，有

因此，方程（13）至少有一正解，即方程（10）有一對純虛根±iω0．同時，根據(jù)方程（11）和（12）得到相應(yīng)的τk＞0，進而得出方程（10）有一對純虛根

這樣，

由上式得，如果M－1＞0，H＞0，則

因此，M－1＞μR20－1，解得定義于 是，當(dāng)R0＞R＊0且γ2A＞dQ 時，推出因此，在系統(tǒng)（2）中，當(dāng)τ＝τk時，滿足橫截性條件和Hopf分支的發(fā)生條件．

2 數(shù)值模擬及分析

本節(jié)數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)（2）．根據(jù)不同數(shù)據(jù)反映出的實際情況，得出了不同的仿真結(jié)果來驗證以上結(jié)論．

當(dāng)R0＜1 時，系統(tǒng)（2）的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的．令見圖1．當(dāng)R0＞1 時，令A(yù)＝35；當(dāng)τ＝0時，系統(tǒng)（2）的地方病平衡點E＊是局部漸近穩(wěn)定的．見圖2．當(dāng)τ＜τ0時，系統(tǒng)（2）的地方病平衡點E＊是局部漸近穩(wěn)定的．見圖3．當(dāng)τ＞τ0時，得出R0＝5．150 3，R0＊＝4．941 1，顯然R0＞R＊0，γ2A＞dQ，地方病平衡點E＊不穩(wěn)定，在E＊處發(fā)生Hopf分支．見圖4．

圖1 系統(tǒng)（2）在無病平衡點處的全局穩(wěn)定性Fig．1 Global stability at the disease－free equilibrium of system（2）

圖2 τ＝0 時，系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處的局部穩(wěn)定性Fig．2 Local stability at the endemic equilibrium of system（2）whenτ＝0

圖3 τ＜τ0時，系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處的局部穩(wěn)定性Fig．3 Local stability at the endemic equilibrium of system（2）whenτ＜τ0

圖4 τ＞τ0時，系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處的Hopf分支Fig．4 Hopf bifurcation at the endemic equilibrium of system（2）whenτ＞τ0

由圖1 和圖2 可以看出，隨著時間的增加病人人數(shù)逐步達到一個穩(wěn)定的數(shù)值不再出現(xiàn)波動，說明系統(tǒng)達到了一個穩(wěn)定的狀態(tài)．根據(jù)所取得參數(shù)值可知，在圖1 中系統(tǒng)的基本再生數(shù)是小于0的，可以表明系統(tǒng)（2）在無病平衡點處是全局漸近穩(wěn)定的，而圖2中根據(jù)所取參數(shù)值系統(tǒng)的基本再生數(shù)是大于0的且τ＝0，所以系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處是局部漸近穩(wěn)定的．

在τ＜τ0時，根據(jù)參數(shù)值可知，系統(tǒng)的基本再生數(shù)大于零．從圖3（a）和圖3（b）可以看出，隨著時間的增加病人人數(shù)也在逐步趨向于一個穩(wěn)定的數(shù)值，說明了系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處是局部漸近穩(wěn)定的．

由圖4 可知，隨著時間的變化，病人人數(shù)是在一個范圍內(nèi)不斷地振蕩的，并未趨于一個穩(wěn)定的數(shù)值，由上面所給的參數(shù)值可得τ＞τ0，R0＝5．150 3，R＊0＝4．941 1，顯然R0＞R＊0，γ2A＞dQ，因此系統(tǒng)（2）在地方病平衡點處發(fā)生了Hopf分支形成了周期振蕩的情況．

3 結(jié) 論

本文研究了醫(yī)院內(nèi)具有非線性發(fā)生率與時滯的抗生素耐藥性傳染病的動力學(xué)模型．用來表示醫(yī)院內(nèi)工作人員的行為對疾病傳染的抑制作用，模型體現(xiàn)了醫(yī)院內(nèi)抗生素耐藥性的傳播過程．證明了模型中無病平衡點的穩(wěn)定性，當(dāng)τ≠0時，得到了時滯模型中Hopf分支發(fā)生的條件，系統(tǒng)將出現(xiàn)周期解．從生物學(xué)的角度來看，時滯影響了疾病的傳播．因此根據(jù)不同的情況，應(yīng)采取不同的方法來控制傳染病的傳播．

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