柴國鐘，葉鋼飛，張　征，吳化平

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點實驗室,浙江 杭州 310014)

反對稱鋪設(shè)的單曲率橢圓形殼結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)性能研究

柴國鐘，葉鋼飛，張征，吳化平

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點實驗室,浙江 杭州 310014)

摘要：通過垂直于圓柱殼方向的圓柱截取反對稱鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼結(jié)構(gòu)的方法，可得到一種新型的單曲率橢圓形雙穩(wěn)態(tài)殼結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)具有伸展和卷曲兩種穩(wěn)定狀態(tài).通過最小勢能原理對雙穩(wěn)態(tài)橢圓形殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論研究，得到其卷曲半徑理論解，并與有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對比來研究不同參數(shù)，包括截取半徑、圓柱殼的初始半徑、鋪設(shè)層數(shù)和鋪設(shè)角度等對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性的影響.在研究雙穩(wěn)態(tài)橢圓形殼結(jié)構(gòu)的過程中，通過對截取半徑、圓柱殼的初始半徑、鋪設(shè)層數(shù)和鋪設(shè)角度等參數(shù)的不同設(shè)計，可以得到其不同的雙穩(wěn)態(tài)形狀，可指導(dǎo)新型的雙穩(wěn)態(tài)橢圓形殼結(jié)構(gòu)的制備及應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：雙穩(wěn)態(tài)；反對稱；橢圓形殼結(jié)構(gòu)；有限元模擬

中圖分類號：TH123

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-4303(2015)01-0001-06

Research on the bistable behavior of the anti-symmetric

singly curved elliptical shell

CHAI Guozhong, YE Gangfei, ZHANG Zheng, WU Huaping

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of

Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:A new type of bistable elliptical shell can be obtained by cutting out the cylindrical shell by another vertical-direction cylindrical. The new bistable elliptical shell also has two stable states including the extended state and coiled state. The coiled-up radii of the second stable state can be achieved by the minimum potential method in the theoretical analysis. Compared with the results of the numerical simulation, the influencing factors including the cutting out radius, initial mid-plane transverse radius, number of plies and ply angle, are studied on the bistable behavior of the bistable elliptical shell. During research of the bistable elliptical shell, the different shapes of bistable elliptical shell can be achieved from the different design of the cutting out radius, initial mid-plane transverse radius, number of plies and ply angle, which can be used to guide the manufacture and application of the bistable elliptical shell.

Keywords:bistable; anti-symmetric; elliptical shell; numerical simulation

雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)作為一種新型可變形結(jié)構(gòu)，具有伸展和卷曲兩種穩(wěn)定狀態(tài)，在外載荷的驅(qū)動下可以在兩種狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并且在不需要外力維持下能夠保持在某一穩(wěn)定狀態(tài).這種碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、力學(xué)性能優(yōu)越和空間利用率高等優(yōu)點[1]，在現(xiàn)代飛機機翼結(jié)構(gòu)等場合得到越來越廣泛的應(yīng)用[2].然而，不同的制備方式和鋪設(shè)方式所得到的雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)也具有不同形狀結(jié)構(gòu)，并且具有不同雙穩(wěn)態(tài)特性.采用特殊正交鋪設(shè)和反對稱鋪設(shè)方式制備的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)能夠獲得外輪廓為規(guī)則圓柱狀的雙穩(wěn)態(tài)特性.許多研究者對雙穩(wěn)態(tài)特性的研究集中在非對稱正交鋪設(shè)層合板[3-9]，這種正交鋪設(shè)的層合板經(jīng)過高溫固化冷卻至室溫后，呈現(xiàn)兩種穩(wěn)定的圓柱殼體狀態(tài)，能夠通過集中力或智能材料驅(qū)動在兩種穩(wěn)態(tài)間轉(zhuǎn)換，并且兩種圓柱殼體的曲率方向相反.隨著雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼研究的發(fā)展，一些人開始研究不同形狀的層合圓柱殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性.Tawfik等[10]研究了矩形、梯形和三角形正交鋪設(shè)層合圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性，通過施加載荷來獲取不同幾何尺寸對其雙穩(wěn)態(tài)特性的影響.Dai等[11]在雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼的基礎(chǔ)上，通過不同圓柱殼的組合，實現(xiàn)了多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu).

在反對稱鋪設(shè)雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過圓柱進(jìn)行截取，可以得到一種不同于其他形狀的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)——反對稱鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu).通過研究，得到了影響反對稱鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)性能的幾何參數(shù)，包括截取半徑(r)、圓柱殼的初始半徑(R)、鋪設(shè)層數(shù)(n)和鋪設(shè)角度(α).根據(jù)經(jīng)典層合板理論和最小勢能原理，通過理論計算，可以獲取橢圓形殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)的曲率半徑，并與有限元模擬進(jìn)行對比，可以得到對橢圓形殼結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)性能影響較大的因素，進(jìn)而指導(dǎo)相關(guān)智能復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計、制備和生產(chǎn).

1理論分析

橢圓形殼結(jié)構(gòu)相比于其他形狀的結(jié)構(gòu)，如三角形、梯形等，結(jié)構(gòu)關(guān)于中心對稱，且形狀規(guī)則，具有更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域.Seffen[12]研究了正交鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu)，通過尋找其潛在的穩(wěn)定狀態(tài)以及材料參數(shù)和初始形狀的相關(guān)性，來闡述一種新型的可變形結(jié)構(gòu).Coburn等[13]則研究了雙曲率橢圓形殼結(jié)構(gòu)的特性，通過理論預(yù)測、有限元模擬和實驗驗證，得到一種具有三種穩(wěn)定狀態(tài)的雙曲率橢圓形殼結(jié)構(gòu).反對稱鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu)與正交鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu)有所區(qū)別的是其兩個穩(wěn)態(tài)的曲率方向一致.反對稱鋪設(shè)的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼結(jié)構(gòu)首先是由Daton-Lovett[14]發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行研究的，這種反對稱層合圓柱殼結(jié)構(gòu)能在伸展和卷曲時都保持穩(wěn)定.一些學(xué)者也開始對反對稱層合圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的理論研究，K. Iqbal和S. Pellegrio[15]基于經(jīng)典層合板理論率先提出雙穩(wěn)態(tài)模型，并得到其應(yīng)變能表達(dá)式.聶國華和顧欣[16-17]對反對稱層合圓柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性進(jìn)行了研究，建立了雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型.吳耀鵬等[18]建立了存在預(yù)應(yīng)力的各向同性材料圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)力學(xué)模型，通過對應(yīng)變能力表達(dá)式求極小值法，得到圓柱殼第二穩(wěn)態(tài)的曲率半徑.Zhang等[19-21]對規(guī)則和非規(guī)則鋪設(shè)的反對稱層合圓柱殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性進(jìn)行了理論、模擬和實驗研究，并對影響其雙穩(wěn)態(tài)特性的多個因素進(jìn)行了研究和討論.

在反對稱圓柱殼結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過圓柱截取得到反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)在其中一個方向上的曲率為零，則可將模型簡化為橢圓形單曲率殼結(jié)構(gòu)問題，如圖1所示，其中圖1(d)為橢圓形殼結(jié)構(gòu)內(nèi)部的鋪層方式.利用最小勢能原理，可以得到勢能極小值，即反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)能夠保持的穩(wěn)定狀態(tài)，通過勢能對曲率的求導(dǎo)，可得到橢圓形殼結(jié)構(gòu)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的曲率值，用來描述其第二穩(wěn)態(tài)的特性.其中，影響其初始形態(tài)以及第二穩(wěn)態(tài)特性的參數(shù)可以分為4個參數(shù)：r為圓柱截取半徑，R為圓柱殼的初始曲率半徑(即橢圓形殼結(jié)構(gòu)的初始曲率半徑)，n為鋪設(shè)層數(shù)，α為鋪設(shè)角.

圖1　反對稱鋪設(shè)的橢圓形殼結(jié)構(gòu)Fig.1　The anti-symmetric elliptical shell

復(fù)合材料層合板在外載荷的作用下，可以產(chǎn)生內(nèi)力和內(nèi)力矩，由經(jīng)典層合板理論可得到反對稱層合板的物理方程為

(1)

反對稱層合圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)性能是由于層合板的拉彎耦合的作用，因此，在橢圓形殼結(jié)構(gòu)的理論研究中，也應(yīng)考慮彎曲應(yīng)變能和拉伸應(yīng)變能.從能量角度分析，反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的兩種穩(wěn)態(tài)對應(yīng)結(jié)構(gòu)總勢能的兩個極小值，可通過極小勢能法來求解反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的兩個穩(wěn)態(tài).

單位面積的彎曲應(yīng)變能表達(dá)式[22]為

(2)

將式(1)代入式(2),可以得到總的彎曲應(yīng)變能式為

(3)

其中B′=-A-1B.

單位面積的拉伸應(yīng)變能則由下表達(dá)式[22]為

(4)

將式(1)代入式(4)得到總的拉伸應(yīng)變能式為

(5)

由式(3，5)可得總的應(yīng)變能表達(dá)式為

U=Ub+Us

(6)

由于橢圓形殼結(jié)構(gòu)到達(dá)第二穩(wěn)態(tài)時，其中一個曲率ky=0，則由極小勢能法原理可得第二穩(wěn)態(tài)曲率kx為

(7)

則橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑R′為

(8)

2有限元數(shù)值模擬

為驗證理論計算的結(jié)果，采用ABAQUS有限元分析軟件對反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)換進(jìn)行模擬，可以得到其第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑的有限元解和應(yīng)力分布情況[23].其中建模過程采用一般復(fù)合材料殼結(jié)構(gòu)的設(shè)置方法，材料為各向異性層合板，材料屬性如表1所示，并在CompositeLayup中設(shè)置鋪層數(shù)n和鋪設(shè)角度α及單層板厚度t.單元采用S4R殼單元類型，中心部分采用四邊形規(guī)則網(wǎng)格，周圍采用掃描自動生成網(wǎng)格，劃分為1 280個單元進(jìn)行分析，如圖2所示.其中橢圓形殼結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程包括兩個過程：首先為加載過程，在橢圓形殼結(jié)構(gòu)的四個端點A，B，C，D施加集中力，使其進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變；之后為卸載過程，撤去4個集中力，橢圓形殼結(jié)構(gòu)將會穩(wěn)定在第二穩(wěn)態(tài).由于層合殼結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程中涉及較大的幾何非線性，因此需要開啟非線性大變形選項，即Nlgeom設(shè)置為on，同時按照默認(rèn)參數(shù)設(shè)置Automaticstabilization以使分析結(jié)果更易收斂.

表1　橢圓形殼結(jié)構(gòu)單層板的材料屬性

圖2　反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.2　The finite element model of anti-symmetric elliptical shell

通過有限元模擬，在橢圓形四端施加集中載荷，得到反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變過程，如圖3所示，此橢圓形殼結(jié)構(gòu)鋪層角度為±45°.從圖3中可得：橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)的應(yīng)力分布為關(guān)于中心點反對稱分布，最大應(yīng)力集中在中心區(qū)域附近的兩個點，即形變受壓最大的區(qū)域，并且應(yīng)力大小從中心向外呈遞減分布.除此之外，橢圓形殼結(jié)構(gòu)的兩個穩(wěn)態(tài)的曲率方向一致，當(dāng)?shù)竭_(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時，其中一個曲率恒為零.通過模擬結(jié)果可得變形之后所有節(jié)點的坐標(biāo)值，A，B和O的三點組成的截面如圖4所示，采用三點坐標(biāo)求曲率半徑的方法計算可以得到第二穩(wěn)態(tài)的曲率半徑.到達(dá)第二穩(wěn)態(tài)時，A，B和O的坐標(biāo)已知，可得到AE，OE的長度，則曲率半徑為

(10)

圖3　反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)變Fig.3　The snap process of anti-symmetric elliptical shell

圖4　三點坐標(biāo)求曲率半徑法Fig.4　The acquisition of curvature radius by three points

3結(jié)果分析

3.1截取半徑r的影響結(jié)果分析

由于不同的截取半徑r對橢圓形殼體的雙穩(wěn)態(tài)性能有一定的影響，尤其橢圓形殼體的初始狀態(tài)的大小由主要由截取半徑r決定，因此針對不同的截取半徑r進(jìn)行模擬和理論計算，研究它對第二穩(wěn)態(tài)的影響.其中，保持初始半徑R為40 mm、鋪層數(shù)為5層、鋪設(shè)角為45°不變，而改變截取半徑從20～35 mm的四個試件進(jìn)行研究，模擬結(jié)果如表2所示.理論上，截取半徑r對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑Ra′并沒有影響；從模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著截取半徑r的增加，橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑Rf′與理論上得到的結(jié)果越來越接近，誤差越來越小.尤其當(dāng)截取半徑過小如20 mm時，橢圓形殼結(jié)構(gòu)沒有第二穩(wěn)態(tài)，這是由于其第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑過大，而截取得到的橢圓形殼結(jié)構(gòu)整體尺寸過小，無法使其保持在第二穩(wěn)態(tài).此外，隨著截取半徑r的不斷增加，橢圓形殼結(jié)構(gòu)的整體尺寸也隨之增大，因此所需要使其進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的驅(qū)動載荷也會隨著增加.

表2不同截取半徑r的R′理論和模擬結(jié)果對比

Table 2The comparison ofR′ with differentr

mm

3.2初始半徑R的影響結(jié)果分析

為了研究被截取的圓柱殼的初始半徑R對橢圓形殼結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)特性的影響，按照初始半徑R不同采取4個橢圓形殼結(jié)構(gòu)的試件，模擬結(jié)果如表3所示.從理論結(jié)果可以看到橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑成線性增加，兩個穩(wěn)態(tài)的曲率半徑的比值保持在一個常數(shù)，如圖5所示.但是橢圓形殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑的模擬結(jié)果比理論結(jié)果大，并且當(dāng)初始半徑增加到40 mm時，由于橢圓形殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑過大無法維持在第二穩(wěn)態(tài).相對于同一截取半徑，不同的初始半徑對整體尺寸影響并不明顯，當(dāng)其第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑變大時穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷則會相應(yīng)減小.隨著初始半徑的增加，截取半徑可選范圍也隨之增大，這為不同適用場合需求的橢圓形殼結(jié)構(gòu)提供了充分的選擇方案.

表3不同初始半徑r的R′理論和模擬結(jié)果對比

Table 3The comparison ofR′ with differentr

mm

圖5　初始半徑R對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的影響Fig.5　The influence of initial mid-plane transverse radius R on the elliptical shell

3.3鋪層數(shù)n的影響結(jié)果分析

對于不同鋪層數(shù)n，模擬了4個橢圓形殼結(jié)構(gòu)試件，鋪層數(shù)為4至7層，得到結(jié)果如表4所示.從圖6中可以發(fā)現(xiàn)：鋪層數(shù)對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性影響并不明顯，結(jié)果表明不管橢圓形殼結(jié)構(gòu)的鋪層數(shù)如何變化，第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑幾乎不變.隨著鋪層數(shù)的增加，橢圓形殼結(jié)構(gòu)的厚度也相應(yīng)增加，導(dǎo)致即使是同一形狀的橢圓形殼結(jié)構(gòu)所需的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變載荷也會隨著鋪層數(shù)的增加而增加，因此橢圓形殼結(jié)構(gòu)的內(nèi)應(yīng)力也會增加.

表4　不同鋪層數(shù)n的R′理論和模擬結(jié)果對比

圖6　鋪層數(shù)n對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的影響Fig.6　The influence of number of layups on the elliptical shell

3.4鋪設(shè)角度α的影響結(jié)果分析

由于復(fù)合材料中不同纖維鋪設(shè)角對整體結(jié)構(gòu)有較大的影響[24]，因此根據(jù)不同的鋪設(shè)角度α，選擇4個試件進(jìn)行研究，鋪設(shè)角分別為40°，45°，50°，55°，通過對比橢圓形殼結(jié)構(gòu)第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑的理論結(jié)果Ra′和模擬結(jié)果Rf′，得到結(jié)果如表5所示，可以發(fā)現(xiàn)理論結(jié)果與模擬結(jié)果的誤差保持在10%以內(nèi).橢圓形殼結(jié)構(gòu)的第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑隨著鋪設(shè)角的增加而減小，如圖7所示，即鋪設(shè)角越大，橢圓形殼結(jié)構(gòu)越彎曲，鋪設(shè)角小時，橢圓形殼結(jié)構(gòu)越平滑，鋪設(shè)角對其雙穩(wěn)態(tài)特性影響較明顯.因此，當(dāng)需要固定尺寸大小及初始半徑時，可以根據(jù)不同的鋪設(shè)角來改變其第二穩(wěn)態(tài)的形狀，從而滿足所需要求.

圖7　鋪設(shè)角α對橢圓形殼結(jié)構(gòu)的影響Fig.7　The influence of ply angles on the elliptical shell

4結(jié)論

理論計算和有限元模擬結(jié)果表明：截取半徑(r)是影響反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)的重要因素，能夠根據(jù)不同的截取半徑來改變其初始的尺寸大小，但對其轉(zhuǎn)變到第二穩(wěn)態(tài)的影響較??；初始半徑(R)和復(fù)合材料層鋪設(shè)角度(α)對反對稱橢圓形殼結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)性能影響較大，其第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑隨著初始半徑的增加而明顯增大，但隨著鋪設(shè)角的增大而顯著減?。讳佋O(shè)層數(shù)(n)只能影響穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變時的所需載荷；橢圓形殼結(jié)構(gòu)的兩個穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變所需的驅(qū)動載荷也會隨著其初始尺寸和到達(dá)第二穩(wěn)態(tài)的曲率半徑的變化而變化.根據(jù)以上結(jié)論，可以根據(jù)實際需求來對橢圓形圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理設(shè)計，從而指導(dǎo)相應(yīng)的生產(chǎn)及應(yīng)用.

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(責(zé)任編輯：劉巖)

作者簡介：柴國鐘(1957—)，男，浙江杭州人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為機械強度及計算機輔助工程、先進(jìn)模具技術(shù)，E-mail：Chaigz@zjut.edu.cn.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51205355，11372280)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20123317120003)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2013M540498)

收稿日期：2014-09-25