蒙 迅，黃 毅，吳生虎，謝志輝，史 凱

(1.吉首大學(xué)生物資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

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酒鬼酒股票收益率序列的多重分形特征

蒙 迅1，黃 毅2，吳生虎1，謝志輝1，史 凱1

(1.吉首大學(xué)生物資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

運(yùn)用多重分形消除趨勢波動(dòng)分析法，研究湘西酒鬼酒上市公司股票收益率的多重分形特征可知，股票收益率序列在不同尺度上均具有多重分形特征，驗(yàn)證了分形市場的假說.進(jìn)一步運(yùn)用相位隨機(jī)替代法與隨機(jī)重構(gòu)法，對(duì)不同時(shí)間尺度上多重分形特征的動(dòng)力原因進(jìn)行分析可知，在小時(shí)間尺度上長期持續(xù)性占主導(dǎo)作用，而大時(shí)間尺度上尖峰胖尾與長期持續(xù)性共同作用導(dǎo)致多重分形特征的產(chǎn)生.

股票；收益率序列；多重分形特征；時(shí)間尺度

金融市場是一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)，通常表現(xiàn)出復(fù)雜的行為和不規(guī)則的現(xiàn)象.如何較全面地分析金融時(shí)間序列，進(jìn)而了解其運(yùn)行規(guī)律和波動(dòng)特征，一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)問題.“有效市場假說”(EMH)是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論基石，該理論認(rèn)為金融資產(chǎn)價(jià)格的變化相互獨(dú)立，遵循隨機(jī)游走模型.金融資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)不具有長期持續(xù)性，從而價(jià)格波動(dòng)不具有可預(yù)測性.

然而，近幾十年來，隨著非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)與非線性隨機(jī)微分方程的深入研究，諸多學(xué)者發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)在一定時(shí)間尺度內(nèi)具有記憶性，即價(jià)格波動(dòng)存在違背EMH的長期持續(xù)性特征[1].目前，經(jīng)濟(jì)物理學(xué)的研究普遍證實(shí)，在面對(duì)復(fù)雜的金融系統(tǒng)時(shí)，理想化、線性化的EMH無法正確且合理地解釋許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.分形理論由Mandelbrot所創(chuàng)立，近年來發(fā)展迅速，被作為有效工具廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜系統(tǒng)的研究.在金融系統(tǒng)方面，分形解釋了傳統(tǒng)的EMH所不能解釋的現(xiàn)象，說明金融市場具有分形特征，為此產(chǎn)生了分形市場假說(FMH)，該假法更符合實(shí)際.FMH認(rèn)為金融資產(chǎn)的價(jià)格是以分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的方式進(jìn)行變動(dòng)，具有尖峰胖尾和長期記憶性[2-6].Edgar E Peters[7]運(yùn)用重標(biāo)極差R/S分析方法發(fā)現(xiàn)一些金融市場具有長程相關(guān)性的依據(jù).Cajueiro D O等[8]運(yùn)用R/S分析方法研究了新興市場的長程自相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)隨時(shí)間推移，市場變得越來越有效.Alvarez-Ramirez J等[9]通過單一分形來刻畫金融市場的復(fù)雜性，運(yùn)用消除趨勢波動(dòng)分析法(DFA)對(duì)美國股市不同時(shí)間段的Hurst指數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)Hurst指數(shù)具有逐漸降低的發(fā)展趨勢.但是，不同波動(dòng)的概率不同，如果僅僅用單一分形來刻畫金融市場的波動(dòng)特性，就會(huì)忽略掉市場波動(dòng)的許多重要信息.2002年，在DFA[10]的基礎(chǔ)上，Kantelhardt Jan W等[11]提出多重分形消除趨勢波動(dòng)分析法(MFDFA).由于該方法不僅能夠發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)序列中的較長時(shí)間尺度上的相關(guān)性，而且能夠?qū)⑹袌龅牟▌?dòng)劃分為不同特征的點(diǎn)集，更加細(xì)致地刻畫股市波動(dòng)的動(dòng)力特征，因此廣泛應(yīng)用于金融序列的研究[12-17].

酒鬼酒作為湖南省湘西自治州企業(yè)的代表，對(duì)整個(gè)湘西的經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展有重要的影響.作為上市公司，其股票可以反映公司的運(yùn)營情況.筆者以酒鬼酒股票的收盤價(jià)格為研究對(duì)象，運(yùn)用MFDFA對(duì)其收益率序列進(jìn)行分析，證明其股票價(jià)格收益序列具有多重分形特征，驗(yàn)證了FMH的存在，并分析了不同尺度下多重分形的來源.

1 多重分形消除趨勢波動(dòng)分析法

2002年，Kantelhardt Jan W等對(duì)DFA方法進(jìn)行改進(jìn)，得到多重分形消除趨勢波動(dòng)分析(MF-DFA)方法.該方法不僅能夠避免對(duì)相關(guān)性的誤判，而且能發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列中的長程相關(guān)性，是檢驗(yàn)非平穩(wěn)時(shí)間序列是否具有多重分形特征的有效方法.

假設(shè)時(shí)間序列為p(i)(i=1，2，3，…，N)，N表示時(shí)間序列的長度，MF-DFA計(jì)算方法如下：

(5)確定波動(dòng)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)，對(duì)每一個(gè)確定的q值，存在冪律關(guān)系Fq(s)∝sh(q).

對(duì)每一個(gè)s，都可求出對(duì)應(yīng)的Fq(s)，作出ln Fq(s)與ln s 的函數(shù)關(guān)系圖，其斜率即為q階Hurst指數(shù)h(q).當(dāng)h(q)隨著q的變化始終為常數(shù)時(shí)，即時(shí)間序列每一段消除趨勢后的q階波動(dòng)相同，序列是單一分形；當(dāng)h(q)為q的函數(shù)時(shí)，說明時(shí)間序列的局部結(jié)構(gòu)并非一直均勻，序列為多重分形.當(dāng)h(q)>0.5時(shí)，時(shí)間序列小的波動(dòng)與大的波動(dòng)表現(xiàn)出長期持續(xù)性，后一段時(shí)間序列的增加(減小)很大程度上依賴于前一段時(shí)間序列的增加(減小)，前后時(shí)段的漲落具有同向性；當(dāng)h(q)<0.5時(shí)，時(shí)間序列小的波動(dòng)與大的波動(dòng)表現(xiàn)出反持續(xù)性，后一段時(shí)間序列的增加(減小)很大程度上依賴于前一段時(shí)間序列的減小(增加)，前后時(shí)段漲落具有反向性；當(dāng)h(q)=0.5時(shí)，時(shí)間序列的波動(dòng)屬于隨機(jī)游走，沒有規(guī)律.其中q<0，h(q)描述的是時(shí)間序列小的波動(dòng)情況，q>0，h(q)描述的是時(shí)間序列大的波動(dòng)情況.h(2)是Hurst指數(shù)，所以h(q)也叫廣義的Hurst指數(shù).多重分形強(qiáng)度能有效地衡量時(shí)間序列的復(fù)雜程度，顯而易見，較強(qiáng)的多重分形特征意味著h(q)的變化范圍較大，因此多重分形強(qiáng)度可以通過Δh來衡量，Δh=q(min)-q(max).

2 酒鬼酒股票價(jià)格的統(tǒng)計(jì)分析

為了研究2008年金融危機(jī)后酒鬼酒股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律，選取2010年1月4日至2013年12月30日的日收盤價(jià)格(數(shù)據(jù)長度952個(gè))作為研究數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)源于國泰安數(shù)據(jù)庫(http:∥www.gtarsc.com/).

用p(t)表示第t天的收盤價(jià)，每天的對(duì)數(shù)收益率為r(t)=lnpt+1-lnpt，收益率序列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為951個(gè).圖1，2給出了酒鬼酒股票的日收盤價(jià)格與日對(duì)數(shù)收益率，表1給出了日對(duì)數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)量.從表1可看出，酒鬼酒股票日對(duì)數(shù)收益率序列的偏度小于0，呈左偏狀態(tài)，即收益率處于負(fù)值的概率比處于正值的概率大.股票日對(duì)數(shù)收益率序列的峰度4.56，比正態(tài)分布的峰度3大，而標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差1，說明日收益序列是非正態(tài)分布，具有尖峰胖尾特征.在95%的置信區(qū)間內(nèi)，JB統(tǒng)計(jì)量為96.20，大于臨界值10.15，酒鬼酒日對(duì)數(shù)收益率序列偏離正態(tài)分布.

圖1 酒鬼酒股票日收盤價(jià)格

圖2 酒鬼酒股票日對(duì)數(shù)收益率

樣本數(shù)均值最大值最小值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度JB統(tǒng)計(jì)量JB臨界值951-1.57′10-40.096-0.140.03-0.054.5696.2010.15

3 多重分形的結(jié)果與討論

圖3 酒鬼酒股票收益率ln Fq(s)～ln s的關(guān)系

運(yùn)用MFDFA分析法對(duì)酒鬼酒股票的日對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行實(shí)證分析.在不同的分割長度s下，對(duì)每個(gè)固定的q值，用最小二乘法擬合，得到雙對(duì)數(shù)ln Fq(s)～ln s的關(guān)系圖.圖3給出了q=-10，-6，-2，2，6，10共5條擬合線.由圖3可知，從整體上來看，它們均呈現(xiàn)線性趨勢；同時(shí)發(fā)現(xiàn)在ln s≈1.79(s=6)處存在突變點(diǎn)，即大約在1周的尺度上出現(xiàn)狀態(tài)躍遷的臨界點(diǎn).

表2給出了不同時(shí)間尺度下(小時(shí)間尺度s<6，大時(shí)間尺度s>6)的標(biāo)度指數(shù).從表2可知，酒鬼酒股票日對(duì)數(shù)收益率序列，無論是在小時(shí)間尺度上還是大時(shí)間尺度上，其廣義Hurst指數(shù)h(q)隨q的變化而變化，表明酒鬼酒日對(duì)數(shù)收益率序列均具有多重分形特征，驗(yàn)證了FMH的存在.當(dāng)s<6時(shí)，h(2)=0.74；當(dāng)s>6時(shí)，h(2)=0.54.h(2)均大于0.5，表現(xiàn)出長期持續(xù)性特征，但在大時(shí)間尺度上其長期持續(xù)性要弱于小時(shí)間尺度.同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，在小時(shí)間尺度上(s<6)，所有的廣義Hurst指數(shù)均大于0.這表明日對(duì)數(shù)收益率序列無論是大的波動(dòng)還是小的波動(dòng)，在1周以內(nèi)

表2 酒鬼酒股票收益率序列的廣義Hurst指數(shù)

的時(shí)間尺度上，均表現(xiàn)出長期的持續(xù)性，即下一階段股票的漲落很大程度上依賴于前一段時(shí)間的漲落.而在大時(shí)間尺度上(s>6)，當(dāng)q≥4時(shí)，h(q)<0.5，具有反持續(xù)性.這表明在大于1周的時(shí)間尺度上，前一時(shí)段價(jià)格大幅上漲(下跌)，很可能在一定程度上決定了下一刻價(jià)格也許大幅下跌(上漲).長期持續(xù)性的動(dòng)力特征是典型的正反饋機(jī)制的系統(tǒng)，它本質(zhì)上是不穩(wěn)定的；而反的持續(xù)性動(dòng)力機(jī)制，意味著穩(wěn)定的或者是負(fù)反饋機(jī)制[18]：因此，各種波動(dòng)在小時(shí)間尺度上均是不穩(wěn)定的.而在大時(shí)間尺度上，對(duì)于酒鬼酒股票市場，大的波動(dòng)相對(duì)于與小的波動(dòng)而言更為穩(wěn)定.

表2給出了不同時(shí)間尺度下酒鬼酒股票日對(duì)數(shù)收益率的廣義Hurst指數(shù)，而時(shí)間序列的多重分形強(qiáng)度依賴于Hurst指數(shù)的變化范圍，即Δh的大小，Δh越大，多重分形強(qiáng)度越大，反之則越小[19].從表2可知，小時(shí)間尺度上(s<6)的Δh=3.9，遠(yuǎn)超過大時(shí)間尺度上(s>6)的Δh=0.34.這表明在不同的時(shí)間尺度上，酒鬼酒股票的多重分形強(qiáng)度不同，小時(shí)間尺度的多重分形強(qiáng)度要強(qiáng).換而言之，在現(xiàn)實(shí)股票交易中，對(duì)于短期(1周以內(nèi))的交易者，他所面對(duì)的交易環(huán)境更為復(fù)雜，股票價(jià)格波動(dòng)的影響因素更多，不僅依賴于國家政策、公司的經(jīng)營情況以及市場的供應(yīng)需求等因素，還受瞬息變化的市場影響，股票波動(dòng)也更為劇烈.而對(duì)

于長期(1周以上)的交易者，他所面對(duì)的交易環(huán)境要簡單一些，股票價(jià)格波動(dòng)更多的是依賴于國家政策、公司的經(jīng)營情況以及市場的供應(yīng)需求，股票價(jià)格波動(dòng)相對(duì)較小.

時(shí)間序列中的多重分形行為存在2種原因：一是時(shí)間序列的小幅波動(dòng)及大幅波動(dòng)在不同的時(shí)間尺度中的持續(xù)影響，即長期持續(xù)性；二是時(shí)間序列極端值的尖峰胖尾概率分布特性.可以根據(jù)以下2種方法分別鑒定這2種動(dòng)力機(jī)制的來源：(1)通過相位隨機(jī)替換方法構(gòu)造替換序列，由于該序列完全消除了原始序列中的非線性特征，僅保留原始序列中的線性成分，因此替換序列能有效檢驗(yàn)極值尖峰胖尾分布對(duì)多重分形的貢獻(xiàn)大小，即如果替換序列的多重分形強(qiáng)度相比原始序列降低了，就說明尖峰胖尾分布對(duì)多重分形有影響，是產(chǎn)生多重分形的原因之一，否則尖峰胖尾對(duì)多重分形沒有影響.(2)通過隨機(jī)重構(gòu)方法構(gòu)造隨機(jī)序列，由于該序列去除了原始序列內(nèi)在的時(shí)間相關(guān)性，僅保留原始序列的非線性成分，因此隨機(jī)序列能有效檢驗(yàn)長期持續(xù)性對(duì)多重分形特征的作用大小，即如果隨機(jī)序列的多重分形強(qiáng)度相比原始序列降低了，就說明長期持續(xù)性對(duì)多重分形有影響，是產(chǎn)生多重分形的原因之一，否則長期持續(xù)性對(duì)多重分形沒有影響.

表2同樣給出了不同時(shí)間尺度下替換序列和隨機(jī)序列的h(q)值.圖4給出了3組序列的q～h(q)關(guān)系.Δh反應(yīng)了多重分形特征的強(qiáng)度.在小時(shí)間尺度上(s<6)，替換序列的Δh與原始序列的相近，而隨機(jī)序列卻相差很大，這說明在較小的時(shí)間尺度上，多重分形特征主要源自長期持續(xù)性作用，而尖峰胖尾分布作用很?。辉诖髸r(shí)間尺度上(s>6)，替換序列與隨機(jī)序列的Δh均小于原始序列的，這說明在大時(shí)間尺度上，長期持續(xù)性與尖峰胖尾對(duì)日對(duì)數(shù)收益率序列的多重分形特征均有影響.

圖4 q～h(q)

4 結(jié)語

首先通過對(duì)收益率序列基本統(tǒng)計(jì)量的分析，發(fā)現(xiàn)它是偏離正態(tài)分布的尖峰胖尾分布.隨后運(yùn)用MFDFA分析方法，研究日對(duì)數(shù)收益率序列的多重分形性，驗(yàn)證了分形市場的存在性.研究雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下波動(dòng)函數(shù)發(fā)現(xiàn)，日對(duì)數(shù)收益率序列存在突變點(diǎn)(s=6).進(jìn)而分析在不同時(shí)間尺度下日對(duì)數(shù)收益率的多重分形特征，發(fā)現(xiàn)廣義Hurst指數(shù)h(q)依賴于q的變化，這意味著酒鬼酒日對(duì)數(shù)收益率序列存在多重分形特征.在較小的時(shí)間尺度上，大的波動(dòng)與小的波動(dòng)均表現(xiàn)出長期持續(xù)性；而在較長的時(shí)間尺度上，小的波動(dòng)表現(xiàn)長期持續(xù)性，大的波動(dòng)卻表現(xiàn)出反持續(xù)性.比較不同時(shí)間尺度上多重分形的來源可知，小時(shí)間尺度上長期持續(xù)性是多重分形特征的主要來源，隨時(shí)間尺度的增加，收益率序列的多重分形特征受長期持續(xù)性與尖峰胖尾共同作用.

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(責(zé)任編輯 向陽潔)

Multifractal Analysis of Stock Return Series of Jiugui Liquor Co. Ltd

MENG Xun1，HUANG Yi2，WU Shenghu1，XIE Zhihui1，SHI Kai1

(1.College of Biology and Environmental Science，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China;2.College of Mathematics and Statistics，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China)

Multifractal detrended fluctuation analysis has been used to research the multifractal characteristics of stock returns of Jiugui Liquor Co. Ltd in Xiangxi Autonomous Prefecture.The evidence shows that the return series are multifractal both for time scales smaller than a week and for time scales larger than a week，it also verifies the fractal market hypothesis about stock.Furthermore，the sources of multi-fractal characteristic are analyzed through shuffling procedure and phase randomization procedure at different scales.For time scales smaller than a week，the main contribution of multifractality is long-range correlations.For time scales larger than a month，both fat-tail distribution and long-range correlations play important roles in the contribution of multifractality.

stock;return series;multifractal characteristic;time scale

1007-2985(2015)04-0088-05

史 凱(1980—)，男，四川西昌人，吉首大學(xué)生物資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事環(huán)境系統(tǒng)的非線性和復(fù)雜性研究.

F224；F830.91

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2015.04.021