吳曉婷 王行建 張春蕊

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

責(zé)任編輯:戴芳天。

木材加工處理過程中存在大量的傳熱過程，同時熱傳遞過程是研究該過程材料變化機理的一個重要切入點。近年來，隨著工藝技術(shù)水平的不斷提高和加熱新方法的不斷推出，微波加熱處理等方法更為廣泛地被使用，對其研究的內(nèi)容也更加深入。木材微波處理過程中，微波能量以電磁波的形式直接穿透到木材內(nèi)部，并通過微波電磁場與木材中水分子和其他極性基團的相互作用而迅速產(chǎn)生大量的熱，實現(xiàn)木材的快速干燥和改性預(yù)處理［1］。對于微波干燥或預(yù)處理過程中木材內(nèi)部的溫度分布，學(xué)者曾提出不同的看法。文獻［2］中提到在微波干燥過程中，木材內(nèi)存在著內(nèi)高外低的溫度場，并認為該溫度場的存在是使木材具有高干燥速率的主要原因。文獻［3］認為在一定的輻射功率和厚度范圍內(nèi)，木材厚度方向溫度分布比較均勻，基本不呈現(xiàn)出內(nèi)高外低或外低內(nèi)高的溫度梯度。李賢軍等人從熱傳導(dǎo)的物理規(guī)律出發(fā)，建立了微波加熱過程中木材內(nèi)部的熱傳導(dǎo)模型，并且說明了不同微波加熱方式對木材內(nèi)部溫度分布有不同影響。該模型的熱傳導(dǎo)方程中包含熱源項，通常熱源的解析解是不容易得到的。文獻［4］運用分離變量法，邊界條件齊次化，定義算子等相結(jié)合的方法求解了微波加熱過程中木材內(nèi)部的熱傳導(dǎo)模型中熱源的近似解析解。文獻［5］討論的是非線性熱傳導(dǎo)方程中未知系數(shù)反演，運用中心差分離散方程得到迭代矩陣;然后通過建立牛頓迭代公式求解迭代增量，進而反演出方程中未知系數(shù)。

筆者借鑒文獻［3］的方法來討論微波加熱過程中木材內(nèi)部熱傳導(dǎo)模型中熱源的數(shù)值解，最終得到了求解這一類熱傳導(dǎo)方程反問題的穩(wěn)定的數(shù)值解法。微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度分布隨時間變化的模型即為形如模型(1)［5］的熱傳導(dǎo)方程:

式中:U 指溫度值，未知的非齊次項Φ 即稱為熱源，求解熱源Φ 的過程即為熱源反演過程。

1 熱傳導(dǎo)方程的反演

1.1 模型離散

對模型(1)進行離散，采用均勻的網(wǎng)格剖分如下:

對方程，在(xi，tj+1/2)處采用中心差分離散:

有簡記形式如下:

則得到:

在x=0，x=l 處離散邊界條件得到:

當把離散格式寫成矩陣方程組的形式，則可以得到迭代矩陣:

式中:Qj+1是(m+1)×(m+1)階嚴格三對角占優(yōu)陣;Wj+1是三對角矩陣，且有:

由此可得到迭代矩陣，并且可通過證明得到此格式穩(wěn)定，并且對于輸入條件的擾動也是穩(wěn)定的。

1.2 迭代增量及牛頓迭代格式

首先選擇誤差函數(shù)為:

選擇熱源函數(shù)類為:

為了使T 最小，只需要令T 關(guān)于b0，b1，b2的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即

式中:Δb0，Δb1，Δb2分別為b0，b1，b2的迭代改善增量;dd 是偏導(dǎo)數(shù)的離散步長，關(guān)于b0，b1，b2采用相同的離散步長。

2 單向微波處理中木材內(nèi)部溫度分布模型的熱源數(shù)值反演

單向微波加熱時，微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度分布隨時間變化的熱傳導(dǎo)模型如下:

式中:q0，λ，c，b 分別表示微波輻射功率、木材傳熱系數(shù)、熱容量、木材對微波的吸收系數(shù)，其取值由文獻［3］中的值確定，分別為:

即熱源函數(shù)系數(shù)的精確解為:

基于第一部分的方法，對模型(2)中的熱源進行數(shù)值反演。在這里將熱源函數(shù)的系數(shù)初值選為:

在空間和時間上采用相同的m=n 等分的網(wǎng)格剖分，表1為取不同網(wǎng)格剖分時的計算結(jié)果。

表1 不同網(wǎng)格剖分時的計算結(jié)果

當m=n=20 選取時，第5 次反演得到的近似熱源函數(shù)為:

圖1為當m=n=20 時，熱源實際值與選取的熱源初值反演得到的熱源值的對比圖像。圖1和表1顯示了經(jīng)過反演后的熱源值更接近于實際值，反演次數(shù)越多，反演值越接近實際值;而且網(wǎng)格剖分越細，反演效果越好，反演值越接近實際值。

圖1 熱源實際值與反演值對比圖

3 結(jié)論

研究了單項微波輻射時，微波加熱過程中木材內(nèi)部溫度隨時間變化的熱傳導(dǎo)模型的熱源反演。對于這一類熱傳導(dǎo)模型，采用的方法是，首先用有限差分法將偏微分方程及其初邊值條件離散，得到迭代方程，用來求解網(wǎng)格節(jié)點上的溫度值;經(jīng)過相應(yīng)的理論推導(dǎo)可得到此迭代方程是穩(wěn)定且收斂的。然后，運用最小二乘法構(gòu)造誤差函數(shù)，對誤差函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)進行一階泰勒展開，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零，近似得到計算熱源的牛頓迭代格式。最后進行反演，并將反演結(jié)果與實際值作比較，模擬結(jié)果表明該方法有很好的逼近效果，于是得到了求解這一類熱傳導(dǎo)方程反問題的穩(wěn)定的數(shù)值解法。

［1］ 李賢軍，孫偉勝，周濤，等.微波處理中木材內(nèi)溫度分布的數(shù)學(xué)模擬［J］.林業(yè)科學(xué)，2012，48(3):117－121.

［2］ 佟永會.木材微波干燥工藝的研究［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報，1986，14(3):67－73.

［3］ 李賢軍，張璧光，李文軍，等.微波真空干燥過程中木材內(nèi)部的溫度分布［J］.北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，28(6):128－131.

［4］ 劉暢，王行建，曹軍.微波處理中木材內(nèi)溫度分布模型的熱源反演［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)，2014，42(8):131－132.

［5］ 趙麗玲.一類非線性熱傳導(dǎo)方程的反演計算［D］.杭州:杭州師范大學(xué)，2013.