張中華，付景超

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林132012)

自1963年，美國著名氣象學(xué)家E.N.Lorenz在刻畫熱對流不穩(wěn)定性時發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng)以來，許多新的三維混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)，像 Chen系統(tǒng)［1］、Lü系統(tǒng)［2］、Chu系統(tǒng)［3］等等，對這方面的研究也很多［4－7］。此外，電力系統(tǒng)中也存在Hopt分岔。文獻［8］給出了求解電力系統(tǒng)動態(tài)電壓穩(wěn)定Hopt分岔點的新型混合方法。文獻［9］基于中心流形理論對一類小水電并網(wǎng)系統(tǒng)的Hopt分岔進行了分析。文獻［10］在Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計一個非線性反饋控制器建立了一個新的四維非線性系統(tǒng)，通過Lyapunov指數(shù)研究了系統(tǒng)的超混沌行為，并設(shè)計自適應(yīng)控制器控制這種混沌現(xiàn)象。文獻［11］在文獻［7］的基礎(chǔ)上，研究了一個四維超混沌系統(tǒng)的分岔行為，并進一步判定系統(tǒng)分岔的方向和周期解問題。但以上文獻沒有對超混沌系統(tǒng)的分岔行為進行控制。

本文在文獻［10］和文獻［11］的基礎(chǔ)上，進一步研究四維超混沌系統(tǒng)的分岔控制問題。利用中心流形理論將四維系統(tǒng)降到二維系統(tǒng)，通過研究二維系統(tǒng)的Hopf分岔類型來判定原系統(tǒng)的分岔特性;接著對系統(tǒng)產(chǎn)生的Hopf分岔行為進行極限環(huán)幅值(周期解振幅)控制，找出控制參數(shù)與幅值之間的關(guān)系式，進而判定控制參數(shù)對系統(tǒng)極限環(huán)幅值的影響。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌相圖

1 系統(tǒng)模型穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)模型如下［11］

其中，a，b，c，m 是實參數(shù)，當 a=36，b=3，c=20，m=7時，系統(tǒng)(1)存在超混沌吸引子，如圖1所示。

當b＞0時，系統(tǒng)(1)有唯一平衡點O(0，0，0，0)，下面討論平衡點O的穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)(1)在平衡點O的線性化矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

式(2)有一個負根λ3=-b＜0，由Routh－Hurwitz矩陣知:

圖2 系統(tǒng)(1)在O處的分岔圖

圖3 m=5系統(tǒng)(1)在分岔點O處的相圖

2 系統(tǒng)Hopf分岔類型判定

當b=3，a=2，c=-1，m=6時，系統(tǒng)(1)在平衡點O處的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征值為

其中ω0=2.828 4。下面討論系統(tǒng)(1)在平衡點O的Hopf分岔類型。

對系統(tǒng)(1)兩端作線性變換(x，y，z，w)T=Ty，其中 y=［y1，y2，y3，y4］T，T 為分岔點 O 處導(dǎo)算子的特征值對應(yīng)的特征向量的實部和虛部所組成的變換矩陣。

變換后可得系統(tǒng)(1)的Poincare規(guī)范形

其中:hi(y)(i=1，2，3，4)為包含 y1，y2，y3，y4，m1的非線性部分，m=m1+6。根據(jù)中心流形定理，可設(shè)式(3)的中心流形為如下形式:

其中:U(y2，y3)和V(y2，y3)為含y2，y3的更高階項。(0，0)是式(5)唯一有意義的平衡點，由文獻［12］知，式(5)與系統(tǒng)(1)有相同的非線性特性，研究式(5)在(0，0)的穩(wěn)定性及分岔類型相當于研究系統(tǒng)(1)在相應(yīng)平衡點O處的穩(wěn)定性及分岔類型。計算式(5)的Hopf分岔穩(wěn)定性指標

計算得 β2=-0.014 1 ＜ 0。所以，式(5)在(0，0)處發(fā)生超臨界Hopf分岔，由此可判定系統(tǒng)(1)在分岔點O處發(fā)生超臨界Hopf分岔，系統(tǒng)O產(chǎn)生等幅振蕩，出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，如圖4所示，仿真初值為(x0，y0，z0，w0)=(0.5，0.1，0.1，0.1)。

3 分岔控制

不改變原系統(tǒng)的Hopf分岔點，對系統(tǒng)(1)施加基于Washout濾波器輔助的非線性控制器得:

圖4 m=6.2時，系統(tǒng)(1)在平衡點O處和相圖

其中 u=k(x1-ξv)3，非線性控制器沒有改變原系統(tǒng)的平衡點 O，系統(tǒng)(6)有平衡點~O(0，0，0，0，0)。取b=3，a=2，c=-1，ξ=0.5，m=6，則系統(tǒng)(6)在平衡點 ~O 處的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征值為

變換后可得系統(tǒng)(6)的Poincare規(guī)范形

其中 hi(y)(i=1，2，3，4，5)是包含 y1，y2，y3，y4，y5，k 的非線性部分。

根據(jù)Hopf分岔理論計算系統(tǒng)(6)的Hopf分岔穩(wěn)定性指標β［13］2

其中

根據(jù)式(7)及文獻［13］，分別計算各個特征量得

將以上結(jié)果代入式(8)和式(9)得

當k＜0.3時，β2＜0，系統(tǒng)(6)發(fā)生超臨界Hopf分岔，在平衡點附近系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，如圖5所示。當k=0時，β2＜0，即在施加控制器前系統(tǒng)的分岔類型為超臨界，這與2中所分析的結(jié)果相符合。另外，極限環(huán)幅值(振動幅值)會隨著控制參數(shù)k的減小而減小，見圖5～圖6。當k＞0.3時，β2＞0，系統(tǒng)(6)發(fā)生亞臨界Hopf分岔，在平衡點附近系統(tǒng)產(chǎn)生增幅振蕩，出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán)，如圖7所示。其中，仿真初值為(x0，y0，z0，w0，v0)=(0.5，0.1，0.1，0.1，0)。

圖5 k=0.2時，系統(tǒng)(6)在分岔點~O處的相圖

圖6 k=－2.5時，系統(tǒng)(6)在分岔點~O處的相圖

由以上分析知，當非線性控制參數(shù)滿足一定條件時，可以改變原系統(tǒng)的Hopf分岔類型和極限環(huán)幅值大小，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的極限環(huán)幅值控制。

圖7 k=0.9時，系統(tǒng)(6)在分岔點~O處的相圖

4 結(jié) 論

本文主要研究了一個新的四維非線性系統(tǒng)的Hopf分岔行為和極限環(huán)幅值控制問題。通過中心流形理論判定系統(tǒng)的Hopf分岔類型，然后對系統(tǒng)施加基于Washout濾波器輔助的非線性控制器，討論了控制器對Hopf分岔類型及極限環(huán)幅值的影響。通過討論得出結(jié)論，當非線性控制參數(shù)滿足一定條件時，可改變原系統(tǒng)的Hopf類型，并能控制極限環(huán)幅值的大小。文中用Matlab軟件對理論結(jié)論進行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致。

［1］ChenGuanrong，T.Ueta.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7):1465－1466.

［2］Lü Jinhu，Chen Guanrong.A new chaotic attractor coined［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3)659－661.

［3］ChuYanddong，Li Xianfeng，Zhang Jiangang，etal.Nonlinear dynamics analysis of a new autonomous chaotic system［J］.Journal of Zhejiang University(Science A)，2007，8(9):1408－1413.

［4］PangShou－Quan，Liu Yong－Jian.A new hyperchaotic system from the Lü system and its control［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235(8):2775－2789.

［5］AntonioAlgaba，F(xiàn)ernando Fernández－Sánchez，Manuel Merino.Centers on center manifolds in the Lorenz，Chen and Lü systems［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2014，19(4):772－775.

［6］DengKuibiao，Yu Simin.Hopf bifurcation analysis of a new modified hyperchaotic Lü system［J］.Optik，2013，124(23):6265－6269.

［7］劉洪偉.一類Silnikov方程的Hopf分岔控制［J］.東北電力大學(xué)學(xué)報，2014，34(4):75－79.

［8］吳金龍，張焰.一種求解電力系統(tǒng)動態(tài)電壓穩(wěn)定Hopf分岔點的新型混合方法［J］.東北電力大學(xué)學(xué)報，2008，28(4):18－24.

［9］張中華，付景超，李鵬松.基于中心流形理論的小水電并網(wǎng)系統(tǒng)Hopf分岔分析［J］.振動與沖擊，2015，34(2):50－54.

［10］高智中.一個新的非線性系統(tǒng)及其超混沌控制［J］.浙江大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2012，39(3):303－307.

［11］Du Wenju，Zhang Jiangang，Yu Jianning，et al.Hopf bifurcation analysis in a Novel nonlinear system［C］.Proceedings of the 32nd Chinese Control Conference，Xi’an，2013，26－27.

［12］張琪昌，王洪禮，竺致文，等.分岔與混沌理論及應(yīng)用［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2005，147－150.

［13］Hassard，B.D.Theory and Application of Hopf Bifurcation［M］.Cambridge University，1981.