耿 濟(jì)

(海南大學(xué)，海南 ?？?570228)

○○○●●●

—— ○●●●○○

○●●——○●○

——●○●○●○

○○○○●●●●

○——○●●●●○○

○●●○——●●○○

○●●○●○●——○

——●○●○●○●○

○○○…○●●●…●——

——●○●○●○…●○

●(一)○(二)●(三)○(四)●(五)○(六)，

一二三四 五六七八九十

○○○●●●

一二三四五六七八九十

●○●○●○

●○● ○○●

●●○○○●

○○○●●●

··A B A B A B A B

(1) B A A B A B A · · B

(2) B A A B · · A A B B

(3) B · · B A A A A B B

(4) B B B B A A A A

——○●○●○●…○●

●●●…●○○○…○——

○○○…○●●●…●——

? ? ?

——● ○… …●○●○

——● ○ ● ○…● ○ ● ○

? ? ?

○ ○ ○ … ○|●…● ● ●——

——○ ● ○ ●…○ ●○ ●

? ? ?

● ● ●…● ○ ○ ○…○ ——

a1a2a3a4…anbn…b4b3b2b2——，

——b a b a…b a b a，

(○○○(○●●a4)-D(——●a4)，

?

數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十六)
——移棋相間問(wèn)題與國(guó)際科研成果

耿 濟(jì)

(海南大學(xué)，海南 海口 570228)

全文分2部分.第1部分是移棋相間，第2部分科研成果.

移棋相間； 逆命題； 科研成果

本文是數(shù)學(xué)娛樂(lè)系列文獻(xiàn)[1～15]的續(xù)作.

日本著名數(shù)學(xué)史家平山諦著《東西數(shù)學(xué)物語(yǔ)》一書(shū)，敘述日本鴛鴦?dòng)螒蚝陀?guó)泰特問(wèn)題時(shí)指出[16]：“也許到日本明治時(shí)期后，由于日本和西方頻繁的交通來(lái)往，這個(gè)游戲自然地從日本傳到了西方，至今在中國(guó)文獻(xiàn)中也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類(lèi)似游戲”.因此國(guó)際上誤認(rèn)為這一游戲起源于日本，事實(shí)上，最早的文獻(xiàn)記載是中國(guó)，稱(chēng)為移棋相間。

本文目的分為2部分，第1部分主要是移棋相間問(wèn)題有關(guān)史料，第2部分是移棋相間的國(guó)際科研成果.

1 移棋相間問(wèn)題

中國(guó)圍棋源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，棋子分黑與白2色.清代順治年間(1641年—1661年)胡礪之利用黑色和白色棋子進(jìn)行下述游戲.

首先，把3個(gè)相連白子與3個(gè)相連黑子排成一行，每次移動(dòng)相鄰兩子，進(jìn)行3次移動(dòng)得到

○○○●●●

—— ○●●●○○

○●●——○●○

——●○●○●○

出現(xiàn)黑白相間的現(xiàn)象.

接著，把4個(gè)相連白子與4個(gè)相連黑子排成一行，每次移動(dòng)相鄰兩子，進(jìn)行4次移動(dòng)得到

○○○○●●●●

○——○●●●●○○

○●●○——●●○○

○●●○●○●——○

——●○●○●○●○

出現(xiàn)黑白相間的現(xiàn)象.

最后，當(dāng)5≤n≤10時(shí)，經(jīng)過(guò)n次移動(dòng)都有黑白相間的現(xiàn)象.

以上史料根據(jù)清代褚稼軒著《堅(jiān)瓠集》(成書(shū)于康熙年間，即1662年-1722年)，摘錄如下[17]：

“幼時(shí)見(jiàn)友人胡礪之將黑白棋子各三枚左右分列，三移則黑白相間.余因問(wèn)曰：多亦可移乎，礪之曰：自三以至十外皆可移，多一子則多一移.余歸試之，自三以至于十，果相間不亂.今已三十余年，偶雨窗復(fù)試，忘其大半，因繹數(shù)四始得就.”

近代學(xué)者俞平伯祖父俞曲園著《春在堂隨筆》中有一段記載[17]：

“長(zhǎng)洲褚稼軒《堅(jiān)瓠集》有移棋相間之法，……，余試之良然，而內(nèi)子季蘭復(fù)推廣之，自十一子以至二十子”.

由此可知，當(dāng)11≤n≤20時(shí)也能出現(xiàn)移棋相間的現(xiàn)象.

很自然地對(duì)于這一游戲產(chǎn)生下面的猜想.

移棋相間問(wèn)題 正整數(shù)n≥4時(shí)，把n個(gè)相連白子、n個(gè)相連黑子以及兩子的空位排列成最初形式：

○○○…○●●●…●——

每次任意移動(dòng)相鄰兩子(不得改變次序)到空位或新的空位上，那么存在著n次移動(dòng)能使得黑子與白子相間的最后形式；

——●○●○●○…●○

接著敘述移棋相間在國(guó)外的情況.

日本文獻(xiàn)中最早的記載是1743年中根法舳著《勘者御伽雙紙》一書(shū)中的“鴛鴦?dòng)螒颉盵16]，抄錄如下：

“黑白棋子各有三個(gè)，如圖所示，按黑白相隔放置

●(一)○(二)●(三)○(四)●(五)○(六)，

問(wèn)如何移動(dòng)一處的每?jī)蓚€(gè)棋子的位置使它變?yōu)槿纭稹稹稹瘛瘛裰问剑?/p>

法曰：使四五移至七八，一二移至四五，三四移至九十，則成為

一二三四 五六七八九十

○○○●●●

圖解這個(gè)過(guò)程如下：

一二三四五六七八九十

●○●○●○

●○● ○○●

●●○○○●

○○○●●●

因?yàn)榘押诎灼遄觼?lái)回移動(dòng)操作，就如鴛鴦朝夕相處，悠然自得地在水面上游泳那樣的緣故，所以，就產(chǎn)生了‘鴛鴦?dòng)螒颉拿Q(chēng).”

歐洲文獻(xiàn)中最早的記載是1884年英國(guó)物理學(xué)家泰特(Tait)在《哲學(xué)雜志》(Philosophical Magazine,1884,vol.5)上，他把4枚金幣(設(shè)為B)和4枚銀幣(設(shè)為A)進(jìn)行如下排列：

··A B A B A B A B

(1) B A A B A B A · · B

(2) B A A B · · A A B B

(3) B · · B A A A A B B

(4) B B B B A A A A

歐洲把上述問(wèn)題叫做泰特問(wèn)題.[16]

根據(jù)以上史料很自然地類(lèi)似前面情況產(chǎn)生下面的猜想.

移棋相間的逆問(wèn)題 正整數(shù)n≥4時(shí)，把n個(gè)白子和n個(gè)黑子加上兩子的空位排列成白子與黑子相間的最初形式：

——○●○●○●…○●

每次任意移動(dòng)相鄰兩子(不得改變次序)到空位或新的空位上，那未存在著n次移動(dòng)使得黑子相連和白子相連的最后形式：

●●●…●○○○…○——

最后應(yīng)該指出上述2個(gè)猜想之間的關(guān)系.

性質(zhì)1 假設(shè)移棋相間問(wèn)題成立，那么移棋相間的逆問(wèn)題也成立，反之亦然.

證明 假設(shè)正整數(shù)n≥4時(shí)移棋相間問(wèn)題成立，即從最初形式經(jīng)過(guò)n次移動(dòng)出現(xiàn)的最后形式如下：

○○○…○●●●…●——

? ? ?

——● ○… …●○●○

接著把第1行與第n+1行對(duì)調(diào)，類(lèi)似地把第2行與第n行，第3行與第n-1行，…，依次分別進(jìn)行對(duì)調(diào)后得到下述排列形式

——● ○ ● ○…● ○ ● ○

? ? ?

○ ○ ○ … ○|●…● ● ●——

最后再把所有的白子與所有的黑子對(duì)調(diào)，即得移棋相間的逆問(wèn)題：

——○ ● ○ ●…○ ●○ ●

? ? ?

● ● ●…● ○ ○ ○…○ ——

反之亦然，證畢.

2 國(guó)際科研成果

1887年法國(guó)德蘭諾伊(Delannoy H)首先證明了移棋間的逆問(wèn)題，論文發(fā)表在《自然》雜志(La Nature,1887,vol.15)上[16].

對(duì)于任意正整數(shù)n≥4分為偶數(shù)與奇數(shù)2種情況.

當(dāng)n≥4為偶數(shù)時(shí)，以n=12為例.

最初形式記為(A)，最后形式記為(C)，中間過(guò)渡形式記為(B).

首先從(A)的右邊第2，3兩子移至空位，如圖所示左右分開(kāi)，作奇、偶順序號(hào)1，2，3，4，5，按照順序移動(dòng)2→1，3→2，4→3，5→4得到(B).再?gòu)?B)作前面相反的序號(hào)移動(dòng)得到(C).

一般而言，作(A)的序號(hào)有如下規(guī)則：

作(B)的序號(hào)有如下規(guī)則：

又當(dāng)n≥4為奇數(shù)時(shí)，與前面偶數(shù)相同，只要改變?nèi)缦碌淖餍蛱?hào)的方法.

作(A)序號(hào)的方法：

作(B)序號(hào)的方法：

1899年日本林鶴一博士證明移棋相間逆問(wèn)題的方法，以n=4，5，6，7成立的事實(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)分別加邊方法得出n=8，9，10，11；再?gòu)膎=8，9，10，11分別加邊方法得出n=12，13，14，15，如此繼續(xù)下去，得出一般的證明.[16]

2010年中國(guó)耿濟(jì)發(fā)表了移棋相間問(wèn)題的證明[6].

首先，把最初形式表示為

a1a2a3a4…anbn…b4b3b2b2——，

經(jīng)過(guò)n次移動(dòng)后的最后形式表示為

——baba…baba，

其中ai(1≤i≤n)以及a代表白子“○”，bi(1≤i≤n)以及b代表黑子“●”.

在n次移動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)存在[n/2]個(gè)始終有移動(dòng)的棋子，它們的分布情況證明得到

簡(jiǎn)單情況，n=4，a4，b2;n=5，a4，b4;n=6,a6,b6,b2;n=7,a4,b6，b2.

一般情況，n≥8時(shí)，分為4種類(lèi)型.

1)當(dāng)n≡0(mod4)，即n被4整除時(shí)，就有a4,a8,a12,…，an-4,an;bn,bn-4,…,b12,b8,b2;

2)當(dāng)n≡1(mod4)，即n被4整除余1時(shí)，就有a4,a8,a12，…，an-5,an-1;bn-1，bn-5,…,b12,b8,b4;

3)當(dāng)n≡2(mod4),即n被4整除余2時(shí)，就有a4,a10,a14,…，an-4,an;bn,bn-4,…，b10,b6,b2;

4)當(dāng)n≡3(mod4)，即n被4整除余3時(shí)，就有a4,a8,a12,…，an-3；bn-1，bn-5,…，b10,b6,b2.

其次，按照n次移動(dòng)過(guò)程中始終沒(méi)有移動(dòng)的棋子把最初形式分割或[n/2]+1個(gè)小區(qū)間，類(lèi)似地又把最后形式分割成[n/2]+1個(gè)小區(qū)間，這樣每個(gè)小區(qū)間都有對(duì)應(yīng)的小區(qū)間.

以n=8為例，按照a4,a8,b8,b2把最初形式分割成5個(gè)小區(qū)間(○○○a4),(a4○○○a8),(a8,b8),(b8●●●●●b2)，(b2●——)；又把最后形式分割成5個(gè)小區(qū)間(——●a4)，(a4●○●a8)，(a8,b8)，(b8○●○●○b2),(b2○●○).它們對(duì)應(yīng)小區(qū)間(○○○a4)→(——●a4),(a4○○○a8)→(a4●○●a8)，(a8,b8)→(a8,b8),(b8●●●●●b2)→(b8○●○●○b2),(b2●——)→(b2,○●○).

由于移動(dòng)的兩子有4種可能情況，白白，黑黑，黑白，白黑，依次用A，B，C，D來(lái)表示，移出用記號(hào)“-”，移入用記號(hào)“+”.

現(xiàn)將以上5個(gè)小區(qū)間的移動(dòng)過(guò)程敘述如下.

移動(dòng)過(guò)程記為T(mén)1=(-A，+B，-D).

有2種移動(dòng)過(guò)程記為T(mén)2=(-A+B-C+D)，T2′=(-A+B+C-D).(a8b8)→(a8b8)，移動(dòng)過(guò)程記為T(mén)3=0

2種移動(dòng)過(guò)程記為T(mén)4=(+A-2B+2C-D)，T4′=(+A-2B+C-C+D).

移動(dòng)過(guò)程記為T(mén)5=(+A-C+D).

根據(jù)以上5個(gè)小區(qū)間上的移動(dòng)結(jié)果得出：T1+T2+T3+T4+T5=0，T1+T2′+T3+T4′+T5=0.這里都是移出8次，移入8次的2種不同移法.

一般情況的4種類(lèi)型按照以上方法進(jìn)行論證[6].

最后，從最初形式左邊和右邊向中間分別移出A與B交替出現(xiàn)，即A→B→A→B→…共有[n/2]次；接著再?gòu)闹虚g移出C或D，按照…→C→D→C→D，共有[n/2]+1次為止.

當(dāng)n=8時(shí)的2種移法.

第1種移法a1a2…a7a8b8b7…b2b1——，經(jīng)過(guò)A與B的4次移動(dòng)為a2a3,b7b6,a5a6,b4b3，再經(jīng)過(guò)C與D的4次移動(dòng)b3a7，a6b5,b1a2,a1b7,得到——b6a4b4a6b5a8b8a5b1a2b3a7b2a1b7a3.

第2種移法a1a2…a7a8b8b7…b2b1——，前面4次A與B的移動(dòng)為a2a3,b6b5,a6a7,b4b3,后面4次C與D的移動(dòng)為b7a6,a5b4,b1a2,a1b6,得到——b5a4b1a2b3a8b8a5b4a7b7a6b2a1b6a3.

通過(guò)以上證明發(fā)現(xiàn)移棋相間及其逆命題的移法都不是唯一性.同時(shí)應(yīng)該指出移動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有移動(dòng)棋子的分布也不是唯一性.以n=12為例，除了a4,a8,a12,b12,a8,b2外，還有a4,a8,a12,b6,b2;以n=14為例，除了a4,a10,a14,b14,b10,b6,b2外，還有a4,a8,a14,b14,b10,b2,一般情況請(qǐng)參考[6].

[1] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(一)——夫妻問(wèn)題的新證與應(yīng)用[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，25(4)：321-324.

[2] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(二)——牙牌問(wèn)題的新證與推廣[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，26(3)：206-219.

[3] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(三)——洛書(shū)定理與應(yīng)用[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，26(4)：303-308.

[4] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(四)——Nasik幻方的性質(zhì)與構(gòu)造法[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，27(2)：107-115.

[5] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(五)——推廣Fibonacci數(shù)列與冪級(jí)和[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，27(4)：313-319.

[6] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(六)——移棋相間[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，28(1)：1-10，14.

[7] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(七)——一個(gè)麻將和牌問(wèn)題[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，28(2)：93-98.

[8] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(八)——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，29(2)：99-103.

[9] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(九)——學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，29(4)：297-304.

[10] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十)——學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(2)：95-102.

[11] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十一)——幻方與線性代數(shù)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(4)：299-305.

[12] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十二)——廣義華林公式與應(yīng)用[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，31(1)：1-7.

[13] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十三)——類(lèi)似華林公式的新公式[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，31(2)：93-99.

[14] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十四)——圓組合新概念與圓組合恒等式[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，32(1)：1-7.

[15] 耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十五)——從三角函數(shù)公式到伯努利數(shù)和歐拉數(shù)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，32(4)：295-301.

[16] 平山諦.東西數(shù)學(xué)物語(yǔ)[M].代欽，譯.上海：上海教育出版社，2005：100-107.

[17] 姜長(zhǎng)英.科學(xué)消遣[M].上海：科學(xué)出版社，1949，85-86.

Mathematical Recreation (ⅩⅣ):Problem of Move Pieces Become Black Alternation with White and International Achievements in Scientific Research

GengJi

(HainanUniversity,Haikou570228,China)

Thereportfallsintotwoparts,thefirstpartsisabouttheproblemofmovepiecesbecomeblackalternationwithwhite,andthesecondpartisabouttheachievementsinscientificresearch.

movepiecesbecomeblackalternationwithwhite;converseproposition;achievementsinscientificresearch

2014-11-28

耿濟(jì)(1929-)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，海南大學(xué)(退休)教授.

1004-1729(2015)03-0197-07

O 11

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0036