劉樂，韓建海

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

全閉環(huán)伺服機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)的研究

劉樂，韓建海

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

對于在各關(guān)節(jié)上采用編碼器的伺服控制的機(jī)器人，雖然結(jié)構(gòu)簡單，但是由于各關(guān)節(jié)實(shí)際響應(yīng)的結(jié)果與編碼器反饋存在誤差，所得的末端位姿的精確位置難以確定。為此，在很多場合下，都希望通過某種外部位姿直接給定手臂末端位姿的運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人全閉環(huán)的伺服控制，但是由于牽扯到坐標(biāo)系的變換，通常的基于關(guān)節(jié)伺服的齊次坐標(biāo)變換矩陣無法直接使用，本文作者給出一種數(shù)學(xué)方法，利用該方法，可方便地推導(dǎo)各種坐標(biāo)系間的變換矩陣，并且給出了全閉環(huán)伺服系統(tǒng)的正運(yùn)動學(xué)及其研究方法。

坐標(biāo)系變換;全閉環(huán)伺服機(jī)器人;正運(yùn)動學(xué);群論

0 前言

關(guān)節(jié)伺服控制的機(jī)器人是基于各個(gè)關(guān)節(jié)獨(dú)立進(jìn)行控制的，雖然它們結(jié)構(gòu)簡單，但是由于各關(guān)節(jié)實(shí)際的響應(yīng)的結(jié)果未知，所得的末端位姿的響應(yīng)就難以預(yù)測，而且為了得到適當(dāng)?shù)哪┒隧憫?yīng)，對于各關(guān)節(jié)的伺服系統(tǒng)的增益進(jìn)行調(diào)節(jié)也很困難，這時(shí)需要使用全閉環(huán)伺服來控制機(jī)器人。而一般的對于全閉環(huán)伺服機(jī)器人采用半閉環(huán)控制、全閉環(huán)位置反饋的混合閉環(huán)方式進(jìn)行［1］，但是這種控制方式可能會由于各關(guān)節(jié)運(yùn)動控制的誤差和傳感器測量誤差的積累從而使得整體控制的運(yùn)動平穩(wěn)性相對變差，并且隨著關(guān)節(jié)數(shù)目的增長問題將會更加嚴(yán)重，因此對于多關(guān)節(jié)的閉環(huán)控制伺服機(jī)器人采用全閉環(huán)控制和全閉環(huán)反饋的完全閉環(huán)機(jī)器人系統(tǒng)在理論上將會獲得更好的效果，但是它的運(yùn)動學(xué)推導(dǎo)和研究卻很少有人關(guān)注，混合閉環(huán)系統(tǒng)與完全閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖如圖1。

而對于各類直角坐標(biāo)系的變換，前人曾做了大量的基礎(chǔ)性的研究工作，而且由于直角坐標(biāo)系的變換在衛(wèi)星定位上的巨大的實(shí)用價(jià)值，而在GPS導(dǎo)航和定位中得到了充分的研究和利用，其中基于Bursa-Wolf模型、Molodensky Badekas模型、KrakivskyThomson模型、Veis模型的坐標(biāo)變換方法［2］得到大量的研究者的關(guān)注，已經(jīng)有人將理論進(jìn)行了簡化并且編制出使用的程序［3－5］，這些模型大多數(shù)含有7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)即3個(gè)平移參數(shù)，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個(gè)縮放因子［5］，這與所要研究的機(jī)器人的平移和旋轉(zhuǎn)相對應(yīng)，但是，上述研究主要偏向于導(dǎo)航，而與機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)關(guān)系不大，下面將通過一些基本的公式和原理來推導(dǎo)全閉環(huán)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)。

圖1 混合閉環(huán)系統(tǒng)與完全閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖

也就是說任意一個(gè)齊次坐標(biāo)變換群可以分解為一個(gè)正規(guī)子群旋轉(zhuǎn)群和一個(gè)子群平移群的半直積，若記旋轉(zhuǎn)群為Rot，平移群為Tv，則T=Rot×Tv。因此任意一個(gè)齊次坐標(biāo)矩陣都可以使用一個(gè)平移矩陣和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣來表示，也就是說任意一個(gè)空間的坐標(biāo)變換都可以分級為一個(gè)平移變換與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換。

根據(jù)因果關(guān)系原理，坐標(biāo)系On的姿態(tài)必然可以表示為由坐標(biāo)系O0至On－1中的一個(gè)坐標(biāo)系經(jīng)過旋轉(zhuǎn)矩陣Rn旋轉(zhuǎn)而得。定義坐標(biāo)系On的姿態(tài)是由坐標(biāo)系On－1相對于坐標(biāo)系Oi旋轉(zhuǎn)而得，而坐標(biāo)系 On－1可以由下式確定:

式中的R'k是坐標(biāo)系On－1式中旋轉(zhuǎn)矩陣經(jīng)過重排

1 數(shù)學(xué)模型、基本假設(shè)和基本定義

對齊次坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行分解得序后位于位置k的旋轉(zhuǎn)矩陣。

而這個(gè)公式與文獻(xiàn) ［6］中的吻合。

(2)當(dāng)坐標(biāo)系On相對于機(jī)架坐標(biāo)系O0進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)

則由式 (1)可得此時(shí)的平移公式:

由式 (2)可得此時(shí)的旋轉(zhuǎn)公式:

2 完全閉環(huán)伺服控制機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)

所以相對于動坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)。齊次坐標(biāo)矩陣右乘，相對于靜坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)齊次坐標(biāo)矩陣左乘的傳統(tǒng)的結(jié)論是不正確的。從位移方程式的平移項(xiàng)即可了解。

結(jié)論也是不正確的，這是由于一般的旋轉(zhuǎn)矩陣屬于SO(3)群，而SO(3)群為非阿貝爾群，所以兩個(gè)變換式 (12)與式 (13)一般不同，但是當(dāng)他們繞著同一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)陣退化為SO(2)群，而SO(2)群為阿貝爾群，此時(shí)式 (12)與式 (13)相同。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)基于Matlab2010b和Mupad實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)的坐標(biāo)變換陣有兩個(gè)T1為繞z軸旋轉(zhuǎn)π/2，平移向量為［2 1 3］，T2為繞y軸旋轉(zhuǎn)π/2，平移向量為 ［2 0 4］，變換前后的世界坐標(biāo)系保持不變，并且已經(jīng)在坐標(biāo)軸上給予顯示，而空間中的動坐標(biāo)系則在圖中使用紅色箭頭 (x軸)，綠色箭頭 (y軸)，藍(lán)色箭頭(z軸)表示，結(jié)果如下。

初始的坐標(biāo)定義如圖2所示。

圖2 初始坐標(biāo)系定義

(1)當(dāng)坐標(biāo)系On相對于坐標(biāo)系On－1進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)

圖3 對初始坐標(biāo)系使用T1變換時(shí)的結(jié)果m1

圖4 對m1坐標(biāo)系使用T2變換時(shí)的結(jié)果

從圖中可知，在相對于坐標(biāo)系On－1進(jìn)行坐標(biāo)系變換時(shí) (也就是傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人所使用的坐標(biāo)系)，與其他資料上的公式吻合良好，可以充分說明上述公式的正確性。

(2)當(dāng)坐標(biāo)系On相對于機(jī)架坐標(biāo)系O0進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)

圖5 對初始坐標(biāo)系使用T1變換時(shí)的結(jié)果m1

圖6 對m1坐標(biāo)系使用T2變換時(shí)的結(jié)果

從圖中可知，在相對于坐標(biāo)系O0進(jìn)行坐標(biāo)系變換時(shí) (也就是完全閉環(huán)機(jī)器人的坐標(biāo)系)，結(jié)果與常識吻合良好。

4 結(jié)論

給出一種數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)各種坐標(biāo)系的變換矩陣，并且推導(dǎo)了不同坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換矩陣。最后由齊次坐標(biāo)變換矩陣得出了基于固定坐標(biāo)系和運(yùn)動坐標(biāo)系的位移方程式，從理論上得到了全閉環(huán)伺服機(jī)器人的正確的正運(yùn)動學(xué)方程式。

［1］田文罡，陳學(xué)東，蘇軍，等.六足步行機(jī)器人的多關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制［J］.機(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用，2009(6):33－37.

［2］KUTOGLUHakan S，MEKIK Cetin，AKCIN Hakan.A Comparison of Two Well Known Models for 7-Parameter Transformation［J］.The Australian Surveyor，June 2002，47(1):24－30.

［3］李樹奎，杜國明，李秀海.進(jìn)行GPS坐標(biāo)成果轉(zhuǎn)換及精度分析的兩種方法［J］.煤炭技術(shù)，2004，23(7):89 －90.

［4］張萌，楊志勇，丁克良.基于改進(jìn)的布爾莎－沃爾夫模型的任意旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的研究［J］.北京測繪，2013，108(1):20 －23.

［5］陳宇，白征東，羅騰.基于改進(jìn)的布爾沙模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010，30(3):71 －73.

［6］韓建海.工業(yè)機(jī)器人［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2009:52.

Research about Direct K inematics of Full Close-loop Servo Control Robot

LIU Le，HAN Jianhai
(School ofMechatronics Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang Henan 471003，China)

The servo control of robot based on the encoder on the joint has a sample structure，but the actual response of every joint has a small difference with the encode value，so the precise position of the end of the robot is difficult to determine.For this reason，in many situations，the precisemotion of the end of the robotarm was expected to get directly in certainmethods from external position，so as to realize the full close-loop servo control of the robot，however，due to the coordinate transform concerned，the traditional method was not able to be applied to it directly based on homogeneous coordinate transform matrix of the servo joints.A mathematical method is given for using，which can easily deduce all kinds of coordinate transform matrix，and give the directkinematics of full closeloop servo control system and its researchmethod.

Coordinate transform;Close-loop servo control robot;Direct kinematics;Group theory

TP242.2

A

1001－3881(2015)21－074－4

10.3969/j.issn.1001 －3881.2015.21.017

2014－09－14

劉樂 (1989—)，男，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人。E－mail:qaqa1456@sina.com。