樊新海，梁瑞剛

(裝甲兵工程學院 機械工程系，北京　100072)

基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設計

樊新海，梁瑞剛

(裝甲兵工程學院 機械工程系，北京100072)

摘要：針對數(shù)字濾波器設計問題，利用Morlet小波在時域、頻域都具有良好集中性的特點，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過多個具有不同中心頻率的Morlet小波時域疊加，在頻域構建出平頂濾波器的方法；結果表明：基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設計方法易于理解和編程實現(xiàn)，通過合理選擇設計參數(shù)可快速設計出所需的高性能濾波器。

關鍵詞：信號處理；數(shù)字濾波；濾波器設計；組合Morlet小波

本文引用格式：樊新海，梁瑞剛.基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設計[J].四川兵工學報，2015(12):122-125.

Citation format:FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang.Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet[J].Journal of Sichuan Ordnance,2015(12):122-125.

Design of Digital Filter Based on Combined Morlet Wavelet

FAN Xin-hai, LIANG Rui-gang

(Department of Mechanical Engineering，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China)

Abstract:Aiming at the problem of digital filter design, this paper studied on a method of constructing flat-roofed filter by multi-Morlet wavelet with different center frequency time-domain superposition, using Morlet wavelet with well centrality in both time domain and frequency domain, along with linearity, scaling, frequency-shifting of Fourier transform property. The result indicates that the design of digital filter based on combined Morlet wavelet is comprehensible and easy to program and the requisite high-powered filter can design rapidly by selecting reasonable design parameter.

Key words:signal processing; digital filter; filter design; combined Morlet wavelet

在工程測試和信號處理中，濾波器是常用的儀器之一，主要用于信號選頻，將感興趣的頻率成分提取出來，而將不感興趣的頻率成分衰減掉。信號在復雜系統(tǒng)中傳輸時，每通過其中的一個環(huán)節(jié)，都會受到該環(huán)節(jié)傳輸特性的影響，使信號有所變化(衰減、放大、延遲等)，這就形成了更為廣泛的濾波和濾波器的概念。

按照信號處理的性質，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的實現(xiàn)不但比模擬濾波器容易的多，而且還能獲得較理想的濾波器性能，在數(shù)字信號處理中應用非常廣泛。在經典數(shù)字濾波器設計中包括無限沖激響應濾波器(IIR，Infinite Impulse Response)設計和有限沖激響應濾波器(FIR，F(xiàn)inite Impulse Response)設計兩大類[1]。FIR濾波器可實現(xiàn)線性相位，為獲得較好的性能，常需要較高的階次，若對信號處理的實時性沒有特殊要求，F(xiàn)IR濾波器是較好的選擇。

經典濾波器的設計原理和方法都很成熟。筆者利用Morlet小波在時域、頻域都具有良好集中性的特點，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，研究了一種通過多個具有不同中心頻率的Morlet小波時域疊加，在頻域構建出平頂濾波器的設計方法。利用Delphi編寫了應用程序，并給出了設計實例。

1Morlet小波

Morlet小波是小波分析中非常具有代表性的一種經典小波，其定義為

(1)

它是一具有高斯包絡的單頻率復正弦函數(shù)，實部為

(2)

虛部為

(3)

傅里葉變換為

(4)

理論上，Morlet小波不是緊支撐的，一般取Ω0=5或更大，t∈(-4，4)或更寬，可使ψ(t)和Ψ(Ω)在時域、頻域都具有較好的集中[2-4]。Morlet小波的實部、虛部、包絡、頻譜分別如圖1~圖4所示。

圖1　Morlet小波實部波形

圖2　Morlet小波虛部波形

圖3　Morlet小波的包絡

圖4　Morlet小波的頻譜(Ω0=5)

從圖4可見，Morlet小波的頻譜具有帶通特性，中心頻率的位置由Ω0確定[5]。但總體來看，若使用單個Morlet小波作為濾波器使用時，性能不太理想，主要缺點是過渡帶較寬，通帶不夠平直。為此，可以用多個Morlet小波組合來提升濾波器的性能[6]。

2組合Morlet小波

將式(1)改寫為

(5)

假定組合Morlet小波是由M個形如式(5)的單個Morlet小波疊加而成，首個Morlet小波的中心頻率為fL，依次按間隔Δf遞增，最后一個Morlet小波的中心頻率即為fH=fL+MΔf。這樣，組合Morlet小波中各單個Morlet小波的中心頻率分別為

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由此構造出的組合Morlet小波為

(6)

式(6)中：C為使組合小波濾波器幅頻特性通帶取值為1的修正系數(shù)。

由式(6)可見，組合Morlet小波ψc(t)時域上是由M個高斯信號復調制后疊加而成，頻域上是由M個中心頻率為fm的ψa(t)頻譜疊加而成。

3數(shù)字濾波器設計

通過合理選擇式(6)中的a、fL、M和Δf等參數(shù)，就可以設計出具有不同功能的濾波器。其中，fL為通帶起始頻率，fH為通帶截止頻率，a和Δf決定了過渡帶的斜率和通帶紋波，M和Δf決定了濾波器的帶寬B=fH-fL=MΔf。

上述參數(shù)中，a和Δf的選取至關重要，應該兼顧以下3方面：濾波器過渡帶盡可能窄；通帶盡可能平；組合小波的個數(shù)盡可能少。為了簡化設計過程，經過對比分析，選定一組比較理想的參數(shù)取值：a=0.2，Δf=1，t∈(-4a，4a)，C=fs。這樣，只要給定起始頻率fL，組合小波的個數(shù)M，采樣頻率fs，就可以設計出具有線性相位的高性能濾波器，且濾波器是解析的。下面分別舉例說明，例中所使用的采樣頻率均為fs=256 Hz。

3.1　單通帶濾波器設計

經典濾波器中的低通濾波器、高通濾波器和帶通濾波器在此都可按單通帶濾波器設計。

對于低通濾波器，設定起始頻率fL=0 Hz，再根據(jù)截止頻率確定出M值即可。例如，當M=21時，濾波器的通帶為0~20 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖5、圖6所示。

圖5　低通濾波器幅頻特性曲線

圖6　低通濾波器相頻特性曲線

對于高通濾波器，設定起始頻率fL，截止頻率直接取fH=fs/2，確定出M值即可。例如，當fL=60 Hz，M=69時，高通濾波器的通帶為60~128 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖7、圖8所示。

圖7　高通濾波器幅頻特性曲線

圖8　低通濾波器相頻特性曲線

對于帶通濾波器，設定起始頻率fL，再根據(jù)截止頻率確定出M值即可。例如，當fL=20 Hz，M=41時，帶通濾波器的通帶為20~60 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖9、圖10所示。

圖9　帶通濾波器的幅頻特性曲線

圖10　帶通濾波器的相頻特性曲線

3.2　多通帶濾波器設計

該方法可方便地設計多通帶濾波器[7]。例如，一個兩通帶濾波器的設計參數(shù)為fL1=20 Hz，M1=11，fL2=60 Hz，M2=21，則濾波器的通帶為20~30 Hz和60~80 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖11、圖12所示。

圖11　兩通帶濾波器的幅頻特性曲線

圖12　兩通帶濾波器的相頻特性曲線

帶阻濾波器可以看作是一個兩通帶濾波器，低頻段按低通濾波器設計，高頻段按高通濾波器設計即可。比如低通濾波器的設計參數(shù)為fL1=0 Hz，M1=21，高通濾波器的設計參數(shù)為fL2=60 Hz，M2=69時，此時帶阻濾波器的阻帶為20~60 Hz，組合小波濾波器的幅頻、相頻特性曲線分別如圖13、圖14所示。

圖13　帶阻濾波器的幅頻特性曲線

圖14　帶阻濾波器的相頻特性曲線

4結論

基于組合Morlet小波的數(shù)字濾波器設計方法，利用了Morlet小波在時域、頻域都具有良好集中性的特點，以及傅里葉變換的尺度、線性、頻移特性，通過多個具有不同中心頻率的Morlet小波時域疊加，在頻域構建出平頂?shù)臑V波器，設計原理易于理解，設計方法易于編程實現(xiàn)。

1) 為了保證濾波器的過渡帶窄，小波參數(shù)a應選擇大一些。但此時為了保證通帶平直，Δf就要小一些，所使用的小波個數(shù)會多一些。因此，a和Δf的取值不唯一，可以有多種不同的組合。

2) 為了簡化設計過程，取a=0.2，Δf=1，t∈(-4a，4a)，C=fs是一種較好的參數(shù)選擇。這樣濾波器的通帶完全由起始頻率fL和組合小波的個數(shù)M確定。

3) 經典濾波器中的低通、高通、帶通濾波器均可按單通帶濾波器設計，帶阻濾波器可按兩通道帶通濾波器設計。

4) 在多通帶濾波器設計中優(yōu)勢明顯，且每個通帶的起始頻率和帶寬可以靈活選擇，尤其對于窄帶梳狀濾波器的設計可以取得很好的性能。

參考文獻：

[1]胡廣書.數(shù)字信號處理——理論、算法與實現(xiàn)[M].北京:清華大學出版社,2003.

[2]胡廣書.現(xiàn)代信號處理教程[M].北京:清華大學出版社,2004.

[3]何嶺松,李巍華.用Morlet小波進行包絡檢波分析[J].振動工程學報,2002,15(1):119-122.

[4]徐文明,張梅軍,唐建,等.用Morlet小波進行包絡檢波分析[J].內燃機工程,2002,23(2):81-84.

[5]張波,李建軍,李鴻超.基于Morlet小波帶通濾波特性的振動系統(tǒng)頻率識別[J].空軍工程大學學報：自然科學版，2005,6(5):73-75.

[6]張景亭,孫勇軍,周友明,等.Morlet組合小波在顫振試飛中的應用[J].飛行力學,2008,26(4):62-64.

[7]李志勇,危韌勇,張濤.基于Morlet組合小波的梳狀濾波與包絡檢波方法[J].中南大學學報：自然科學版,2005,6(5):73-75.(責任編輯楊繼森)

【基礎理論與應用研究】

中圖分類號：TN911.72

文獻標識碼：A

文章編號：1006-0707(2015)12-0122-04

doi:10.11809/scbgxb2015.12.030

作者簡介：樊新海(1973—)，男，副教授，博士，主要從事信號分析與故障診斷研究。

基金項目：軍隊科研計劃項目

收稿日期：2015-06-27