鄭慶云 宋一杰

（天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津 301636）

金融保險中最優(yōu)分紅問題的研究綜述

鄭慶云 宋一杰

（天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津 301636）

紅利分配問題主要來源于對公司經(jīng)營盈利進(jìn)行處置的財務(wù)決策問題的研究。分紅指公司根據(jù)將部分經(jīng)營盈余分配給股東或者投資者，分紅在一定程度上反映了公司的經(jīng)營效益。如果分紅太多，會降低公司的抗風(fēng)險能力；同時如果股東預(yù)測公司未來的經(jīng)營收益較好，會更希望將盈余留在公司資產(chǎn)中運營，以得到更多的回報。所以，采取怎樣的分紅策略，即何時分紅和分紅量的大小就成了熱點研究問題。最優(yōu)分紅就是尋找一種分紅策略使得期望累積折現(xiàn)分紅達(dá)到最大。本綜述立足于近十幾年來的研究成果，圍繞著當(dāng)公司破產(chǎn)時融資和不融資兩個方面進(jìn)行梳理，以期對今后繼續(xù)研究提供有益的參考。

一、研究背景

在1957年的第15屆國際金融大會上，De Finetti介紹了一篇關(guān)于紅利分配的文章，討論了分紅問題，提出最優(yōu)分紅策略應(yīng)該使得破產(chǎn)前的期望折現(xiàn)分紅總額最大，并在文中假設(shè)單位時間內(nèi)的保費收入額為1或-1的情況下，證明最優(yōu)分紅策略存在并為邊界策略，并且得到了確定最優(yōu)分紅界限的方法。受到前者的思想啟發(fā)，Miyasawa在1962年研究了一般的隨機過程，得到了最優(yōu)分紅策略為帶狀策略。1969年，Gerber首次研究了連續(xù)時間古典風(fēng)險模型中的最優(yōu)分紅策略。二十世紀(jì)九十年代精算學(xué)者開始把隨機控制理論用到保險風(fēng)險模型中，最優(yōu)分紅問題的研究才有了進(jìn)一步發(fā)展。

在經(jīng)營過程中，保險公司會采用一些其他方法來降低風(fēng)險并提高收益，如融資。Sethi et al［1］（2002）提出了引入融資的可能性，即當(dāng)公司資產(chǎn)為負(fù)時，可以通過注資阻止破產(chǎn)。Dickson［2］（2004），Gerber el at［3］（2006）認(rèn)為股東應(yīng)該承擔(dān)公司破產(chǎn)時刻的赤字。此時，最優(yōu)分紅問題就成了尋找最優(yōu)注策略使得股東凈收益最大化，即金融保險中的隨機最優(yōu)控制問題。

二、不帶融資的最優(yōu)分紅問題

在最優(yōu)分紅的問題研究中，經(jīng)典模型和擴散模型得到了較多的關(guān)注。經(jīng)典模型中求解很困難，一般很難得到顯示解。而擴散模型中多數(shù)情況下可以得到形式較為完美的顯示解，引起學(xué)者的很大興趣，人們希望擴散模型的研究結(jié)果也能給經(jīng)典模型的求解帶來啟發(fā)。

對于經(jīng)典模型，1969年，Gerber首先研究了離散時間的最優(yōu)分紅問題，隨后通過令離散區(qū)間趨于零，將離散模型連續(xù)化，這樣就得到了連續(xù)時間的最優(yōu)分紅問題，并證明最優(yōu)分紅策略為帶狀策略.Azcue［4］（2005）將最大分紅累計折現(xiàn)期望值函數(shù)作為相應(yīng)HJB方程的最小粘性解，得到最優(yōu)分紅策略是帶狀策略。Schmidli［5］（2008）用不同于粘性理論的方法處理最優(yōu)分紅問題，并證明了最優(yōu)反饋解的存在性，給出了對應(yīng)的HJB方程，且通過值函數(shù)構(gòu)造了一種可行的帶狀策略，并證明了這種策略確實是最優(yōu)分紅策略。Fang&Wu［6］（2007）對常利率的復(fù)合泊松模型進(jìn)行了討論，并指出最優(yōu)分紅策略是閥值策略，Albrecher［7］（2008）討論了常利率的古典風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅問題，并得到了相應(yīng)的HJB方程的粘性解。而Yang［8］（2012）在隨機利率下討論了最優(yōu)分紅問題，在閥值策略下，得到其精確解.Gerber［9］（2010）研究了離散的復(fù)合泊松模型下的分紅問題。Wang&Yin［10］（2011）研究了帶再投資的復(fù)合泊松模型，通過刻畫最優(yōu)分紅值函數(shù)和相應(yīng)HJB方程的粘性解處理分紅問題。Li etal［11］（2011）討論了雙復(fù)合泊松風(fēng)險模型下按比例分紅問題，證明了兩個索賠都是指數(shù)分布下的最優(yōu)策略為閥值策略。Ying［12］（2014）研究了當(dāng)索賠計數(shù)為廣義泊松過程時的擴散模型，在某些特殊情況下的最優(yōu)分紅策略為邊界策略。通過以上介紹，也可以看到只能在某些特殊情況下才能得到最優(yōu)分紅策略或值函數(shù)的清晰解。

擴散模型的研究出現(xiàn)較晚，但是由于求解方面的優(yōu)勢引起人們的關(guān)注。受到Aamussen，Taksar，Paulsen，Gerber，H？jgaard等科學(xué)家的早期研究工作的的啟發(fā)，近些年涌現(xiàn)了大量的文章。H？jgaard［13］（2001），Asmussen et al［14］（2000），Choulli et al［15］（2003），Paulsen［16］（2003），Gerber［17］（2004）這些文獻(xiàn)中，都是在擴散模型下運用HJB方程來解決最優(yōu)問題。2004年Friedrish&Walter在此基礎(chǔ)上引入了效用函數(shù)，對值函數(shù)解的存在唯一性進(jìn)行了證明，并對其收斂性進(jìn)行了分析。2001年Sethi&Taksar進(jìn)一步考慮了一般化的擴散過程，2003年Gerber and Shiu考慮了幾何布朗運動模型中的隨機分紅和帶邊界的融資問題。同時，也有學(xué)者從其他方面對擴散模型進(jìn)行的研究，如：Yang［18］（2005），He et al［19］（2008），Paulsen［20］（2013），Lin［21］（2010），等。

以上這些文獻(xiàn)都是在不考慮融資的情況下進(jìn)行的最優(yōu)分紅問題的討論。而在保險實務(wù)中，若只考慮分紅額最大，會大大提高公司的經(jīng)營風(fēng)險，若只考慮降低破產(chǎn)概率，就會損害到股東利益，同時人們也考慮到在公司破產(chǎn)時，股東也應(yīng)有責(zé)任來清償赤字，因此產(chǎn)生了公司融資策略的研究。

三、帶融資的最優(yōu)分紅問題

融資是保險公司降低破產(chǎn)風(fēng)險和使得分紅最大化的重要手段，對金融實務(wù)有現(xiàn)實的指導(dǎo)意義，已經(jīng)成為研究的前沿問題，得到了普遍關(guān)注。2007年P(guān)aulsen在分紅和融資都帶有固定和比例交易費用的擴散模型下，研究了使得“分紅減融資”的凈收益最大化的最優(yōu)策略，并證明最優(yōu)策略存在。Kulenko et al［22］（2008）首次考慮了古典模型下最優(yōu)分紅和融資問題，并證明對任意索賠分布，最優(yōu)分紅策略均為邊界分紅。隨后，Bai&Guo［23］（2010）在連續(xù)時間的古典風(fēng)險模型中考慮了分紅和籌資均需固定交易費用時的最優(yōu)分紅和融資問題。

Zhang&Liu［24］（2012）研究了復(fù)合泊松模型中分紅和融資均需比例和固定交易費用的最優(yōu)分紅與融資問題。He［25］（2010）研究了復(fù)合二項模型下的帶融資的最優(yōu)分紅策略，證明了最優(yōu)策略為邊界策略。Wu&Guo［26］（2011）解決了雙離散逼近Cramér-Lundberg風(fēng)險模型，化簡得到最優(yōu)分紅策略為邊界分紅。并由貝爾曼遞歸算法得到了最優(yōu)分紅邊界和最優(yōu)策略的近似方案。Fang［27］（2013）討論了帶有利息的Cramér-Lundberg風(fēng)險模型，證明了最優(yōu)分紅策略是閥值策略，最優(yōu)融資策略是在資產(chǎn)余額為負(fù)值時融資回零。Yao&Guo［28］（2013）考慮了分紅和融資都帶有比例交易費用，且融資還需繳納固定交易費用的擴散模型，得到了依賴于模型參數(shù)的顯示解。Paulsen［29］（2013）研究了跳擴散模型下最優(yōu)分紅問題，假設(shè)跳擴散是帶有負(fù)跳的復(fù)合泊松過程。Yao et al［30］（2014）考慮了對偶模型下帶有融資和固定交易費用的最優(yōu)分紅問題，在分紅率受限且允許公司破產(chǎn)時，對應(yīng)的極限結(jié)果顯示，當(dāng)收入符合超指數(shù)分布時，分紅策略和值函數(shù)得到了清晰解。以上文獻(xiàn)都是在2014年Dickson&Water提出“永不破產(chǎn)”的約束條件下進(jìn)行的研究。

有一些文章也將是否帶有融資的對分紅情況的影響進(jìn)行了比較。2007年Avram在光譜負(fù)lévy模型下，考慮了沒有融資和資本注入永不破產(chǎn)的兩種情況下的最優(yōu)分紅問題，并清晰描述了在邊界策略下的最優(yōu)策略和值函數(shù)。Arne L？kka&Mihail Zervos［31］（2008）討論了擴散模型下通過帶有分紅和注資的最優(yōu)分紅問題，發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型參數(shù)不同，最優(yōu)策略要么是不需要注資的要么是注資永不破產(chǎn)的，這與2010年Avanzi在邊界分紅策略下研究的對偶擴散模型中帶融資和比例交易費用的最優(yōu)分紅策略有相似的結(jié)論。Guo&Wu［32］（2012）在帶有融資和比例成本及動態(tài)比例再保險模型下，通過構(gòu)建無融資和永不破產(chǎn)這兩個次優(yōu)解解決了最優(yōu)問題。Yin&Kam［33］（2014）討論了跳擴散模型下帶有融資和比例交易費用的最優(yōu)分紅問題，并分別研究了不帶有融資和永不破產(chǎn)兩種情況下的最優(yōu)分紅策略，并在特殊條件下給出了最優(yōu)分紅策略的顯示解。

四、結(jié)束語

由于對金融保險實務(wù)有很重要的指導(dǎo)意義，關(guān)于紅利分配的優(yōu)化問題一直是研究熱點，分紅問題涉及到的風(fēng)險模型很多，但是能有較為完美結(jié)論的很少，很多情況下得不到清晰的解和最優(yōu)策略，而且高維風(fēng)險模型中的分紅策略的研究也存在很大的空間。另外，融資也會對分紅策略的研究產(chǎn)生很大影響。正如上述所見，文章中的融資多集中在公司盈余為零時融資，很少在盈余非零時融資，隨著保險事業(yè)的發(fā)展，這些熱點問題仍然還有很大的研究價值。

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