岳　麗

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院，陜西 西安 712046)

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

岳麗

(陜西國際商貿(mào)學(xué)院，陜西 西安 712046)

摘要：研究了嫦娥三號在進(jìn)入著陸準(zhǔn)備軌道后其相應(yīng)位置、相應(yīng)速度及各種姿態(tài)調(diào)整控制方向的確定問題，對嫦娥三號滿足每個階段關(guān)鍵狀態(tài)的策略進(jìn)行了優(yōu)化，并實現(xiàn)了軟著陸過程燃料消耗最少的控制。首先，利用橢圓運動的內(nèi)部機理規(guī)律，結(jié)合橢圓的對稱性建立初等模型，求得了著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置和速度；其次，利用物體的重力勢能和動能發(fā)生相互轉(zhuǎn)換，以及機械能守恒和總機械能保持不變的知識建立了優(yōu)化模型，運用函數(shù)作圖得到并確立了嫦娥三號軟著陸的最優(yōu)軌跡方程；最后，依據(jù)誤差分析法以及敏感性分析，建立了線性擬合模型，應(yīng)用MATLAB軟件，得到了嫦娥三號在相對情況下和絕對情況下的誤差。其中，嫦娥三號軟著陸中6個階段的粗避障階段對不確定因素最為敏感。得出了嫦娥三號著陸軌跡每個關(guān)鍵狀態(tài)下路徑坐標(biāo)變化的位置，運用的算法簡單明了，誤差小，并且結(jié)果的檢驗和模型檢驗都具有相適應(yīng)的精度和穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：初等模型；優(yōu)化模型；敏感性分析；線性擬合模型

嫦娥三號是中國國家航天局嫦娥工程第二階段的登月探測器，它攜帶中國的第1艘月球車實現(xiàn)中國首次月面軟著陸。軟著陸作為踏上另一個星球進(jìn)行實地科學(xué)探測的第1步，是所有探測活動中最為重要的環(huán)節(jié)。由于月球上沒有大氣，是真空狀態(tài)，唯一的選擇就是整個降落過程完全用著陸器底下的發(fā)動機朝反方向從下往上推，減少著陸器的下降速度。在整個“落月”過程中，嫦娥三號完全依靠自主導(dǎo)航控制，完成降低高度、確定著陸點、實施軟著陸等一系列關(guān)鍵動作，人工干預(yù)的可能性幾乎為零[1]。

1著陸準(zhǔn)備軌道近月點與遠(yuǎn)月點的位置和方位的確定

1.1確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點與遠(yuǎn)月點位置的模型建立與求解

嫦娥三號著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km、遠(yuǎn)月點100km的橢圓形軌道，將環(huán)月軌道(見圖1)與月球近似為圓形，建立坐標(biāo)系XOY，以X軸與Y軸的交點為環(huán)月軌道和月球的圓心點O。圖1中，點A為近月點，點O為月球圓心與環(huán)月軌道圓心，點B為橢圓的圓心，點C為遠(yuǎn)月點，點D為著陸點。

圖1　嫦娥三號環(huán)月軌道模擬圖

以月球圓心為環(huán)月軌道的圓心，建立數(shù)學(xué)推導(dǎo)模型，利用比例分析法列出環(huán)月圓心軌道方程：X2+Y2=(100+R)2,其中R=1 737.013 km，得到點C(0，-1 837.013)、點A(0,1 752.013)、點B(0,-42.5)。已知點D(-356,91)，得到tanα=4.665 8，tanβ=5.415 8，即α=77.90°，β=79.54°。嫦娥三號環(huán)月軌道方向是自西向東運動，以點E為參考點(見圖2)，其緯度是44.12°N，在月球的北半球。所以得出結(jié)論：近月點A的位置在著陸點D的北偏東12.1°；遠(yuǎn)月點B的位置在著陸點D的南偏東10.46°。

圖2　E點方位圖

1.2嫦娥三號在近月點、遠(yuǎn)月點相應(yīng)速度模型的建立與求解

已知嫦娥三號是沿橢圓軌道運行，利用機理分析找出反映月球?qū)︽隙鹑枡E圓運動萬有引力內(nèi)部機理的規(guī)律，并建立數(shù)學(xué)模型。為使問題簡化，可認(rèn)為嫦娥三號以一個恰當(dāng)?shù)乃俾世@月心做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力定律，月球提供其做圓周運動所需的向心力，由此可以得到嫦娥三號在近月點與遠(yuǎn)月點的萬有引力恒等式[2]。

近月點：

遠(yuǎn)月點：

式中，R=1 737.013km；G=6.67×10-17N·km2/kg2，M=7.347 7×1022kg；h1=15km；h2=100km；得到近月點和遠(yuǎn)月點的速度分別為v1=52.89km/h,v2=51.65km/h。

1.3嫦娥三號在近月點與遠(yuǎn)月點方向的模型建立與求解

根據(jù)萬有引力定律，月球?qū)︽隙鹑柼峁┫蛐牧?。根?jù)推動機對其提供向上的推力，以及其自身受到的重力，從而分析出嫦娥三號在近月點的受力情況如圖3所示。嫦娥三號在遠(yuǎn)月點受到的自身重力、牽引力、向心力以及自身的推力如圖4所示。結(jié)合受力分析以及軟著陸點的位置，可知嫦娥三號是逆時針運轉(zhuǎn)。

圖3　近月點的受力分析圖　　　圖4　遠(yuǎn)月點的受力分析圖

2嫦娥三號軟著陸運動軌跡模型

2.1嫦娥三號軟著陸運動軌跡模型的建立與求解

根據(jù)機械能守恒定律，物體的重力勢能和動能發(fā)生相互轉(zhuǎn)換，其總機械能保持不變。在軟著陸過程中，只有重力和發(fā)動機推力做功；因此，將兩者的合力F合近似看作物體僅受的外力，抽象利用機械能守恒定律建立函數(shù)關(guān)系[3]。

圖5　橢圓軌跡坐標(biāo)圖

著陸準(zhǔn)備軌道的近月點是15km，遠(yuǎn)月點是100km。近月點在月心坐標(biāo)系的位置和軟著陸軌道的形態(tài)共同決定了著陸點的位置。畫出橢圓軌跡坐標(biāo)圖，以近月點和遠(yuǎn)月點之間的直線為v軸，以其垂直平分線為s軸，建立直角坐標(biāo)系(見圖5)。

設(shè)橢圓方程為：

2.2主減速軌跡的模型建立與求解

主減速段的區(qū)間距離月面3～15 km。該階段主要是減速，實現(xiàn)嫦娥三號距離月面3 km時速度降到57 m/s。嫦娥三號在主減速過程中受到自身的重力和推力，根據(jù)機械能守恒定律，建立主減速軌跡的優(yōu)化模型如下：

圖6　主減速軌跡路徑坐標(biāo)變化圖

2.3快速調(diào)整的軌跡模型建立與求解

快速調(diào)整段主要是調(diào)整探測器的姿態(tài)，需要在距離月面2.4～3 km處將水平速度減為0，即使主減速發(fā)動機的推力豎直向下。由動能守恒定律可知：

由：

可得：

建立探測器姿態(tài)快速調(diào)整的軌跡模型(見圖7)。

圖7　姿態(tài)快速調(diào)整路徑坐標(biāo)變化圖

2.4緩速下降軌跡的模型建立與求解

緩速下降階段到開始4 m自由落體階段的區(qū)間中是距離月面4～30 m。該階段的主要任務(wù)是控制著陸器在距離月面4 m處的速度為0，從最后一個階段倒推，算回到粗避障階段。根據(jù)嫦娥三號在緩速下降中的受力分析，可知它受到重力、推力和阻力的作用，該階段的主要任務(wù)是控制著陸器在距離月面4 m處的速度為0，即實現(xiàn)在距離月面4 m處相對月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動機，使嫦娥三號自由落體到精確有落月點。在此期間，假設(shè)大推力主減速發(fā)動機的最大推動力為7 500 N。由F合=F推+G，可得a=1.93 m/s2。嫦娥三號推力向下做負(fù)功，即：

式中，v4是距離月面30 m處的速度；v5是距離月面4 m處的速度。

由于v5=0，得v4=10.01m/s；由：

圖8　緩速下降的軌跡坐標(biāo)化

圖9　精避障軌跡坐標(biāo)變化圖

圖10　粗避障軌跡坐標(biāo)變化圖

3著陸軌道和控制策略誤差分析和敏感性分析

3.1著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析

誤差分析是指在完成系統(tǒng)功能時，對所要求的目標(biāo)產(chǎn)生偏離的原因，后果及發(fā)生在系統(tǒng)的哪一個階段進(jìn)行分析，以消除或把誤差減小到最低限度。嫦娥三號從橢圓軌道到著陸點的行徑過程中，可以通過每個階段中s的取值范圍來確定誤差。

各階段s所取的中間值見表1，控制策略誤差見表2。

表1　各階段s所取的中間值

表2　各階段控制策略誤差

根據(jù)著陸軌道和控制策略做出相應(yīng)的誤差分析，控制策略模型使得嫦娥三號在快速調(diào)整階段誤差最大，精避障階段誤差最小。

3.2著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的敏感性分析

敏感性分析是指對確定嫦娥三號著陸軌道具有最大的潛在印象，并把其他所有不確定因素保持在基準(zhǔn)值的條件下，考察每項要素的不確定性對目標(biāo)產(chǎn)生影響的大小。

為了簡化問題，本文假設(shè)向心力不對嫦娥三號做功；但由于敏感性分析，須重新考慮月球?qū)︽隙鹑柕南蛐牧ψ龉Φ挠绊懀隙鹑柺艿较蛐牧κ菑倪M(jìn)入軟著陸的主減速過程時開始，直到緩速下降階段結(jié)束。根據(jù)機械能守恒定律，建立主減速軌跡的優(yōu)化模型如下[5]：

圖11　各階段運行軌跡圖

通過分析比較，嫦娥三號的不確定因素——向心力，使整個軟著陸過程中的粗避障階段對其最為敏感。

4結(jié)語

利用機械能守恒定律，針對嫦娥三號進(jìn)入環(huán)月軌道后6個階段的軌跡方程建立了函數(shù)關(guān)系。并應(yīng)用MATLAB軟件，運用誤差分析和敏感性分析對著陸軌道模型和控制策略的設(shè)計模型進(jìn)行擬合，證實該模型可以得到較穩(wěn)定的相適應(yīng)性。然而在建立模型的過程中，欠缺計算機對數(shù)據(jù)和圖像的運用及處理，導(dǎo)致存在一定的片面性，因此依舊需要就此展開討論，深入研究。

參考文獻(xiàn)

[1] 胡曉東，董辰輝.MATLAB從入門到精通[M].北京：人民郵電出版社，2012.

[2] 張洪華，梁俊.嫦娥三號自主避障軟著陸控制技術(shù)[J].中國科學(xué)，2014，44(6):559-568.

[3] 蔣瑞，韓兵. 嫦娥三號著陸控制研究與軟件仿真[J].研究與設(shè)計，2012,28(2)：17-20.

[4] 張德豐，MATLAB自動控制系統(tǒng)設(shè)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2010.

[5] 姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

責(zé)任編輯鄭練

Chang’e 3 Soft Landing Orbit Design and Control Strategy

YUE Li

(Shaanxi Institute of International Trade, Xi’an 712046, China)

Abstract：Study Chang’e 3 corresponding position, corresponding speed and the direction of the adjustment of all sorts of attitude control problem determination after entering orbit around the landing, let Chang’e 3 meet the state of each stage in the key strategy optimization, and achieve a soft landing process fuel consumption with the least control. First of all, utilize the internal mechanism of the elliptic motion regularity combining with the symmetry of the elliptical elementary model, we obtain the landing to track the location of the point and far point in recent months and speed. Secondly, by using the object’s gravitational potential energy and kinetic energy transformation, and the knowledge of the conservation of mechanical energy, the total mechanical energy remaining constant optimization model is established. The function and drawing methods are used to get the optimal landing trajectory is established. Finally, on the basis of error and sensitivity analysis of linear fitting model is established, use MATLAB software to obtain the Chang’e 3 error of the cases under the condition of relative and absolute position. Six stages of the Chang’e 3 soft landing stage of coarse obstacle avoidance of uncertainty factors are the most sensitive. It is concluded that the moon landing trajectory path coordinates in each key state change of position is presented, the algorithm is simple and clear with small error, and the results of test are appropriate to the precision and stability.

Key words:elementary model, the optimization model, sensitivity analysis, linear fitting model

收稿日期：2015-01-29

作者簡介：岳麗(1982-)，女，碩士，講師，主要從事計算機輔助幾何設(shè)計等方面的研究。

中圖分類號：V 476.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A