江濤,錢富才

(西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

基于UBB噪聲的高動態(tài)GPS載波跟蹤算法研究

江濤,錢富才

(西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710048)

GPS接收機(jī)在高動態(tài)情況下,載波信號受到不同類型復(fù)雜噪聲的干擾,且很難獲得這些噪聲的統(tǒng)計特性,而傳統(tǒng)方法對噪聲的處理都是假定其統(tǒng)計特性已知,因此,本文提出了一種基于集員濾波(SMF)的解決方案。該方法首先將噪聲定義成一類未知但有界(UBB)噪聲,然后利用橢球包含UBB噪聲集合及狀態(tài)集合,進(jìn)而采用集員濾波的方法實現(xiàn)了載波信號的多普勒頻率估計,最后通過Matlab仿真驗證該算法的有效性,并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較。較傳遞函數(shù)設(shè)計的PLL設(shè)計方法,提高了環(huán)路的動態(tài)適應(yīng)性和精度;較Kalman濾波方法,提高了環(huán)路的魯棒性和快速性。集員濾波為GPS接收機(jī)載波跟蹤環(huán)路的設(shè)計提供了新的思路。

GPS; 集員濾波; UBB; 多普勒頻率; 載波跟蹤環(huán)路

GPS是由美國建立的高精度全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng),已經(jīng)在陸地、海洋、航空、航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。一般GPS接收機(jī)在靜態(tài)、中低動態(tài)的情況下能夠進(jìn)行準(zhǔn)確的定位及導(dǎo)航,然而在高動態(tài)情況下,傳統(tǒng)GPS接收機(jī)無法準(zhǔn)確的定位導(dǎo)航。目前,國外對于高動態(tài)GPS接收機(jī)產(chǎn)品及技術(shù)進(jìn)行封鎖,因此這項研究顯得至關(guān)重要。

傳統(tǒng)GPS載波跟蹤環(huán)路設(shè)計采用的是二階或三階鎖相環(huán)(Phase Locked Loop,簡稱PLL),其中環(huán)路濾波器的作用在于濾除載波環(huán)路中的噪聲,并且使得濾波結(jié)果能夠準(zhǔn)確地反應(yīng)出輸入信號的相位變化。然而當(dāng)接收機(jī)處在高動態(tài)運(yùn)動中,環(huán)路中的噪聲特性也隨之發(fā)生了變化。PLL為了提升對動態(tài)的適應(yīng)能力,一般采用的方法是增加環(huán)路帶寬和階數(shù),然而這兩種方法都有各自的局限性。首先,為了適應(yīng)動態(tài)應(yīng)力帶來的變化,增加環(huán)路噪聲帶寬雖然有助于環(huán)路的穩(wěn)定,但同時引入了更多的環(huán)路熱噪聲,對于環(huán)路噪聲帶寬的增加，動態(tài)應(yīng)力與熱噪聲是一對矛盾,因此,總體載波的跟蹤性能并不能有效的提升;其次,高動態(tài)意味著接收機(jī)接收到的信號具有較大的多普勒頻率,使得載波相位快速發(fā)生變化,傳統(tǒng)PLL動態(tài)適應(yīng)的極限很難達(dá)到高動態(tài)的要求。為了提高跟蹤環(huán)路的動態(tài)性能,一般的解決方法是增加跟蹤環(huán)路的階數(shù)[1],但同時也帶來了設(shè)計復(fù)雜性和嚴(yán)重的穩(wěn)定性問題[2]。因此,由傳遞函數(shù)設(shè)計的PLL無法應(yīng)對高動態(tài)等極端條件。

為了解決高動態(tài)的跟蹤問題,文獻(xiàn)[3]～[7]采用了新的載波跟蹤環(huán)路PLL設(shè)計結(jié)構(gòu)，通過建立由載波相位差、多普勒頻率、多普勒頻率變化率組成的狀態(tài)方程,利用Kalman濾波器實現(xiàn)多普勒頻率估計,取代了傳統(tǒng)的環(huán)路濾波器。由于Kalman濾波在噪聲統(tǒng)計特性為高斯白噪聲的情況下是一種最優(yōu)估計,GPS接收機(jī)在靜止或者低動態(tài)運(yùn)動中,載波跟蹤環(huán)路主要受到熱噪聲的影響[8],熱噪聲是由元器件中電子熱振動引起的,其統(tǒng)計特性就是典型的高斯白噪聲,因此,基于Kalman濾波器設(shè)計的載波跟蹤環(huán)路較傳統(tǒng)方法跟蹤性能有了大幅提升。然而Kalman濾波器在高動態(tài)環(huán)境中的局限性也很明顯,首先,在高動態(tài)環(huán)境中，動態(tài)應(yīng)力成為主要的噪聲源[9],并且GPS接收機(jī)在極限的運(yùn)動狀態(tài)下,振動引起的時鐘相位抖動、阿倫方差等噪聲已不可忽略[10],這些多源噪聲的疊加如果簡單的用高斯白噪聲來描述其統(tǒng)計特性,顯然是不合理的,當(dāng)這些噪聲統(tǒng)計特性偏離高斯分布較大時,Kalman濾波就不能得到符合實際的結(jié)果;其次,Kalman濾波過程中,過程噪聲和測量噪聲的統(tǒng)計特性是初始給定的,顯然在復(fù)雜的運(yùn)動環(huán)境下,噪聲的統(tǒng)計特性是實時變化的,這可能導(dǎo)致濾波適應(yīng)能力變差甚至發(fā)散[11]。

雖然這些噪聲的統(tǒng)計特性很難通過數(shù)學(xué)方法得到,但是在特定的環(huán)境下,獲得噪聲邊界是可能的[12],此時可以采用基于有界集合的算法[13]。20世紀(jì)60年代末,Witsenhausen和Schweppe提出了一類基于未知但有界(Unkown But Bounded簡稱UBB)噪聲假設(shè)的估計方法[14-15],即集員濾波。該方法利用外定界橢球集合包含系統(tǒng)的真實狀態(tài),只要求系統(tǒng)噪聲有界,且噪聲界已知,而不需要已知噪聲統(tǒng)計特性。但當(dāng)時沒有提出橢球集合的最優(yōu)化問題,因而并沒有得到廣泛的應(yīng)用。直至Fogel和Huang提出了OBE算法[16],得到了最小跡橢球和最小容積橢球集合,以及Maksarov分析了狀態(tài)定界問題[17],得到了橢球集合描述,此后學(xué)者們提出了許多相關(guān)的改進(jìn)算法,推動了對于集員濾波的廣泛研究及應(yīng)用。在實際設(shè)計過程中,集員濾波過程類似于Kalman濾波,通過建立系統(tǒng)狀態(tài)方程,運(yùn)用遞歸的方法進(jìn)行狀態(tài)估計。由于集員濾波對噪聲有較強(qiáng)的適應(yīng)性,該方法在高動態(tài)環(huán)境下表現(xiàn)出較好的魯棒性和估計精度。因此,本文將引入集員濾波來改善高動態(tài)GPS載波跟蹤環(huán)路的性能。

1 傳統(tǒng)PLL設(shè)計的GPS載波跟蹤環(huán)路

1.1 PLL設(shè)計原理

PLL由鑒相器、環(huán)路濾波器和數(shù)控振蕩器(NCO)組成,時域結(jié)構(gòu)如圖1所示,鑒相器將輸入信號相位θi與反饋信號相位θf比較,結(jié)果乘以增益k0,得到相位差θe,經(jīng)過環(huán)路濾波器得到控制信號Vo,Vo控制載波NCO改變本地載波的輸出相位。在誤差信號的控制下,頻率就調(diào)整至與輸入信號頻率近似,最終使環(huán)路鎖定。

動態(tài)環(huán)境的變化引起信號噪聲特性和多普勒頻率的變化,PLL階數(shù)越高,動態(tài)適應(yīng)能力越強(qiáng)。二階PLL對加速度應(yīng)力敏感,三階PLL對加加速度應(yīng)力敏感。下面就噪聲對二階與三階PLL的影響進(jìn)行定量分析。

1.2 噪聲對動態(tài)性能的影響

傳統(tǒng)PLL作為成熟的同步跟蹤技術(shù)已經(jīng)成功的應(yīng)用于GPS載波跟蹤環(huán)路。然而在高動態(tài)條件下,環(huán)路中的動態(tài)應(yīng)力變化劇烈,噪聲的變化對PLL有多大的影響呢?為了說明問題,首先介紹引起載波環(huán)路相位誤差的四種主要噪聲來源以及總體噪聲。

1) 熱噪聲σt

熱噪聲是PLL中最常見的噪聲源,其分布特性屬于典型的高斯白噪聲。引起鎖相環(huán)相位抖動的熱噪聲計算如下:

(1)

2) 動態(tài)應(yīng)力θd

動態(tài)應(yīng)力的大小依賴于信號所處的動態(tài)環(huán)境和帶寬,對于一個給定的環(huán)路,高動態(tài)生成高動態(tài)應(yīng)力,二階環(huán)路動態(tài)應(yīng)力誤差定義為:

(2)

三階環(huán)路,動態(tài)應(yīng)力誤差定義為:

(3)

式中,dR2/dt2為視線加速度(deg/s2),dR3/dt3為視線加加速度(deg/s3)。

3) 抖動誤差συ

振動引起的時鐘相位噪聲可計算如下:

(4)

4) 阿倫偏差θA

阿倫偏差同樣也能引起時鐘相位噪聲,對于二階環(huán)路,阿倫偏差引入的誤差為:

(5)

三階環(huán)路,阿倫偏差引入的誤差為:

(6)

式中,σA(τ)為晶振短期穩(wěn)定度閘門時間的方差。

5) 總體噪聲及跟蹤門限

根據(jù)一般經(jīng)驗,載波跟蹤環(huán)路門限定義如下:

(7)

式中,σPLL為均方根誤差為1σ的總體噪聲,該式說明總體噪聲引起的1σ誤差必須小于15°,否則整個環(huán)路的跟蹤性能將不能保證。

文獻(xiàn)[1]給出了GPS載波跟蹤環(huán)路的噪聲及其1σ均方根誤差,本文在此基礎(chǔ)上分析傳統(tǒng)PLL可以承受的動態(tài)極限,下面分析噪聲對動態(tài)性能的影響。

忽略振蕩器振動引起的抖動誤差συ和阿倫偏差θA,式(7)可以表示為:

(8)

則動態(tài)應(yīng)力誤差門限為:

(9)

由式(1)、(2)和(9),進(jìn)而可以確定二階PLL的加速度應(yīng)力門限:

(10)

由式(1)、(3)和(9),可得三階PLL的加加速度應(yīng)力門限:

(11)

式中,λL為射頻載波波長。

如果假定載噪比C/N0=38 dBHz,環(huán)路噪聲帶寬Bn=18 Hz時,T=1 ms。為了保證跟蹤門限,將參數(shù)代入式(1)、(11)計算可知,二階PLL必須滿足加速度小于21.56 m/s2,三階PLL必須滿足加加速度小于226.38 m/s3,因此,傳統(tǒng)PLL無法滿足典型高動態(tài)的要求。

從另一視角來看,熱噪聲不會隨著動態(tài)變化而變化;動態(tài)應(yīng)力屬于模型階數(shù)的限制導(dǎo)致的建模誤差，高動態(tài)情形下會引起振蕩器、時鐘晶振等元器件參數(shù)的變化,也就是除了熱噪聲以外,其余噪聲都會隨著動態(tài)環(huán)境的變化而變化,即噪聲的非高斯部分會隨著動態(tài)的增加而增加。基于這兩個方面,我們需要尋找一個能夠適應(yīng)高動態(tài)且噪聲為非高斯的估計方法來處理該問題。

2 集員魯棒濾波設(shè)計方法

2.1 狀態(tài)空間模型

傳統(tǒng)PLL是基于傳遞函數(shù)設(shè)計的濾波器,其本質(zhì)是一種對系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行不完全描述的頻率分析方法。高動態(tài)意味著接收機(jī)存在很大的加速度和加加速度,通過之前的結(jié)論可知,傳統(tǒng)二階、三階PLL并不能滿足要求,需要高階傳遞函數(shù)設(shè)計的系統(tǒng)才能降低動態(tài)應(yīng)力誤差,然而高階傳遞函數(shù)的設(shè)計與分析是極其困難的。

集員濾波是一種時域濾波方法,它是基于狀態(tài)空間描述的估計理論,狀態(tài)空間模型能夠描述系統(tǒng)內(nèi)部各個狀態(tài)以及外部輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系,易給出高階系統(tǒng)模型,這就大大提升了系統(tǒng)動態(tài)性能。根據(jù)載波相位差、多普勒頻率、多普勒頻率變化率、多普勒頻率變化率的變化率之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立標(biāo)準(zhǔn)四階狀態(tài)空間[18]。

狀態(tài)方程:

(12)

測量方程:

(13)

式中,zk是積分時間T內(nèi),接收載波和本地產(chǎn)生載波的平均相位差,實際的觀測量由環(huán)路鑒相器輸出,υk為測量噪聲序列。

2.2 最優(yōu)濾波過程與噪聲分析

集員濾波和Kalman濾波相比,首先它們都是基于狀態(tài)空間模型的時域濾波方法,其次有著相似的遞歸過程。在噪聲統(tǒng)計特性為高斯白噪聲條件下,Kalman濾波是一種最優(yōu)估計。

Kalman濾波過程參考文獻(xiàn)[5],本地載波VCO產(chǎn)生的頻率輸入fk更新表示為:

(14)

式中,參數(shù)ka為可調(diào)參數(shù),用于調(diào)節(jié)更新過程中的振蕩幅度。

Kalman濾波要求ωk和υk的統(tǒng)計特性為高斯白噪聲且相互獨立,即:

(15)

(16)

(17)

其中:

設(shè)計Kalman濾波器過程中,都是假定系統(tǒng)模型精確已知,并且噪聲為高斯白噪聲,且方差陣Qk、Rk的選取來自于已知經(jīng)驗值或試驗測定值。然而實際GPS載波跟蹤環(huán)路存在動態(tài)模型描述不精確、模型變化及非高斯噪聲干擾,均會導(dǎo)致Kalman濾波的性能下降甚至發(fā)散。由于真實系統(tǒng)的不確定性,大量實際應(yīng)用表明,Kalman濾波并不能保證濾波算法的收斂性和穩(wěn)定性。

2.3 UBB噪聲下的集員濾波

根據(jù)前面的分析可知,傳統(tǒng)PLL存在動態(tài)適應(yīng)極限的問題,而Kalman濾波存在對系統(tǒng)模型和噪聲統(tǒng)計特性過于依賴而導(dǎo)致魯棒性差的缺陷,為了解決這個問題,通過1.2可以看出,除了熱噪聲以外,其余噪聲屬于非高斯,且隨著動態(tài)性能的增加，噪聲非高斯部分也隨之增加,因此,UBB噪聲的假設(shè)更符合實際情況。

另一方面,噪聲引起的相位抖動3σ值不超過π/4,也就是說,UBB噪聲引起的相位抖動設(shè)定的上限就是π/4,因此,需要一種估計算法來保證估計值的邊界。幸運(yùn)的是,集員濾波就是一種基于UBB噪聲的保證估計算法。

集員濾波的基本思想就是找到由所有與測量數(shù)據(jù)、模型結(jié)構(gòu)和噪聲的有界假設(shè)相容的狀態(tài)組成的集合,由于此集合中的任何元素都有可能是狀態(tài)真實值,所以此集合被稱為狀態(tài)的可行集。精確描述可行集是非常困難的,所以本文采用集員濾波算法通過橢球來包含可行集,從而實現(xiàn)對可行集的近似描述。集員濾波在時間更新和測量更新過程中,首先得到包含兩個橢球向量和的外定界橢球,這時的外定界橢球是一個橢球族,接著計算出該橢球族中的最小容積橢球。

橢球中心為a,P表示橢球形狀大小的正定矩陣,則橢球可表示為如下形式:

(18)

包含已知橢球E(a1,P1)和E(a2,P2)向量和的外定界橢球E(a,P)可表示為:

(19)

橢球E(a,P)的中心:

a=a1+a2

(20)

外定界橢球形狀完全由矩陣P確定,當(dāng)前已知矩陣P1和P2,因此,引入?yún)?shù)p,并且令

(21)

這樣,不同的參數(shù)p可以對應(yīng)不同的矩陣P,不同的P又可以產(chǎn)生不同的外定界橢球,在所有這些外定界橢球中,尋找容積最小的橢球。

橢球E(a,P)的容積可用P的行列式來度量,因此,求容積最小的外定界橢球等價于優(yōu)化問題:

(22)

用與文獻(xiàn)[16]相同的方法,可以證明優(yōu)化問題(22)等價于求如下方程:

(23)

由于噪聲以及動態(tài)方程的不確定性,假定模型的狀態(tài)值、測量值、噪聲都是有界的并包含在橢球內(nèi),本文通過最小容積橢球方法來更新包含兩個橢球向量和的外定界橢球,更新橢球的中心,即為狀態(tài)更新值?；谠撍枷?下面給出GPS載波跟蹤環(huán)路模型的集員濾波過程:

假定ωk∈Rn,υk∈Rm分別為統(tǒng)計特性未知但有界的過程噪聲向量和測量噪聲向量。有界噪聲ωk和υk的橢球集合可以描述為:

(24)

(25)

式中,Qk∈Rn×n及Rk∈Rm×m為先驗已知正定矩陣,先驗值使得噪聲序列都包含在Qk、Rk設(shè)定的橢球內(nèi)。

假定已知系統(tǒng)初始狀態(tài)x0屬于橢球集合

(26)

k-1時刻狀態(tài)xk-1的橢球

(27)

根據(jù)最優(yōu)橢球定界算法[19],給出集員濾波過程。

時間更新:

(28)

矩陣Pk,k-1為:

(29)

為了使橢球容積達(dá)到最小,參數(shù)pk由以下方程解得,這里要求pk>0。

(30)

測量更新:

(31)

矩陣Pk為:

(32)

此時,若qk≥0,

(33)

(34)

(35)

為了使橢球Ek的容積達(dá)到最小,參數(shù)qk通過下式求解:

(36)

(37)

(38)

(39)

3 仿真驗證

為了測試不同方法的跟蹤性能,高動態(tài)參照美國噴氣動力實驗室(JPL)的定義,設(shè)GPS接收機(jī)載體在兩個獨立的0.5 s內(nèi)分別有±980 m/s3的加加速度,期間被持續(xù)恒定的?245 m/s2加速度所分割,速度的初始值為100 m/s,加速度的初始值設(shè)定為-245 m/s2,整個運(yùn)動過程8 s,如圖2所示。

GPS測試信號由GPS信號模擬器產(chǎn)生。選取19號衛(wèi)星,采樣頻率5 MHz,中頻(IF)信號1.25 MHz,載噪比C/N0=38 dBHz,積分時間T=1 ms。采集到的中頻信號通過Matlab仿真。

仿真首先采用傳統(tǒng)PLL跟蹤多普勒頻率,選取環(huán)路噪聲帶寬Bn=18 Hz,二階PLL仿真結(jié)果見圖3(a)。由于接收機(jī)載體初始加速度為-245 m/s2,絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于-21.56 m/s2,二階PLL剛鎖定環(huán)路便很快失鎖,跟蹤失敗。三階PLL仿真結(jié)果如圖3(b)所示,三階PLL能夠跟蹤0～3 s的-245 m/s2加速度產(chǎn)生的多普勒頻率,但是3 s后出現(xiàn)了980 m/s3的加加速度,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于226.38 m/s3,因此3 s后三階PLL失鎖,跟蹤失敗。

接著分別采用集員濾波和Kalman濾波(KF)跟蹤多普勒頻率,仿真結(jié)果如圖4所示。集員濾波和Kalman濾波設(shè)計的環(huán)路都能夠跟蹤整個運(yùn)動過程引起的多普勒頻率。為了測試狀態(tài)初值對兩種算法的影響,設(shè)定初始狀態(tài)多普勒頻率誤差為50 Hz。

圖5給出了集員濾波和Kalman濾波頻率估計的均方誤差曲線,由仿真結(jié)果可見,集員濾波在8 s內(nèi)的誤差小于Kalman濾波,這是因為集員濾波具有較快的收斂速度,隨著時間推移,Kalman濾波精度會略好于集員濾波,也就是說當(dāng)初始誤差較大或者由于外界因素導(dǎo)致狀態(tài)值發(fā)生突變時,集員濾波能以更快的收斂速度到達(dá)穩(wěn)態(tài),而Kalman濾波因收斂速度較慢,從而更易在狀態(tài)劇烈變化中導(dǎo)致濾波發(fā)散。

4 結(jié) 論

本文分析了載波信號的噪聲特性,發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)PLL實現(xiàn)的載波跟蹤環(huán)路不能適應(yīng)高動態(tài)情形，而Kalman濾波雖然能夠適應(yīng)高動態(tài),但存在對非高斯白噪聲適應(yīng)能力差的問題。本文采用基于UBB噪聲假設(shè)的集員濾波方法能夠解決高動態(tài)、噪聲非高斯情況下的載波跟蹤問題,且仿真表明，該方法在保證精度的基礎(chǔ)上具有較強(qiáng)的魯棒性。值得注意的是，集員濾波算法需要設(shè)定噪聲邊界,邊界過大會導(dǎo)致濾波精度下降,過小會導(dǎo)致估計值不可靠,如何選取適當(dāng)?shù)倪吔缫蕴岣邽V波性能是未來研究的方向。

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(責(zé)任編輯 周蓓)

Research on high dynamic GPS carrier tracking algorithm based on UBB noise

JIANG Tao,QIAN Fucai

(Faculty of Automation and Information Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

In high dynamic condition, the carrier signal of GPS is interfered by different kinds of complex noises, and it is very difficult to obtain the statistic characteristics of the noise, but the traditional method is assumed that the statistic properties of the noise is known, accordingly, this paper proposes a solution based on set membership filter (SMF). Firstly, the noise is defined as an unknown but bounded (UBB) noise, and then the UBB noise set and the state set are contained by the ellipsoid, Doppler frequency estimation of carrier signal is accomplished by using the method of set membership filter next. Finally, the effectiveness of the proposed algorithm is verified by Matlab simulation and compared with the traditional method. Compared with the method based on transfer function of tracking loop, the proposed algorithm improves the dynamic adaptability and tracking precision; both robustness and speediness of the loop are improved compared with the performance of Kalman filter method. Accordingly, set membership filter is a new design method in the field of GPS receiver carrier tracking loop.

GPS; set membership filter; UBB; Doppler frequency; carrier tracking loop

1006-4710(2015)03-0328-07

2015-04-18

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273127,61304204);國家自然科學(xué)基金重點項目(61533014);陜西省科技創(chuàng)新團(tuán)隊資助項目(2013KCT-04)。

江濤,男,博士生,研究方向為衛(wèi)星導(dǎo)航、系統(tǒng)辨識與濾波算法。E-mail:jiangtao.xaut@foxmail.com。

錢富才,男,教授,博導(dǎo),博士,研究方向為隨機(jī)控制、系統(tǒng)辨識、非線性系統(tǒng)等。E-mail:fcqian@xaut.edu.cn。

TN967.1

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