鄭世旺，趙永紅

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘，476000)

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺，趙永紅

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘，476000)

通過完整系統(tǒng)的Tzénoff方程,給出了該系統(tǒng)Tzénoff方程的Lie對稱性及其共形不變性的定義,研究了該系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性及其守恒量, 給出了這種守恒量的函數(shù)表達式和導(dǎo)出這種守恒量的判據(jù)方程, 最后給出一個應(yīng)用實例.

完整系統(tǒng)；Tzénoff方程;Lie對稱性;共形不變性;守恒量

0 引 言

1918年德國女科學(xué)家A.E. Noether首次發(fā)現(xiàn)，對稱性與守恒量之間有對應(yīng)關(guān)系，通過研究動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性可以找出系統(tǒng)的守恒量[1]，為尋找實際力學(xué)系統(tǒng)的守恒規(guī)律提供了方法和途徑. 但是，當(dāng)時并沒有引起太多人的重視，直到20世紀(jì)70年代，分析力學(xué)界才開始認識到Noether理論的科學(xué)價值，從此對稱性與守恒量的研究得到蓬勃發(fā)展，并取得了一系列重要成果[2-14].1997年,俄羅斯學(xué)者Galiullin等在研究Birkhoff 系統(tǒng)動力學(xué)時首次提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念, 并討論了Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性與共形不變性及Lie 對稱性與共形不變性之間的關(guān)系[15]. 共形不變性及其守恒量的研究較為復(fù)雜，我國學(xué)者關(guān)于約束系統(tǒng)共形不變性的研究起步較晚，蔡建樂和梅鳳翔教授在2008年研究了Lagrange 系統(tǒng)Lie點變換下的共形不變性與守恒量[16]，從此推動了共形不變性及其守恒量的研究，現(xiàn)在共形不變性的研究已逐步擴展到Hamilton系統(tǒng)、相對運動系統(tǒng)、機電力學(xué)系統(tǒng)、變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等動力學(xué)系統(tǒng)，并取得了不少成果[17-22].1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運動微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動力學(xué)方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡捷的動力學(xué)微分方程．在1985到1987年期間，我國學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[23]、變質(zhì)量系統(tǒng)[24]，近年來Tzénoff方程的對稱性與守恒量的研究也取得了一些成果[25-31],但關(guān)于Tzénoff方程的共形不變性與守恒量的研究還沒見有文獻報道.

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性及其守恒量.首先,建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性共形不變性的概念, 給出了Lie對稱性共形不變性的確定方程和產(chǎn)生相應(yīng)守恒量的表達式及導(dǎo)出這種守恒量的必要條件, 最后通過一個簡例說明本文結(jié)果的應(yīng)用.

1 完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1,…,n)來確定，質(zhì)點的矢徑ri=ri(t,qs),系統(tǒng)的Tzé-noff函數(shù)為

(1)

(2)

展開(2)式可得到廣義加速度

(3)

2 完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性

取時間不變的特殊無限小變換

(4)

或其展開式

(5)

其中ε是一無限小參數(shù)，ξs為無限小生成元. 由于Lie對稱性是微分方程在群的無限小變換下的一種不變性[3]，又因方程(2)有(3)式的結(jié)果，所以，根據(jù)定義可得完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的判據(jù)方程

(6)

或

(7)

即

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性所導(dǎo)出的守恒量

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性因限制條件多,導(dǎo)出守恒量較難,但滿足一定條件下也可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量.

(14)

則Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性將直接導(dǎo)出Hojman守恒量

(15)

式中算符

(16)

證明 將(15)式按(16)式的關(guān)系對時間求導(dǎo),并利用Lie對稱性判據(jù)方程(8)和算子換算關(guān)系

得

將(14)式代入上式，得

證畢.

4 應(yīng)用例子

已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為

(17)

試研究該力學(xué)系統(tǒng)Lie對稱性的共形不變性和其導(dǎo)出的守恒量.

解 把Tzénoff函數(shù)(16)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff方程(2),得

(18)

即

(19)

取

ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2,

(20)

有

(21)

所以,Lie對稱性共形不變性的判據(jù)方程(10)成立,系統(tǒng)具有Lie對稱性的共形不變性,其共形因子

(22)

顯然,生成元(19)滿足Lie對稱性判據(jù)方程(8), 系統(tǒng)同時也具有Lie對稱性.

方程(14)式給出

(23)

它有如下解

μ=t2,

(24)

(25)

(23)式只能給出平凡守恒量

IH1=4

(24)式給出Hojman守恒量

(26)

5 結(jié) 語

本文首次研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性及其守恒量，通過建立完整系統(tǒng)的Tzénoff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性共形不變性的概念, 給出了Lie對稱性共形不變性的確定方程和產(chǎn)生相應(yīng)守恒量的表達式及導(dǎo)出這種守恒量的必要條件. 該研究結(jié)果對進一步探究非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎(chǔ)．

[1]NoetherAE.InvarianceVariationsproblems[J].KglGesWissNachrG?ttingenMathPhys., 1918,KI,II:235-257

[2]MeiFengxiang.ForminvarianceofLagrangesystem[J].JournalofBeijingInstituteofTechnology, 2000, 9(2):120-124.

[3] 梅鳳翔. 約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M]. 北京：北京理工大學(xué)出版社,2004.

[4]FuJingli,WangXianjun,XieFengping.ConservedQuantitiesandConformalMechanico-ElectricalSystems[J].ChinesePhysicsLetters,2008,25(7):2413-2416.

[5]ZhaoLi,FuJingli.AnewtypeofconservedquantityofMeisymmetryforthemotionofmechanicoelectricalcouplingdynamicalsystems[J].ChinesePhysicsB,2011,20(4):040201(1-4).

[6] 張宏彬，呂洪升，顧書龍.完整約束力學(xué)系統(tǒng)保Lie對稱性差分格式[J] .物理學(xué)報,2010,59(8):5213-5218.

[7] 張毅. 事件空間中完整系統(tǒng)的Lie對稱性與絕熱不變量[J].物理學(xué)報,2007,56(6):3054-3059.

[8] 劉暢，趙永紅，陳向煒. 動力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性的幾何表示[J]. 物理學(xué)報,2010,59(1):11-14.

[9] 方建會.Lagrange系統(tǒng)Mei對稱性直接導(dǎo)致的一種守恒量[J] .物理學(xué)報,2009,58(6):3617-3619.

[10]LiYanmin.LieSymmetries,PerturbationtoSymmetriesandAdiabaticInvariantsofaGeneralizedBirkhoffSystem[J].ChinesePhysicsLetters, 2010, 27(1): 010202(1-4).

[11] 韓月林, 王肖肖, 張美玲, 賈利群. 弱非完整系統(tǒng)Mei對稱性導(dǎo)致的新型精確和近似守恒量[J]. 物理學(xué)報,2013,62(11)：110201(1-6).

[12]ShaoKaiLuo,ZhuangJunLi,WangPeng,LinLi.ALiesymmetricalbasicintegralvariablerelationandanewconservationlawforgeneralizedHamiltoniansystems[J].ActaMechanica, 2013, 224(1): 71-84.

[13] 王菲菲，方建會，王英麗，徐瑞莉. 離散變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Noether對稱性與Mei對稱性[J]. 物理學(xué)報,2014,63(17)：170202(1-6).

[14] 孫現(xiàn)亭，張耀宇，薛喜昌，賈利群. 增加附加項后廣義Hamilton系統(tǒng)的形式不變性與Mei守恒量[J]. 物理學(xué)報,2015,64(6)：064502(1-4).

[15] Галиуллин А С，Гафаров Г Г，Малайшка Р П，etal. Аналитическая Динамика Систем Гельмгольца，Виркгофа，Намбу：Монография[M].Москва：Редакция Журнала “Успехи Физических Наук”，1997.

[16] 蔡建樂,梅鳳翔.Lagrange系統(tǒng)Lie點變換下的共形不變性與守恒量[J].物理學(xué)報,2008,57(9):5369-5373.

[17] 李彥敏.變質(zhì)量非完整力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性[J] .云南大學(xué)學(xué)報( 自然科學(xué)版),2010,32(1):52-57.

[18]ChenXiangwei,ZhaoYonghong,LiYanmin.Conformalinvarianceandconservedquantitiesofdynamicalsystemofrelativemotion[J].ChinesephysicsB,2009,18(8):3139-3144.

[19] 王小明,李元成,夏麗莉.機電系統(tǒng)Mei對稱性的共形不變性與守恒量[J].貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,26(6):32-38.

[20] 陳向煒, 趙永紅, 劉暢.變質(zhì)量完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量[J]. 物理學(xué)報, 2009, 58(8): 5150-5154.

[21] 王廷志,韓月林.相對運動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量[J].江南大學(xué)學(xué)報( 自然科學(xué)版),2013,12(2):234-238.

[22] 孫現(xiàn)亭，張耀宇，張芳， 賈利群. 完整系統(tǒng)Appell方程Lie對稱性的共形不變性與Hojman守恒量[J]. 物理學(xué)報,2014,63(14)：140201(1-4).

[23] 程丁龍.ЦЕНОВ方程對變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的推廣[J].北京理工大學(xué)學(xué)報,1987(3)： 76-85.

[24] 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1985.

[25]ZhengShiwang,JiaLiqun,YuHongsheng.MeiSymmetryofTzénoffEquationsofHolonomicSystem[J].ChinesePhysics,2006 ,15(7):1399-1402.

[26]ZhengShiwang，XieJiafang,LiYanmin.MeisymmetryandconservedquantityofTzénoffequationsfornonholonomicsystemsofnon-Chetaev,stype[J].CommunicationsinTheoreticalPhysics,2008,49(4):851-854.

[27] 鄭世旺,解加芳,陳向煒，等.完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對稱性直接導(dǎo)致的另一種守恒量[J] .物理學(xué)報,2010,59(8):5209-5212.

[28]ZhengShiwang,WangJianbo,ChenXiangwei,XieJiafang.MeisymmetryandnewconservedquantitiesofTzénoffequationsforthevariablemasshigher-ordernonholonomicsystem[J].ChinesePhysicsLetters,2012,29(2):020201(1-4).

[29] 鄭世旺,陳梅.非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對稱性所對應(yīng)的一種新守恒量[J] .云南大學(xué)學(xué)報,2011,33(4):412-416.

[30] 鄭世旺,王建波,陳向煒,李彥敏,等.變質(zhì)量非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Lie對稱性與其導(dǎo)出的守恒量[J] .物理學(xué)報,2012,61(11):111101(1-5).

[31] 鄭世旺,王建波.廣義Tzénoff數(shù)的構(gòu)造及求解完整系統(tǒng)守恒量的簡單方法[J] .商丘師范學(xué)院學(xué)報,2014,30(6):29-34.

[32] 梅鳳翔,劉端,羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,1991.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang ，ZHAO Yonghong

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

By the Tzénoff equations of holonomic systems, the definitions of conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given. Conformal invariance and conserved quantity of Lie symmetry for Tzénoff equations in the systems are studied. The function expressions of conserved quantities and the criterion equations which deduce the conserved quantities are obtained. Finally, an example is given to illustrate the application of the result.

holonomic systems; Tzénoff equations; Lie symmetry; conformal invariance; conserved quantity

2015-03-07；

2015-03-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372169)

鄭世旺(1963-)，男，河南蘭考人，商丘師范學(xué)院教授；主要從事分析力學(xué)的研究.

O320

A

1672-3600(2015)06-0039-05