胡鈺，王華，2，任章

(1.中北大學(xué) 機電工程學(xué)院，山西 太原030051;2.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191;3.北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

可重復(fù)使用運載器(RLV)的再入返回過程可分為下降段、準平衡滑翔段和末端能量管理段，其中準平衡滑翔段是最主要的飛行階段，在此過程中，由于特殊的飛行模式、復(fù)雜的飛行包線、惡劣的飛行環(huán)境，使飛行器氣動參數(shù)變化較為劇烈，呈現(xiàn)嚴重的非線性及不確定性［1］，加之對航跡角的嚴格要求，成為跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計面臨的重要問題。目前，RLV軌跡跟蹤控制大多是針對在平衡點附近進行小擾動線性化后的模型采用最優(yōu)控制方法設(shè)計的［2-3］，但是最優(yōu)控制方法一方面對精確數(shù)學(xué)模型依賴性大，另一方面當氣動參數(shù)等發(fā)生較大變化，或者工作狀態(tài)發(fā)生突發(fā)偏離時，表現(xiàn)出魯棒性較差的問題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有動態(tài)品質(zhì)好、控制精度高、魯棒性強、干擾抑制能力強的優(yōu)點，成為一種控制不確定系統(tǒng)的有效方法［4］。

為了克服傳統(tǒng)跟蹤方法魯棒性差的缺陷，國內(nèi)外很多學(xué)者將變結(jié)構(gòu)設(shè)計方法引入到高超聲速飛行器軌跡跟蹤中，文獻［5］通過滑模控制很大程度提高了系統(tǒng)的魯棒性，保證了導(dǎo)彈運動的精確跟蹤，但是由于采用簡單的趨近律造成控制變量抖振較大。本文在文獻［5］的基礎(chǔ)上，對RLV 再入?yún)⒖架壽E進行縱向跟蹤，滑模面采用最優(yōu)化方法進行設(shè)計，保證了滑模運動具有較強的魯棒性和期望的動態(tài)性能，控制律采用自適應(yīng)模糊方法縮短了調(diào)節(jié)時間、減小了控制變量抖振程度，使其既具有對系統(tǒng)參數(shù)大范圍變化的強魯棒性、對惡劣飛行環(huán)境的自適應(yīng)能力，又對工作狀態(tài)突發(fā)大偏離時具有快速應(yīng)對能力，保證飛行任務(wù)的完成。同時，在側(cè)向軌跡控制方面，利用割線法提出一種快速收斂的傾側(cè)角反向時機在線規(guī)劃方法，提高側(cè)向制導(dǎo)的精度。

1 RLV 動力學(xué)建模

考慮地球為旋轉(zhuǎn)圓球時，RLV 在航跡坐標系中無動力滑翔的無量綱質(zhì)心運動方程［6］為

式中:r、v、s、Ω 分別為無量綱地心距、速度、航程和地球自轉(zhuǎn)角速度;γ、ψ、λ、φ 分別為航跡角、航向角、緯度和經(jīng)度;aL、aD分別為升、阻力加速度，均是控制變量攻角α 的函數(shù);σ 為控制變量傾側(cè)角。(1)式與(2)式分別為RLV 的縱向及側(cè)向運動方程，(3)式為航程表達式。

2 基于模糊滑模變結(jié)構(gòu)的跟蹤控制

考慮如下一般形式的非線性時變系統(tǒng):

式中:y=［y1，y2，…，yn］T∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;ν=［ν1，ν2，…，νm］T∈Rm為控制量;σ(t)、ζ(t)分別為引起系統(tǒng)參數(shù)和輸入不確定性變化的因素;ω(t)為不確定性擾動向量。

對(4)式在標稱值附近進行小擾動線性化，得

式中:x=y-y*，u=ν-ν*，分別為被控對象和控制輸入實際真值與標稱值之間的差異;ΔA、ΔB 為不確定性矩陣;A、B 分別為小擾動線性化得到的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣。

變結(jié)構(gòu)控制最突出的優(yōu)點就是系統(tǒng)的滑模運動對不確定性具有很強的魯棒性［7］。但是，有些時候，不確定性不在控制矩陣B 所張成的空間里，不能直接通過控制量u 的設(shè)計來抵消其影響。這時，控制器本身無法克服系統(tǒng)中的不確定性，但是通過合理地設(shè)計滑模面，可使系統(tǒng)的滑模運動具有較強的魯棒性和所期望的動態(tài)性能［8］。

為了便于推導(dǎo)設(shè)計，作如下假設(shè):

假設(shè)1 (A，B)可控，rank(B，ΔB)=rankB =m.

于是，存在非奇異線性變換x =Mz(M 為變換矩陣)，使得(5)式等效變換為

式中:z1∈Rn-m;z2∈Rm;B2為m×m 可逆方陣。

取切換函數(shù)為

式中:C∈Rm×n為待定矩陣。

根據(jù)上述線性變換有

式中:CM=［C1C2］.

假設(shè)2 假設(shè)存在常數(shù)矩陣D1、D2、E1、E2和滿足F1TF1≤I 與F2TF2≤I 的不確定矩陣F1、F2，使得ΔA11=D1F1E1，ΔA12=D2F2E2.

假設(shè)3 假設(shè)存在常數(shù)λ1、λ2、ξ，使得‖ΔA21‖≤λ1，‖ΔA22‖≤λ2，‖ΔB2‖≤ξ，這就意味著ΔA21、ΔA22和ΔB2有范數(shù)界。只要有滿足條件的參數(shù)存在，即可構(gòu)造出嚴格對角占優(yōu)且非對角元素都為負的矩陣，使得＜0.

2.1 滑模面的設(shè)計

在滑動模態(tài)S=0 下，由(8)式有:

可以選擇C2=Im，C1=F，則

于是，變換后的子系統(tǒng)為

文獻［8］證明了對于不確定系統(tǒng)(6)式，當ΔA11和ΔA12滿足假設(shè)2 時，如果選擇由(8)式和(10)式構(gòu)成的切換函數(shù)，那么:

1)當S=0 時，所對應(yīng)的等效系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

2)當‖S‖≤σ 時，所對應(yīng)的等效系統(tǒng)是一致終結(jié)有界的。

這樣就保證了切換函數(shù)(7)式可以使原系統(tǒng)在S=0 時漸進穩(wěn)定，在‖S‖≤σ 時一致終結(jié)有界。

原系統(tǒng)(5)式的滑動?？梢暈橛?11)式描述且具有反饋(9)式的m 維子系統(tǒng)，因此選擇合適的F可使滑動方程具有良好的動態(tài)特性。

這里采用最優(yōu)化方法進行設(shè)計。

式中:Q 為誤差成分加權(quán)矩陣;R 為控制分量加權(quán)矩陣。

由于在滑動模動態(tài)優(yōu)化問題中，滑動模的運動與控制量無關(guān)，取R =0，則在等效系統(tǒng)的坐標下，(12)式可寫成

為了將最優(yōu)滑動模設(shè)計問題寫成二次性能指標下的一般形式，引入新的變量

則性能指標(13)改寫為

相應(yīng)的滑動模方程為

由最優(yōu)控制理論，在滑動模方程(15)式中，作為控制作用的向量υ，其最優(yōu)選擇為

式中:P 是下列Riccati 方程的唯一解。

則有

由于系統(tǒng)滑動時z2可以由z1線性表示出，因此只要z1趨于0，則z2也以同樣衰減率趨于0. 這樣即可保證滑動模態(tài)的漸進穩(wěn)定性，使滑模運動具有較強的魯棒性。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制律的設(shè)計

選擇帶邊界層的指數(shù)趨近律:

式中:ε= diag(ε1，ε2，…，εm)，εi＞0;k = diag(k1，k2，…，km)，ki＞0;Θ=diag(θ1，θ2，…，θm)，θi＞0.

將(5)式、(7)式代入(17)式得變結(jié)構(gòu)控制律:

若系統(tǒng)滿足假設(shè)3，切換函數(shù)由(7)式、(10)式構(gòu)成，那么所設(shè)計的變結(jié)構(gòu)控制律(18)式可使ST＜0 恒成立［8-9］，保證滑模面的存在及可達性，并可在不等式約束k ＜C2(ΔA21z1+ ΔA22z2+ ΔB2u)≤λ1z1+λ2z2+ξu 范圍內(nèi)通過增大k 值來縮短調(diào)節(jié)時間。

由于不確定性干擾存在時，會引起系統(tǒng)狀態(tài)變量的值發(fā)生變化，而滑模面S 是關(guān)于狀態(tài)變量的函數(shù)，那么，不確定性干擾的大小可以間接地通過S的取值來估計［10］。因此，與現(xiàn)有控制律設(shè)計不同，本文在文獻［9］的基礎(chǔ)上，設(shè)計二維模糊自適應(yīng)控制器，根據(jù)滑模面Si與其導(dǎo)數(shù)的大小實時地調(diào)整趨近律參數(shù)εi，控制器原理如圖1所示。

圖1 模糊控制器原理圖Fig.1 Fuzzy control diagram

定義輸入|Si|和||的論域為［0，θi］，輸出εi的論域為［0，1］，其中θi為待定參數(shù)。

對輸入、輸出空間進行同樣的均勻模糊分割。設(shè)控制器輸入|Si|、||及輸出εi的模糊集分別為

式中:ZE ～P7 分別代表0～7 檔。

隸屬函數(shù)μC'(εij)選擇高斯隸屬函數(shù)，形式為

式中:cij=

由于當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時，需要較大的控制作用加快趨近速度，將系統(tǒng)軌跡拉至滑模面;當系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時，需要略小的控制作用將系統(tǒng)軌跡收斂至原點，并削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。因此，遠離滑模面時控制器輸出主要由|Si|決定，靠近滑模面時主要由||決定，并分別隨|Si|和||的減小逐漸減小。建立控制規(guī)則表如表1所示。

表1 控制規(guī)則表Tab.1 Fuzzy control rules

根據(jù)自適應(yīng)理論，θi由(19)式進行在線調(diào)節(jié)。

式中:β、χ 為濾波參數(shù)，可根據(jù)實際情況進行選取，本文選取β=5，χ=2.

模糊推理采用Mamdani 最大-最小規(guī)則，模糊判決方法采用加權(quán)平均法，利用(20)式得到實際控制量εi.

這樣，得到模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制器的控制面如圖2所示。

圖2 模糊控制面Fig.2 Fuzzy control surface

3 基于割線法的傾側(cè)角反向時機在線規(guī)劃

傾側(cè)角反向時機在線規(guī)劃方法是在采用航向角跟蹤視線角方法的基礎(chǔ)上，通過一維快速迭代，搜索該剖面傾側(cè)角最優(yōu)反向點srev，使得飛行器達到指定航程時，航向角偏差在允許范圍內(nèi)。

設(shè)RLV 當前位置點經(jīng)度、緯度(φn，λn)相對目標點經(jīng)度、緯度(φf，λf)的視線角為ψp，其計算公式為

定義視線角誤差Δψ 為當前航向角與視線角之差，即

sψ描述了實際軌跡距離目標點的精度，如圖3所示，srev的取值決定了傾側(cè)角的反向點，進而決定了到達目標點的側(cè)向偏差。

圖3 傾側(cè)角反向幾何關(guān)系示意圖Fig.3 Geometry for determining bank reversal point

本文采用割線法求解srev的取值。其迭代計算公式為

計算流程如圖4所示，將前兩步srev取值代入(23)式得到當前反正點srev，積分(1)式及(2)式.當s ＞srev時，傾側(cè)角σ 取其負值，當終點sψ滿足精度要求時仿真結(jié)束。

圖4 傾側(cè)角反向點在線規(guī)劃流程圖Fig.4 Flowchart of algorithm

4 研究實例

4.1 參考軌跡的設(shè)計

一般情況下，參考軌跡是在再入走廊中利用軌跡優(yōu)化的方法離線設(shè)計的［11］，但考慮到制導(dǎo)系統(tǒng)的實時性要求，本文將再入過程中的彈道約束轉(zhuǎn)換為控制變量約束，采用割線法完成對傾側(cè)角的搜索，得到名義控制變量α*、σ*，實現(xiàn)3 自由度軌跡的在線生成［6］。

4.2 參考軌跡的跟蹤

利用飛行器的縱向動態(tài)特性只與傾側(cè)角σ 大小有關(guān)的特點，本文利用模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，通過調(diào)節(jié)攻角α 與傾側(cè)角大小|σ|完成對縱向平面的跟蹤。通過在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時機改變傾側(cè)角σ 的符號將航向角誤差控制在一定范圍內(nèi)。

4.2.1 縱向軌跡跟蹤

對(1)式、(2)式同時進行積分可得當前實際飛行狀態(tài)(r，v，γ)，在縱向控制律設(shè)計方面，由于縱、側(cè)向耦合較小，為了在縱向參考軌跡(r*，v*，γ*)附近進行小擾動線性化，略去地球旋轉(zhuǎn)項，取狀態(tài)變量x=［δr，δv，δγ］T，控制變量u=［δ|σ|，δα］T，有

對小擾動線性化后的系統(tǒng)，令M=I3，z1=x1，z2=

運用Bryson 法則，得到以下關(guān)系:

將(10)式、(16)式代入(7)式得到具有良好動態(tài)特性的滑模面，增強系統(tǒng)魯棒性，將(7)式、(20)式代入(18)式得到最終滑模控制律u，保證在較短時間內(nèi)到達滑模面并能有效地削弱系統(tǒng)的抖振。

4.2.2 側(cè)向軌跡跟蹤

航天飛機的側(cè)向制導(dǎo)采用的是邊界走廊約束法［12］，但是這種方法:一方面由于傾側(cè)角的反向是一個動態(tài)過程，不可能瞬間完成，因此傾側(cè)角的反向次數(shù)必然受到限制，側(cè)向走廊范圍不能過窄;另一方面，若側(cè)向走廊過寬雖能減小傾側(cè)角反向次數(shù)，卻增大了終端航向角偏差。

因此，本文在縱向跟蹤控制的同時，利用(21)式、(22)式求出視線角誤差Δψ，按圖4在線搜索傾側(cè)角反向點，利用(23)式經(jīng)過較少的迭代次數(shù)計算得到滿足條件的srev，完成傾側(cè)角反向點的在線規(guī)劃，其中迭代初值可利用文獻［6］中的方法估計選取。

4.3 仿真結(jié)果分析

在某型RLV 模型上進行仿真，給定再入初始高度60 km，速度6 500 m/s，航跡角0°，航向角90°，經(jīng)度0°，緯度0°;終端高度45 km，速度4 000 m/s，航跡角不大于1°，目標點為經(jīng)度45°，緯度0°.

由于影響制導(dǎo)精度的因素主要是氣動系數(shù)偏差和初始狀態(tài)誤差，且氣動參數(shù)偏差以升力系數(shù)減小阻力系數(shù)增大為最惡劣，為了使控制方法具有普遍適用性，在模型參數(shù)中引入如下不確定性:初始狀態(tài)偏差H*=H +5 km，v*=v +500 m/s，γ*=γ +1°;再入過程氣動參數(shù)攝動C*L=CL(1 -20%)，C*D=CD(1 +20%).

分別采用最優(yōu)控制方法與本文設(shè)計的模糊滑模變結(jié)構(gòu)方法進行仿真，跟蹤曲線如圖5所示，縱向跟蹤結(jié)果如表2所示，其中ΔH、Δv、Δγ 分別表示終端高度誤差、速度誤差和航跡角誤差，τ 表示誤差收斂時間。

圖5 狀態(tài)變量對比曲線Fig.5 Comparison curves of state variables

表2 再入終端縱向性能比較Tab.2 Terminal error comparison

從表2中數(shù)據(jù)可以看出，與最優(yōu)控制相比，縱向跟蹤誤差大大減小，尤其表現(xiàn)在對速度狀態(tài)的跟蹤上，由于阻力加速度發(fā)生較大的正向偏差，必然帶來飛行器速度的迅速下降，即使采用最優(yōu)控制方法，終端速度跟蹤誤差仍可達120.1 m/s，而采用模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，速度跟蹤誤差不超過25 m/s，在很大程度上提高了制導(dǎo)精度。

圖6 再入軌跡與控制變量曲線Fig.6 Reentry trajectory and control variables

圖6給出了在縱向跟蹤采用模糊滑模變結(jié)構(gòu)的情況下，橫向控制采用邊界走廊約束法與本文設(shè)計的在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時機法得到的空間再入軌跡曲線、地面投影曲線以及控制量攻角與傾側(cè)角的歷程曲線。仿真結(jié)果表明在縱向跟蹤方面，采用模糊自適應(yīng)方法設(shè)計趨近律參數(shù)可以有效地將控制變量抖振頻率控制在0.02 Hz 以下，且幅度不超過0.5°.在橫向軌跡控制方面，采用傳統(tǒng)的邊界走廊約束法盡管進行了兩次傾側(cè)角反向，但返回軌跡仍有10°的緯度偏差，而采用本文設(shè)計的在線規(guī)劃傾側(cè)角反向時機的方法雖然僅進行一次傾側(cè)角反向，但返回軌跡可到達目標區(qū)域中，經(jīng)度、緯度偏差在2°以內(nèi)，使落點精度得到大幅度提高，較好地滿足了側(cè)向制導(dǎo)要求。同時，在計算機(雙核CPU，主頻1.6 GHz，編譯環(huán)境為Matlab7.0)完成上述仿真時間為8 ～9 s，迭代次數(shù)不超過10 次，能夠進行在線求解。

5 結(jié)論

針對RLV 準平衡滑翔階段特殊的飛行模式、惡劣的飛行環(huán)境以及不確定性較大的特點，在縱向平面提出一種具有強魯棒性的模糊變結(jié)構(gòu)跟蹤控制方法，并在側(cè)向平面進行傾側(cè)角反向點的在線規(guī)劃。仿真結(jié)果表明:

1)在存在較大初始狀態(tài)偏差及劇烈氣動參數(shù)攝動的情況下，通過優(yōu)化設(shè)計滑模面，有效地提高了系統(tǒng)的魯棒性，實現(xiàn)了對縱向參考軌跡的穩(wěn)定跟蹤。

2)通過采用模糊自適應(yīng)方法對趨近律參數(shù)進行實時調(diào)節(jié)，有效地削弱了系統(tǒng)狀態(tài)越過滑模面引起的抖振，將控制變量抖振頻率控制在0.02 Hz 以下，幅值控制在0.5°以內(nèi)。

3)在側(cè)向軌跡控制方面，通過在線規(guī)劃一次傾側(cè)角反向時機，有效地解決了傳統(tǒng)邊界走廊約束法反向次數(shù)多并且落點誤差大的缺點，使側(cè)向制導(dǎo)精度有了大幅度提高。

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