孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 菏澤274000)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是工科院校的重要基礎(chǔ)課之一，但對(duì)該課程的學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生感到很困惑。主要原因是:高等數(shù)學(xué)中的概念、定理、推導(dǎo)比較抽象，加上教師往往通過(guò)傳統(tǒng)的教學(xué)手段教學(xué)，很難生動(dòng)、形象的把高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)一一解開(kāi)，但利用Matlab軟件，可方便的進(jìn)行直觀演示，使學(xué)生一目了然，解開(kāi)學(xué)生的疑惑。Matlab軟件是math works公司推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算的可視化軟件，采用了面向?qū)ο蟮募夹g(shù)和矩陣的計(jì)算方法。將Matlab軟件引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，可使抽象的數(shù)學(xué)可視化，達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高授課效率的目的。

1 重要極限公式的可視化

Matlab提供了很多有關(guān)動(dòng)畫制作的函數(shù)，借助這些函數(shù)可模擬復(fù)雜函數(shù)的極限等特征。對(duì)于實(shí)時(shí)動(dòng)畫，可利用圖形繪制中的擦除屬性“erasemode”，從而保持圖形窗口中大多數(shù)的像素顏色不變，而只更新部分像素顏色，形成運(yùn)動(dòng)的圖形［1］。

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圖1 截取動(dòng)畫的一幀

圖2 函數(shù)最終趨于e

2 函數(shù)z=xy的圖形性態(tài)的可視化

空間曲面是解析幾何中的難點(diǎn)部分，如果用手工在黑板上畫圖，既浪費(fèi)時(shí)間又不精確，學(xué)生比較難理解。通過(guò)Matlab作圖，可很好的克服這些缺點(diǎn)，不但繪制圖形變的簡(jiǎn)單，還可以旋轉(zhuǎn)圖形，從不同角度觀察圖形，更深入了解函數(shù)的性態(tài)［2］。圖3為馬鞍面z=xy。在圖3的圖形窗口中選擇view→camera toolbar，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可得圖4，這樣，馬鞍面的圖形就一目了然了。通過(guò)圖形可得出，函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0，0)處沒(méi)有極值，因?yàn)橐缊D形，在(0，0)的鄰域內(nèi)，既有大于零的點(diǎn)，又有小于零的點(diǎn)，不符合極值的定義。

輸入 x=-11:0.1:11;y=-11:0.1:11;

［x，y］=meshgrid(x，y);z=x.*y;mesh(x，y，z);

rotate3d on;xlabel(＇x 軸＇);ylabel(＇y 軸＇);title(＇z=xy＇)

圖3 馬鞍面z=xy

圖4 換角度觀察的馬鞍面z=xy

3 函數(shù)極值判定的可視化

求函數(shù)極值的方法主要有兩種:(1)極值存在的第一充分條件法;(2)極值存在的第二充分條件法［3］。

例如:求函數(shù)y=x3-3x2-9x+17的極值。下面用兩種方法解決該問(wèn)題。

(1)第一種方法，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'=3x2-6x-9;作出函數(shù)y及導(dǎo)數(shù)y'的圖形，求出駐點(diǎn)后，直接觀察圖形即可得出駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而可求得極值。

設(shè)計(jì)方案的質(zhì)量受參與者個(gè)人能力和隨機(jī)因素的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后對(duì)兩組參與者的方案平均得分進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖5所示。實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組參與者的個(gè)人平均得分可以作為兩組參與者能力水平的一個(gè)對(duì)比。如圖5所示，兩組人員的能力基本持平，如果以平均得分作為衡量能力的一個(gè)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)組的平均能力得分是6.04，對(duì)照組是6.05，基本一樣。因此，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示的差異受參與者個(gè)人能力的影響并不大。

輸入 syms x

solve(df)

輸出df=3*x^2-6*x-9 ans=3 -1

輸入 x=-4.5:0.1:4.5;y1=x.^3-3*x.^2-9*x+17;y2=3*x.^2-6*x-9;

plot(x，y1，＇b-.＇，x，y2，＇r--＇)grid on

legend(＇y1=x^3-3x^2-9x+17＇，＇y2=3x^2-6x-9＇)

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圖5 函數(shù)y1及其一階導(dǎo)數(shù)y2的圖形

從程序及圖形可得，函數(shù)的駐點(diǎn)為x1=3，x2=-1。在點(diǎn)x1=3的左側(cè)，f'(x)＜0;在右側(cè)f'(x)＞0，故x1=3為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為-10。在點(diǎn)x2=-1的左側(cè)，f'(x)＞0;在右側(cè)f'(x)＜0，故x2=-1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為22。

(2)第二種方法，求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，直接從圖形中判斷二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號(hào)，得出駐點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。

輸入 syms x

y=x.^3-3*x.^2-9*x+17;df=diff(diff(y，x)，x)

輸出 df=6*x-6

輸入 x=-4.5:0.1:4.5;y2=3*x.^2-6*x-9;y3=6*x-6;plot(x，y2，＇b--＇，x，y3，＇r:＇)

grid on legend(＇y2=3x^2-6x-9＇，＇y3=6*x-6＇)

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圖6 函數(shù)y的一階導(dǎo)數(shù)y2及二階導(dǎo)數(shù)y3的圖形

從圖形可得出，在點(diǎn)x1=3處，f″(3)＞0，故x1=3為函數(shù)的極小值點(diǎn);

在點(diǎn)x2=-1處，f″(-1)＜0，故x2=-1為函數(shù)的極大值點(diǎn)。

4 利用matlab對(duì)數(shù)據(jù)的可視化功能，深刻揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所描述的客觀現(xiàn)象［4］

學(xué)生在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》級(jí)數(shù)一章的時(shí)候，往往遇到很多知識(shí)沒(méi)有具體證明，不了解數(shù)學(xué)知識(shí)所反映的具體客觀現(xiàn)象。如學(xué)習(xí)傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，為什么能將一個(gè)周期函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)與這個(gè)周期函數(shù)有什么關(guān)系等，這些問(wèn)題困擾著很多同學(xué)。利用Matlab對(duì)數(shù)據(jù)的可視化功能，可很容易的解決這些問(wèn)題。

數(shù)學(xué)上最簡(jiǎn)單的表示周期函數(shù)的函數(shù)是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，雖然矩形波、鋸齒波均不是三角周期函數(shù)，但這些非三角周期函數(shù)也可以用三角級(jí)數(shù)的部分和(三角多項(xiàng)式)表示出來(lái)，不用過(guò)多的理論證明，只需將波形與三角級(jí)數(shù)的擬合圖演示出來(lái)，就可得出結(jié)論［5］。

輸入

t=0:0.01:pi;y0=t/2;y1=sin(t)-sin(2*t)/2;

y2=y1+sin(3*t)/3-sin(4*t)/4;

y3=y2+sin(5*t)/5-sin(6*t)/6;

plot(t，y0，t，y1，t，y2，t，y3)

gtext(＇y0＇);gtext(＇y1＇);gtext(＇y2＇);gtext(＇y3＇)

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圖7 鋸齒波與三角多項(xiàng)式的擬合圖

通過(guò)上面的擬合圖可得出，隨著三角多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的增加，三角多項(xiàng)式的曲線越來(lái)越接近鋸齒波的圖形，從而得出非三角周期函數(shù)也可以用三角多項(xiàng)式表示出來(lái)的結(jié)論，從而化解了學(xué)生對(duì)用三角級(jí)數(shù)表示周期函數(shù)理解上的難點(diǎn)。

5 結(jié)語(yǔ)

借助于Matlab強(qiáng)大的計(jì)算功能和繪圖功能，可對(duì)任意函數(shù)的特性作出初步的判斷和分析，以方便進(jìn)一步解決實(shí)際的問(wèn)題。將大學(xué)數(shù)學(xué)與Matlab結(jié)合起來(lái)，利用現(xiàn)代科技手段，動(dòng)態(tài)的演示大學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)的理論、數(shù)學(xué)的概念不再抽象難懂，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，也為學(xué)生以后應(yīng)用Matlab軟件打下了良好的基礎(chǔ)。應(yīng)用Matlab可起到事半功倍的效果，從而可進(jìn)一步提高教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)高等數(shù)學(xué)課程的發(fā)展［6］。

［1］ 張宏民，王魯陽(yáng)，張劍.Matlab在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高師理科刊，2007，27(3):87-89.

［2］ 于堅(jiān).Matlab軟件在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用［J］.廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(2):16-20.

［3］ 姜啟元，邢文訓(xùn)，謝金星，等.大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.

［4］ 張小紅，張建勛.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

［5］ 朱艷科.MATLAB在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.廣西科學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(1):83-85.

［6］ 張國(guó)輝.MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探索［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2009，1(3):105-107.