謝 東

(亳州師范高等專科學校電子與信息工程系， 安徽 亳州 236800)

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反證法在素數(shù)理論中的應用

謝 東

(亳州師范高等專科學校電子與信息工程系， 安徽 亳州 236800)

介紹反證法的原理、基本思想、類型、適用題型及證明步驟，通過實例闡述反證法在素數(shù)理論中的應用。

初等數(shù)論； 反證法； 素數(shù)； 證明

牛頓曾說過“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧盵1]。在對一個數(shù)學命題的證明從正面直接證明束手無策時，試著用反證法，往往可以“柳暗花明又一村”。高斯曾說過“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠”。數(shù)論中一些未解決的難題被稱為“皇冠上的明珠”[2]。初等數(shù)論主要研究對象是整數(shù)，而素數(shù)理論是數(shù)論的重要基石。在素數(shù)理論中，反證法同樣發(fā)揮著重要的作用。

1 反證法

1.1 反證法的原理、基本思想及類型

反證法不是一種直接的論證方法，而是采取逆向思維，從命題的反方向出發(fā)，先否定命題的結(jié)論，經(jīng)推演后導出矛盾。法國數(shù)學家阿達瑪對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結(jié)論，就會導致矛盾”[1]，這句話精辟地敘述了反證法的邏輯基礎。具體地說，反證法就是從命題的反方向出發(fā)，先假設命題的結(jié)論不成立，把這個假設作為新的條件，再進行正確的推演，最后得到與題設或已有的公理、定理、定義、法則相矛盾的結(jié)論，則說明假設不成立，根據(jù)矛盾律與排中律，則命題的結(jié)論得到了肯定，從而原命題得證[1]。這個過程可概括為“否定→推演出現(xiàn)矛盾→否定”，這就是反證法的辯證的“否定之否定”的基本思想。通常情況下，反證法可以分為2類。如果結(jié)論的反面只有一種情況，只須駁倒它，就得證了，這叫歸謬反證；若結(jié)論的反面不止一種情況，就得將它們一一推翻，這種叫窮舉反證。

1.2 反證法的命題適用類型

反證法在數(shù)學命題的證明中經(jīng)常被運用到，但到目前為止，什么條件下使用反證法，并沒有明確的規(guī)定。高婷婷等人[3]總結(jié)出適用反證法的幾種主要命題類型：(1)否定性命題，如命題的結(jié)論中有“不是”、“沒有”、“不可能”等；(2)限定式命題，如命題中有“至少” 、“至多” 、“不多于”等；(3)存在性命題；(4)無限性命題；(5)全稱肯定性命題，命題的結(jié)論中出現(xiàn)“…全…”、“…總是…”、“…都…”等；(6)唯一性命題；(7)不等式命題。

1.3 反證法的證明模式

反證法的證明步驟一般分為3步。首先是反設，假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立，把命題的結(jié)論予以否定，如：“大于”改為“小于或等于”，“都”改為“不都”，“至少1個”改為“1個也沒有”，“無限多個”改為“有限多個”，“至多1個”改為“至少2個”，等等；其次是歸謬，把反設作為條件，根據(jù)命題中所給的條件或是已經(jīng)有的概念、公理、定理、法則等進行推理，得到一個矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或是與已經(jīng)有的公理、定理、定義、法則矛盾，或是與某一常識矛盾，亦或是自相矛盾；最后是結(jié)論，由于推理是正確的，由矛盾可以判斷假設是不成立的，從而肯定原命題的正確性。在這3步中，關鍵還是第2步。

反證法的特點是把否定結(jié)論作為條件，然后進行推理論證，在否定結(jié)論時，應注意以下2點：(1)“都是”的正確否定是“不都是”，而不是“都不是”；(2)“至少有1個”的否定是“1個也沒有”[4]。

2 應用舉例

反證法在初等數(shù)論的證明中有很多的應用，在素數(shù)理論中也時常見到。在素數(shù)理論中，一個很重要的結(jié)論，就是素數(shù)的個數(shù)問題，現(xiàn)在人們已經(jīng)知道，素數(shù)有無限多個，而該理論反證法的證明可謂經(jīng)典。

例1：證明素數(shù)有無限個。

證明(反證法)：假設命題不真，即只有有限個素數(shù)，設這些素數(shù)為p1，p2，…，pn，構(gòu)造N=p1p2…pn+1，則要么所有的pi(i=1，2，…，n)都不是N的因數(shù)(因為若pi|N，而1=N-p1p2…pn，則pi|1，而這是不可能的)；要么有2種可能：N存在另外有別于pi的素真因數(shù)或者N本身就是一個素數(shù)，但是顯然有N>pi(i=1，2，…，n)。因此無論是哪種情況，都將和假設矛盾。故素數(shù)有無限多個。

例2：證明形如4n+3(n為非負整數(shù))的素數(shù)有無限多個。

證明(反證法)：假設形如4n+3的素數(shù)為有限個，設為p1，p2，…，pk。構(gòu)造q=4p1p2…pk-1=4(p1p2…pk-1)+3，顯然pi(i=1，2，…，k)都除不盡q(原因同例1)。

第一種情況，若q為素數(shù)，而q≠pi(i=1，2，…，k)(若q=pi，變形則有(4p1p2…pi-1pi+1…pk-1)pi=1，這不可能)，即假設不成立，定理得證。

第二種情況，若q不是素數(shù)，那么它必有素因數(shù)。因為(4α+1)(4β+1)=4(4αβ+α+β)+1=4γ+1，這里α、β、γ為非負整數(shù)(此式子說明4n+1形式的乘積還是4n+1的形式)，而q一定不能全是4n+1形式的素因數(shù)，一定還有4n+3形式的素因數(shù)p(因為q也是4n+3的形式，若全是4n+1的形式，它們的乘積得不到4n+3的形式，故一定還有4n+3形式的素因數(shù)p。由構(gòu)造可知q是奇數(shù)，所以它的因數(shù)要么是4n+1的形式，要么是4n+3的形式，不可能是4n與4n+2的形式)，且不是p1，p2，…，pk中的一個，該結(jié)論與假設矛盾(開始假設的是有限的k個，而現(xiàn)在找到了不等于p1，p2，…，pk的其他的4n+3形式的素數(shù)p)，故形如4n+3的素數(shù)有無限多個。

3 結(jié) 語

在用反證法證明的過程中，蘊含著反證法的思想，為了能夠清晰地表達，需在括號中作詳細解釋。此外反證法很巧妙，應用也很廣泛，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，目前尚無統(tǒng)一的標準。

[1] 張先休,曾令艷,陜振沛.反證法 — 極小反例[J].科教導刊(上旬刊)，2013(8):187-188.

[2] 曾福庚.《初等數(shù)論》課程教學改革探析[J].瓊州學院學報,2013,20(2):51-53.

[3] 高婷婷,張明會.淺談反證法在高等數(shù)學中的應用[J].湖南工程學院學報,2013,23(2):47-49.

[4] 杜玉祥.矛盾與反證法[J].曲阜師范大學學報,1988,14(2):97-98.

Application of Reduction to Absurdity in Prime Number Theory

XIEDong

(Department of Electronic and Information Engineering, Bozhou Teachers College, Bozhou Anhui 236800, China)

In this paper, the principle, the basic idea, the type, compatible proposition and the steps in the proof are discussed, and two examples of prime number are given to show effectiveness of reduction to absurdity in elementary number theory.

elementary number theory; reduction to absurdity; prime number; proof

2015-02-02

安徽省高校自然科學研究項目(KJ2015A347)；安徽省省級教學研究項目“基于數(shù)學建模思想和方法的高職數(shù)學教學模式改革的研究”(2012JYXM595)；安徽省高校優(yōu)秀青年支持計劃項目(2014)；亳州師專《數(shù)學建?！分攸c課程(2012YC07)；亳州師?？蒲许椖俊皬头治鲋腥舾蓡栴}的研究”(2012YC15)

謝東(1979 — )，男，安徽樅陽人，湖南大學在讀博士研究生，副教授，研究方向為應用數(shù)學。

O156.1

A

1673-1980(2015)05-0099-02