邱昌賢，萬正權(quán)

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082)

考慮肋骨偏心的環(huán)肋圓柱殼彈性穩(wěn)定性研究

邱昌賢，萬正權(quán)

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082)

摘要:采用2種滿足簡支邊界條件的形函數(shù)，基于Ritz法建立環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)在靜水外壓下彈性失穩(wěn)壓力的直接計算方法，能區(qū)分肋骨的內(nèi)外布置方式，且含有肋骨抗壓剛度項(xiàng)，可推廣至帶有大肋骨的圓柱殼結(jié)構(gòu)，或退化為無肋骨圓柱殼。分析表明，理論方法解和有限元結(jié)果較為一致，形式簡單的3系數(shù)形函數(shù)具有較好的計算精度，內(nèi)環(huán)肋圓柱殼的總體彈性穩(wěn)定性比外環(huán)肋優(yōu)越，大肋骨內(nèi)置比外置更容易達(dá)到臨界剛度，內(nèi)、外肋骨圓柱殼的彈性局部失穩(wěn)壓力基本相當(dāng)，忽略肋骨壓縮應(yīng)變能可使彈性總體失穩(wěn)壓力有所降低。

關(guān)鍵詞:環(huán)肋圓柱殼;彈性穩(wěn)定性;肋骨偏心;能量法

Elastic stability research of ring-stiffened cylindrical shell with rib eccentricity

QIU Chang-xian，WAN Zheng-quan
(China Ship Scientific Research Center，Wuxi 214082，China)

Abstract:Based on Ritz principle and 2 shape functions，a direct method has been built for calculating the critical elastic buckling of ring-stiffened cylindrical shell under external hydrostatic pressure．It could take the ring rib's radial eccentricity and compressive energy into account in buckling analysis，and be expanded for the calculating of cylindrical hull strengthened by heavy rib or without ribs．Theoretical solution agree with FEM results pretty well and the simpler function with 3 parameters has good precision．Calculation showed that cylindrical shell with internal ribs would have the advantage over externally ribbed ones in general elastic stability，and critical buckling stiffness of internal heavy rib is better than external ones．However，their local stability is almost the same．The general buckling pressure could be reduced as a result of the omission of ribs' compression．

Key words:ring-stiffened cylindrical shell; elastic stability，rib eccentricity;Rayleigh-Ritz

0　引言

環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)在外部靜水壓力下的穩(wěn)定性問題一直得到國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，鑒于精確求解工作的難度和復(fù)雜性，工程上一般先求得彈性失穩(wěn)壓力，再對初始缺陷、幾何非線性和材料塑性等影響因素進(jìn)行半經(jīng)驗(yàn)性修正［1－2］。但即使是理論模型較為簡化的彈性穩(wěn)定性，求解也很復(fù)雜，現(xiàn)有計算方法主要為基于能量原理的Rayleigh-Ritz法，用較容易求解的代數(shù)方程組代替微分方程，目前的規(guī)范公式是在此基礎(chǔ)上略去能量式中的次要項(xiàng)，并進(jìn)行簡化而來。

現(xiàn)行規(guī)范不考慮環(huán)肋形心偏離圓柱殼中曲面的影響，彈性總體穩(wěn)定性公式對內(nèi)、外肋骨給出相同的計算結(jié)果［2］。對于帶特大肋骨的艙段總體穩(wěn)定性，由于理論基礎(chǔ)相同，雖然大肋骨截面偏心距大得多，計算時也僅考慮了其計及帶板的中和軸半徑。對于通常被忽略的肋骨壓縮應(yīng)變能，戴自昶［3］導(dǎo)出了含肋骨抗壓剛度項(xiàng)的環(huán)肋圓柱殼彈性總體穩(wěn)定性方程，將肋骨面積平均分配到殼板上，以考慮肋骨

抗壓剛度對臨界壓力的貢獻(xiàn)，認(rèn)為當(dāng)總體失穩(wěn)的周向整波數(shù)n≤5或mα1＞10時，肋骨壓縮應(yīng)變能的影響將不能忽略。本文由此出發(fā)，采用2種滿足簡支邊界條件的形函數(shù)(3系數(shù)和5系數(shù))，推導(dǎo)環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的各能量表達(dá)式和水壓做功計算式，最后建立一種通過求解系數(shù)矩陣特征值來獲得結(jié)構(gòu)在靜水外壓下的彈性失穩(wěn)臨界壓力的直接計算方法。研究考慮肋骨偏心的彈性穩(wěn)定性計算方法，計算無肋圓柱殼、內(nèi)外T型環(huán)肋圓柱殼、采用大肋骨加強(qiáng)的圓柱殼長艙段結(jié)構(gòu)的彈性失穩(wěn)壓力，并同規(guī)范解、有限元結(jié)果進(jìn)行對比，分析肋骨內(nèi)、外布置方式的影響，以及肋骨壓縮應(yīng)變能對總體失穩(wěn)壓力的影響。

1　考慮肋骨偏心的彈性穩(wěn)定性計算方法

本文采用基于最小勢能原理的Ritz法，借助2種不同的形函數(shù)并考慮肋骨偏心影響，對環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)能量表達(dá)式和水壓做功進(jìn)行推導(dǎo)，建立通過求解系數(shù)矩陣特征值來獲得結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)臨界壓力的計算方法和程序，并同有限元結(jié)果進(jìn)行對比分析。

坐標(biāo)原點(diǎn)取在艙壁或大肋骨處的圓柱殼中曲面上，x，y，z分別為縱向、周向和徑向坐標(biāo)，設(shè)u，v，w分別為縱向、周向和徑向位移，徑向坐標(biāo)、撓度均以指向圓心為正。用能量法計算環(huán)肋圓柱殼的穩(wěn)定性時，描述殼體失穩(wěn)時的位移函數(shù)(屈曲波形)很重要，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)［2－4］，圓柱殼失穩(wěn)時滿足簡支邊界條件的第1種形函數(shù)取為:

式中: L為艙段計算長度; m為失穩(wěn)時的縱向半波數(shù); n為失穩(wěn)的周向整波數(shù)，A，B，C為常系數(shù)。

圓柱殼簡化為平面應(yīng)力狀態(tài)并僅考慮小撓度，由薄殼理論中的Kirchoff平斷面和直法線假設(shè)得到γxz=γyz= 0;同時認(rèn)為圓柱殼板處于平面應(yīng)力狀態(tài)，因此法向應(yīng)力σz= 0，經(jīng)代入化簡得到:

式中: V1和V2分別為圓柱殼板的彎曲和中面應(yīng)變能，積分后得到的具體形式與文獻(xiàn)［2］相同，在此不贅述。

計算肋骨應(yīng)變能時，引入以下基本假設(shè): 1)環(huán)肋橫截面形狀在變形中保持不變; 2)環(huán)肋近似為單向應(yīng)力狀態(tài); 3)環(huán)肋與殼板在連接處保持變形協(xié)調(diào); 4)環(huán)肋的拉伸與彎曲變形符合疊加原理; 5)環(huán)肋的扭轉(zhuǎn)和面外彎曲可忽略。

考慮肋骨偏心的影響，設(shè)環(huán)肋的橫截面積為F，截面形心的徑向坐標(biāo)為ef(內(nèi)肋骨ef＞0，外肋骨ef＜0)，則其中和軸半徑為R－ef，近似認(rèn)為肋骨處于單向應(yīng)力狀態(tài)，則σx=0，σz=0，γxz=γyz=0。將肋骨視為殼板的一部分，取其位移函數(shù)(形函數(shù))與圓柱殼板相同，則肋骨截面任一點(diǎn)的周向應(yīng)變?yōu)?

整個艙段內(nèi)有nf= (L/l)－1根肋骨，對距離坐標(biāo)原點(diǎn)x= i×l處的第i根肋骨，考慮肋骨截面偏心及扭轉(zhuǎn)時其應(yīng)變能Vfi可按下式計算:

式中: Hi(x)為第i根環(huán)肋的應(yīng)變能環(huán)向密度，由于Hi(x)與徑向坐標(biāo)z無關(guān)，且當(dāng)環(huán)向坐標(biāo)y變化時保持不變，因此可證明積分時僅需取dy= (R－yci) dφ; yci為第i根環(huán)肋計及帶板寬度為l的組合截面形心的徑向坐標(biāo); Rfi為第i根環(huán)肋計及帶板寬度為l的組合截面形心的半徑，Rfi= R－yci。

對于被文獻(xiàn)［2－4］等忽略的肋骨壓縮應(yīng)變能，本文引入系數(shù)k2=1或0以分析其對環(huán)肋圓柱殼彈性失穩(wěn)壓力的影響。肋骨截面的扭轉(zhuǎn)、翹曲和面外彎曲的應(yīng)變能則在計算中予以忽略。

式中: Ii為第i根環(huán)肋計及帶板寬度為l的組合截面的慣性矩; I0i為第i根環(huán)肋自身慣性矩; Fi為肋骨橫剖面面積; y0i為肋骨橫剖面中和軸到殼板表面的距離，y0i+ 0.5t= efi。

假設(shè)失穩(wěn)前環(huán)肋圓柱殼在靜水外壓作用下為無矩應(yīng)力狀態(tài)，忽略肋骨對周向中面應(yīng)力的影響，則橫剖面與縱剖面上的膜應(yīng)力為: T1=－PR/2，T2=－PR，基于此簡化分別計算縱向力與橫向力做功，再結(jié)合前面求得的結(jié)構(gòu)各部分能量，即可建立能量平衡方程，為簡化表達(dá)式，式中引入?yún)?shù)α=πR/L。

根據(jù)能量原理，結(jié)構(gòu)總能量П取極小值的條件是П對A，B，C的偏微分為0，對于同材料、等間距布置且截面相同的nf根肋骨，得到如下齊次線性方程:

此方程組存在非零解的充要條件是系數(shù)矩陣行列式為0，這個矩陣是對稱的，cij= cji。

展開行列式并整理后得到一元一次方程，其根即為結(jié)構(gòu)彈性失穩(wěn)的臨界壓力值。

此外，本文計算時還采用Kendrick的5系數(shù)形函數(shù)［1，5］，A1，B1，C1所在項(xiàng)代表總體屈曲波形，B2，C2所在項(xiàng)代表肋間殼板局部屈曲波形。

在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)能量表達(dá)式的過程與3系數(shù)形函數(shù)類似，只是形式更為繁瑣，當(dāng)?shù)玫降?階系數(shù)矩陣行列式為0時，線性齊次方程組存在非零解，此系數(shù)矩陣對稱，aij= aji。

展開行列式并整理后得到一個一元二次方程，2個實(shí)根中的最小值即為和彈性失穩(wěn)時各縱向半波數(shù)m和周向整波數(shù)n對應(yīng)的臨界壓力。

2　計算結(jié)果對比分析

基于前述理論方法編制程序，對無肋骨圓柱殼、內(nèi)外T型環(huán)肋圓柱殼、含大肋骨的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)在靜水外壓下的彈性穩(wěn)定性展開計算，并進(jìn)行有限元分析和對比。

計算模型的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為: u =1.15;β= 2.87;圓柱殼半徑、厚度比R/t =107;長度、直徑比L/D=1.38和2.77;大肋骨與普通肋骨慣性矩比Ihf/If=16，39.06和81。肋骨均為等間距布置，分為16跨和32跨。

有限元模型均采用4節(jié)點(diǎn)板殼單元shell181劃分為映射網(wǎng)格，在兩端邊界按簡支約束徑向線位移，在中部的殼板對稱面上約束縱向剛體位移。計算取材料的彈性模量E =1.96×105MPa;泊松比μ=0.3。

圖1　無肋圓柱殼彈性失穩(wěn)壓力計算結(jié)果對比(m =1，2，3)Fig.1　Results comparison of different methods for elastic stability of cylindrical shell without ribs (m =1，2，3)

2.1無肋骨圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性

對于無肋骨圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性，理論方法得到的解與對應(yīng)的有限元結(jié)果(m，n均相等)十分吻合，如圖1所示，有限元分析得到的部分彈性失穩(wěn)波

形如圖2所示，采用不同形函數(shù)的2種理論方法所得結(jié)果差別很小，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力略低。

圖2　無肋圓柱殼結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定性有限元計算結(jié)果(m=1，n =5)Fig.2　FEM results for elastic stability of cylindrical shell without ribs (m =1，n =5)

2.2內(nèi)、外T型環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性

針對內(nèi)肋骨和外肋骨2種形式，利用本文方法、規(guī)范方法和有限元法計算環(huán)肋圓柱殼總體和局部彈性穩(wěn)定性，如表1所示。圓柱殼L/D = 1.38，內(nèi)、外肋骨的截面參數(shù)完全一樣。

本文方法與有限元結(jié)果比較一致，臨界壓力最低的總體彈性失穩(wěn)形狀都是縱向一個半波、周向三個整波，且計算均表明內(nèi)肋骨圓柱殼的總體彈性穩(wěn)定性高于外肋骨，增幅約20%。2種不同形函數(shù)的結(jié)果相比，形式簡單的3系數(shù)形函數(shù)具有較好的計算精度，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力較低一些。規(guī)范為提高實(shí)用性忽略了肋骨壓縮應(yīng)變能，算例表明，忽略肋骨壓縮應(yīng)變能后總體失穩(wěn)壓力有所降低。

由于局部失穩(wěn)時肋骨按簡支邊界處理，不考慮肋骨的影響，因此本文方法的局部失穩(wěn)壓力計算值和規(guī)范結(jié)果相當(dāng)一致，且不能區(qū)分內(nèi)、外肋骨的影響。有限元結(jié)果比理論解高一些，周向波數(shù)n則略低，從失穩(wěn)波形云圖(圖3～圖4)可看出，肋骨也參與了殼板的局部失穩(wěn)，有限元分析表明，內(nèi)肋骨圓柱殼的局部彈性穩(wěn)定性與外肋骨基本相當(dāng)，在算例中，內(nèi)肋骨圓柱殼的局部失穩(wěn)壓力比外肋骨僅提高1.9%。

表1　靜水外壓下內(nèi)、外肋骨環(huán)肋圓柱殼彈性穩(wěn)定性計算結(jié)果對比Tab.1　Results comparison of different methods for elastic stability o cylindrical shell with internal or external ribs

表2　肋骨壓縮應(yīng)變能對環(huán)肋圓柱殼總體彈性失穩(wěn)壓力(MPa)的影響Tab.2　The influence of ribs' compression energy on general elastic stability (MPa) of cylindrical shell

圖3　環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)(外肋骨)總體彈性失穩(wěn)波形(m =1，n =3)Fig.3　FEM results for elastic general buckling shapes ofcylindrical shell with external ribs (m =1，n =3)

圖4　環(huán)肋圓柱殼艙段結(jié)構(gòu)(外肋骨)局部彈性失穩(wěn)波形(m =16，n =12)Fig.4　FEM results for elastic local buckling shapes of cylindrical shell with external ribs (m =16，n =12)

2.3含大肋骨環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性

對于中部采用大肋骨加強(qiáng)的環(huán)肋圓柱殼長艙段結(jié)構(gòu)，利用本文方法、規(guī)范方法和有限元法計算了總體彈性穩(wěn)定性，如表3所示。圓柱殼L/D =2.77，大肋骨與普通肋骨慣性矩比Ihf/If=1，16，39.06和81。

無大肋骨時，圓柱殼加長后結(jié)構(gòu)總體彈性穩(wěn)定性迅速下降，長度增加1倍，臨界壓力下降近50%。為提高總體失穩(wěn)壓力，在中部設(shè)置大肋骨并逐步提高其慣性矩，發(fā)現(xiàn)內(nèi)大肋骨圓柱殼的總體彈性穩(wěn)定性比外大肋骨好，在截面尺寸相同的情況下，大肋骨內(nèi)置比外置時先達(dá)到臨界剛度:即大肋骨能保持正圓形，阻隔總體失穩(wěn)波形沿縱向蔓延。當(dāng)大肋骨低于臨界剛度時，圓柱殼將連大肋骨在內(nèi)發(fā)生失穩(wěn)，臨界狀態(tài)的總體彈性失穩(wěn)形狀都是縱向一個半波、周向2個整波;當(dāng)大肋骨高于臨界剛度時，失穩(wěn)發(fā)生在大肋骨之間的圓柱殼上，臨界狀態(tài)的總體彈性失穩(wěn)形狀都是縱向一個半波、周向3個整波。

規(guī)范方法得到的結(jié)果偏高，且內(nèi)、外大肋骨的差異較小，在用于確定大肋骨臨界剛度時可能偏危險。2種不同形函數(shù)的計算結(jié)果相比，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力偏低一些，隨著大肋骨腹板增高，尺寸加大，理論解與有限元結(jié)果的偏差有所提高。

表3　靜水外壓下帶大肋骨的環(huán)肋圓柱殼總體彈性穩(wěn)定性計算結(jié)果對比Tab.3　Results comparison of different methods for general elastic stability of cylindrical shell with heavy ribs

圖5　帶大肋骨的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)(外肋骨)總體彈性失穩(wěn)波形(m =1，n =2)Fig.5　FEM results for elastic general buckling shapes of cylindrical shell with external heavy ribs (m =1，n =2)

圖6　帶大肋骨的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)(內(nèi)肋骨)總體彈性失穩(wěn)波形(m =1，n =3)Fig.6　FEM results for elastic general buckling shapes of cylindrical shell with internal heavy ribs (m =1，n =3)

3　結(jié)語

本文考慮肋骨偏心影響，采用了2種滿足簡支邊界條件的形函數(shù)，基于Ritz法建立了一種通過求解矩陣特征值來獲得環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)在靜水外壓下彈性失穩(wěn)壓力的計算方法，含有肋骨抗壓剛度項(xiàng)，既能區(qū)分肋骨的內(nèi)外布置方式，又可推廣至帶有大肋骨的圓柱殼結(jié)構(gòu)，或退化為無肋骨的圓柱殼，方法的適應(yīng)性較好。本文對無肋圓柱殼、環(huán)肋圓柱殼及帶大肋骨的圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性進(jìn)行分析，并采用較為簡潔的規(guī)范公式進(jìn)行對比計算，同時也在Ansys中進(jìn)行有限元彈性屈曲分析，直接獲得失穩(wěn)臨界壓力及波形特征，通過對比，分析了肋骨內(nèi)、外布置方式和肋骨抗壓剛度的影響。主要結(jié)論如下:

1)對于無肋骨圓柱殼結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定性，理論方法解與對應(yīng)的有限元結(jié)果(m，n均相等)十分吻合，采用不同形函數(shù)的2種理論方法所得結(jié)果差別很小，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力略低。

2)在考慮肋骨偏心計算環(huán)肋圓柱殼的彈性穩(wěn)定性時，本文方法與有限元結(jié)果較一致，且內(nèi)肋骨圓柱殼的總體彈性穩(wěn)定性高于外肋骨，算例表明增幅約20%，且忽略肋骨壓縮應(yīng)變能后總體失穩(wěn)壓力有所降低。2種不同形函數(shù)的結(jié)果相比，形式簡單的3系數(shù)形函數(shù)具有較好的計算精度，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力更低一些。

3)本文給出的局部穩(wěn)定性計算值和規(guī)范結(jié)果基本一致，且不能區(qū)分內(nèi)、外肋骨的影響。有限元結(jié)果比理論解高一些，波形特征也略有差別，內(nèi)、外肋骨圓柱殼的局部彈性失穩(wěn)壓力相當(dāng)，內(nèi)肋略高。

4)無大肋骨時，圓柱殼加長后結(jié)構(gòu)總體彈性穩(wěn)定性迅速下降，在中部設(shè)置大肋骨并逐步提高其慣性矩后發(fā)現(xiàn)，內(nèi)大肋骨圓柱殼的總體彈性穩(wěn)定性比外大肋骨好，在截面尺寸相同的情況下，大肋骨內(nèi)置比外置時先達(dá)到臨界剛度。當(dāng)大肋骨低于臨界剛度時，圓柱殼將連大肋骨在內(nèi)發(fā)生失穩(wěn);當(dāng)大肋骨高于臨界剛度時，失穩(wěn)發(fā)生在大肋骨之間的圓柱殼上。

5)對帶大肋骨的圓柱殼，規(guī)范方法得到的結(jié)果偏高，且內(nèi)、外大肋骨的差異較小，在用于確定大肋骨彈性臨界剛度時的適應(yīng)性欠佳。2種不同形函數(shù)的計算結(jié)果相比，5系數(shù)形函數(shù)對應(yīng)的臨界壓力偏低一些，隨著大肋骨腹板增高，尺寸加大，理論解與有限元結(jié)果的偏差有所提高。

參考文獻(xiàn):

［1］周承倜．薄殼彈塑性穩(wěn)定性理論［M］．北京:國防工業(yè)出版社，1979．

［2］潛艇結(jié)構(gòu)設(shè)計計算方法GJB/Z 21A－2001［S］．國防科學(xué)技術(shù)工業(yè)委員會，2001:5－13．Methods for design and calculation of submarine structure．GJB/Z 21A－2001［S］．National Defense Science＆Technology Industry Committee，2001:5－13．

［3］周承倜．彈性穩(wěn)定理論［M］．成都:四川人民出版社，1981．

［4］許輯平．潛艇強(qiáng)度［M］．北京:國防工業(yè)出版社，1985．

［5］陳雅菊．環(huán)肋圓柱殼穩(wěn)定性分析［J］．艦船科學(xué)技術(shù)，2000，22(4) :14－24．CHEN Ya-ju．Stability analysis for ring-stiffened cylindrical shell［J］．Ship Science and Technology，2000，22(4) : 14 －24．

［6］唐家祥，王仕統(tǒng)，裴若娟．結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論［M］．北京:中國鐵道出版社，1989:47－54．

［7］戴自昶．環(huán)肋圓柱殼總穩(wěn)定性探討［J］．艦船科學(xué)技術(shù)，2000，22(4) :2－9．

［8］李國棟，尚新春．考慮剪切效應(yīng)的環(huán)肋圓柱殼的穩(wěn)定性［J］．工程力學(xué)，2007，24(9) :43－48．

［9］胡勇，馬建軍，張政，等．考慮筋/板相互作用的環(huán)肋圓柱殼屈曲強(qiáng)度分析［J］．船舶力學(xué)，2005，9(4)．

［10］周素蓮，聶武，彭懿．單殼體潛艇結(jié)構(gòu)損傷后的屈曲分析［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2010，31(9)．

作者簡介:邱昌賢(1981－)，男，高級工程師，研究方向?yàn)樗鹿こ探Y(jié)構(gòu)理論與試驗(yàn)。

收稿日期:2014－09－11;修回日期: 2014－11－13

文章編號:1672－7649(2015) 07－0014－06doi:10.3404/j.issn.1672－7649.2015.07.004

中圖分類號:U674．76

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A