☉福建省上杭一中 陳玉生

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)的若干誤區(qū)分析

☉福建省上杭一中 陳玉生

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課型，例題教學(xué)是其重頭戲.數(shù)學(xué)主干知識(shí)的深化、重點(diǎn)和難點(diǎn)的突破、思維能力的提升等都需要通過復(fù)習(xí)課例題教學(xué)來實(shí)現(xiàn).復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)是否合理有效，直接影響課堂教學(xué)的質(zhì)量.然而，由于一些教師對(duì)復(fù)習(xí)課例題教學(xué)功能的理解出現(xiàn)偏差，在設(shè)計(jì)中出現(xiàn)了值得警惕的誤區(qū)，當(dāng)引以為戒.

一、忽視難易程度，傷學(xué)習(xí)積極性

對(duì)復(fù)習(xí)課來說，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情更重要.因此，設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)例題不可“為難學(xué)生”，不宜把難題放在前面，要合理控制難易度，顧及全體學(xué)生，讓其感覺可親可及，“跳一跳就摘得著”最為合適.若學(xué)生做一題就成功一題，主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情必會(huì)倍增.否則，將傷害他們做題的積極性.

案例1：某教師復(fù)習(xí)含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的例題：若函數(shù)f（x）=x2-2x+3（a-1≤x≤a+1）的最小值為18，求實(shí)數(shù)a的值（這是本節(jié)課給出的第一個(gè)例題）.

有經(jīng)驗(yàn)的老師都明白，學(xué)生做錯(cuò)這樣的題目是難以避免的.原因在于該教師一開始就給了一個(gè)難題，學(xué)生對(duì)為什么要討論和怎樣討論難以下手.

再設(shè)計(jì)：

①已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求其最小值；

②已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3（2≤x≤4），求其最小值；

③已知函數(shù)f（x）=ax2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值.

在此基礎(chǔ)上，再給出：

④已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值為23，求實(shí)數(shù)a的值.

最后再求教師給出的上述例題.

以上把例題設(shè)計(jì)成階梯式的問題，不僅復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識(shí)，還將問題逐步向深層次推進(jìn)，讓學(xué)生充分利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，撥云見日，逐步蠶食，直至問題解決.既突破了教學(xué)難點(diǎn)，還能讓不同層次的學(xué)生都參與學(xué)習(xí)，有利于整體教學(xué)質(zhì)量的提高.

二、混淆考題例題，失教學(xué)有效性

考題與復(fù)習(xí)課的例題有不同的教學(xué)功能.前者主要考查學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)的理解，某些技能或數(shù)學(xué)思想方法的掌握，不具“完備性”.后者主要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，起到查缺補(bǔ)漏的作用，不應(yīng)該是“片面性”的問題.因此，復(fù)習(xí)課不可隨意選擇各類考題，更不能不作任何修改就直接作為例題使用，從而失去教學(xué)有效性.

案例2：某教師復(fù)習(xí)不等式恒成立問題的例題：設(shè)函數(shù)f（x）=3x-ax3（a∈R），對(duì)任意x∈［1，2］，都有f（x）≤1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

此題是某省的質(zhì)檢考題，可按主元分類討論或用分離參數(shù)法求解.就填空題而言，在區(qū)間設(shè)置上傾向于分離參數(shù)思想的運(yùn)用，但作為復(fù)習(xí)課的例題，顯得“蘊(yùn)味”不足.因?yàn)檗D(zhuǎn)化為ax3≥3x-1后，由x3＞0直接可轉(zhuǎn)化為a≥恒成立，不利于分類討論思想的滲透及方法間的比較，也失去了對(duì)最后結(jié)果取交集還是并集問題進(jìn)行對(duì)比探討的機(jī)會(huì)（這也是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）.

再設(shè)計(jì)：將條件“x∈［1，2］”改為“x∈［-1，1］”.

通過再設(shè)計(jì)，完善了使用分離參數(shù)法的可能情況，讓解法更具一般性，不但復(fù)習(xí)了含參問題的兩種常用處理方法（離而求之和分而求之），開闊了學(xué)生的解題思路，還可對(duì)結(jié)果取交集還是并集問題展開探討，有效滲透了分類與分步的數(shù)學(xué)思想.

三、不分教材教輔，丟基礎(chǔ)導(dǎo)向性

如今復(fù)習(xí)教輔資料的更新很快，但因時(shí)間倉促，題目設(shè)計(jì)欠斟酌，無論在選題還是解法上，都無法很好地體現(xiàn)“例”的示范作用.若教師盲目追求教輔資料的“新、難”題，天馬行空式地復(fù)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解依舊不會(huì)好轉(zhuǎn).因此，復(fù)習(xí)課要再次引領(lǐng)學(xué)生回歸教材，重視教材典型題目的基礎(chǔ)性和示范性，充分挖掘其復(fù)習(xí)功能.

案例3：某教師復(fù)習(xí)拋物線性質(zhì)的例題：直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點(diǎn).

此題主要考查拋物線的定義、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)、代數(shù)法的運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線過定點(diǎn)（焦點(diǎn)）是學(xué)生的一個(gè)困難點(diǎn).

再設(shè)計(jì)：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，且兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2.（此題源于高二選修教材2-1作業(yè)）

探究1：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點(diǎn)F（即y1y2=-p2）.

探究2：（改變M、N的作法）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線l：x=為拋物線的準(zhǔn)線，O為原點(diǎn)，直線OA、OB分別交準(zhǔn)線于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點(diǎn)F（即y1y2=-p2）.

探究3：（變定點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線l：為拋物線的準(zhǔn)線，C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AC、BC與準(zhǔn)線分別交于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點(diǎn)F（即y1y2=-p2）.

探究4：（變焦點(diǎn)、準(zhǔn)線為極點(diǎn)、極線）拋物線y2=2px（p＞0），極點(diǎn)P（t，0），極線l：x=-t，C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，直線AC、BC分別交極線于點(diǎn)M、N，則M、N的縱坐標(biāo)之積為定值-2pt.

推廣：設(shè)圓錐曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為F，相應(yīng)的準(zhǔn)線（定直線）為l，C為E上的動(dòng)點(diǎn)，過F且斜率不為0的直線與曲線E交于點(diǎn)A、B，直線AC、BC分別交準(zhǔn)線于M、N，則以MN為直徑的圓過焦點(diǎn)F.

上述設(shè)計(jì)以拋物線為載體，復(fù)習(xí)和推廣了圓錐曲線的很多共同性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步探究更是活躍了他們的思維.回歸教材目的是落實(shí)“三基”，以教材例、習(xí)題為素材，感知問題的發(fā)生、發(fā)展過程，明晰問題的來龍去脈，尋求問題的解決方法，探求結(jié)論推廣的可能，揭示問題的本質(zhì)特征，對(duì)學(xué)生和老師來說都很有必要.

四、忽視易錯(cuò)易混點(diǎn)，缺教學(xué)針對(duì)性

數(shù)學(xué)新授課的教學(xué)大多從正面入手，這是必需的，但易造成學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)帶有片面性.針對(duì)這種情形，復(fù)習(xí)例題的設(shè)計(jì)要緊扣知識(shí)的易錯(cuò)易混點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，盡可能給他們提供補(bǔ)償學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，才能讓教學(xué)更有針對(duì)性，突出鞏固功能，實(shí)現(xiàn)“查缺補(bǔ)漏”的復(fù)習(xí)目標(biāo).

案例4：某教師在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的復(fù)習(xí)公開課中的例題：若函數(shù)f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

筆者聽課后與學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生不清楚“由f′（x）=3x2-4x-m≤0在［1，2］上恒成立，得出m≥4”后，為什么還要檢驗(yàn)m=4的情形，甚至有學(xué)生認(rèn)為不檢驗(yàn)答案也一樣！

再設(shè)計(jì)：（1）若函數(shù)f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

針對(duì)易錯(cuò)易混的知識(shí)，增加對(duì)比性題組，讓學(xué)生分析與比較，有利于破除思維頑疾，理清心中的糾結(jié)，從而更深入地理解知識(shí).設(shè)計(jì)這樣的例題能有效解決“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不美”的解題失誤，比正面說教更具實(shí)效.

五、淡化通性通法，欠普遍適用性

高考的宗旨是考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法，強(qiáng)調(diào)“注重通性、通法，淡化特殊技巧”.而有些教師設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課例題時(shí)，不顧問題背景的典型性和解題方法的大眾化，隨意選用或照搬資料中的題目，迫使教師在教學(xué)中為了避開“解題障礙”去尋求捷徑，讓復(fù)習(xí)教學(xué)“撿了芝麻丟了西瓜”.

此題在復(fù)習(xí)用書中頻繁出現(xiàn)，常利用幾何法（利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系計(jì)算弦長(zhǎng)）或代數(shù)法（聯(lián)立直線與圓的方程，用公式計(jì)算弦長(zhǎng)），得S△OAB=但在求此式最大值時(shí)計(jì)算煩瑣，耗時(shí)多，技巧強(qiáng)，易使有些老師不講上述方法，或隨便提一下.換用圓的特殊性做：（θ為弦AB所對(duì)的圓心角），此時(shí)k=±1.

顯然，改編前的設(shè)計(jì)容易讓教者偏離教學(xué)主題，忽視通性、通法，這樣的教學(xué)必會(huì)讓優(yōu)生“走火入魔”，讓差生“信心盡失”.而再設(shè)計(jì)后，S△OAB的表達(dá)式簡(jiǎn)潔易算（用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式），既便于強(qiáng)化通法，也可推薦簡(jiǎn)捷的特殊解法，實(shí)現(xiàn)解題方法的普遍性和多樣性.

六、忽略多解多變，挫思維靈活性

復(fù)習(xí)課不僅要完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還要提升思維品質(zhì)，例題設(shè)計(jì)要關(guān)注其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，要有利于引導(dǎo)學(xué)生從不同知識(shí)層面、用不同思維方式進(jìn)行一題多解，并從中選擇最簡(jiǎn)、最優(yōu)的方法，提高思維的廣闊性與創(chuàng)造性；也要廣泛地對(duì)其進(jìn)行變式引申，拓展出更多“形似質(zhì)異”“形異質(zhì)同”的新問題，發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性，從而對(duì)問題本質(zhì)及求解規(guī)律有更深刻的理解.

案例6：某教師復(fù)習(xí)圓錐曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題的例題：求拋物線C：y2=x上的點(diǎn)到直線l：x-2y+ 4=0的最短距離.

解法1：設(shè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P（s2，s）（s≥0），則P到直線l的距離，其最小值為

解法2：設(shè)與直線l平行的拋物線的切線為x-2y+m= 0.聯(lián)立x-2y+m=0與y2=x后，由相切得Δ=0，求出m=1.故所求最短距離就是x-2y+4=0與x-2y+1=0間的距離，即為

此題雖然可用換元法及數(shù)形結(jié)合的方法解決，但仍顯“美中不足”，其蘊(yùn)含的知識(shí)和方法還不夠多.

再設(shè)計(jì)：將拋物線“y2=x”改為“y=-x2”.

同樣是拋物線，y=-x2是學(xué)生熟知的二次函數(shù)，自然就多了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)以最少的題目復(fù)習(xí)更多的知識(shí).

解：設(shè)與直線x-2y+4=0平行且與拋物線y=-x2相切的切點(diǎn)為P（x，y），則切線的斜率k=y′=-2x.由-2x=得故切點(diǎn)坐標(biāo)為從而求出拋物線y= -x2上的點(diǎn)到直線x-2y+4=0的最短距離為

因拋物線是一類圓錐曲線，故還可以進(jìn)一步發(fā)散思考，拓展為：

題3：求圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線x-2y+4=0的最短、最長(zhǎng)距離.

這種設(shè)計(jì)能克服單純做題的機(jī)械模式，更大限度地發(fā)揮例題的教學(xué)功能及可拓展性，有效溝通了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，拓寬了學(xué)生的思考空間，提升了學(xué)生善于分析和應(yīng)變的能力，讓其體驗(yàn)到再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的快樂.

七、缺乏整合綜合，輕知識(shí)交匯性

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)與方法系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，將所學(xué)內(nèi)容連成線、織成網(wǎng)、鋪成面.因此，設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)例題要通盤考慮，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，要注重學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系與綜合，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，盡可能讓多個(gè)知識(shí)有機(jī)地整合在一起，使之通過復(fù)習(xí)進(jìn)一步提升綜合應(yīng)用能力，尤其是高三二輪復(fù)習(xí)更要如此.

案例7：某教師高三數(shù)列二輪復(fù)習(xí)中的例題：設(shè)函數(shù)f（x）=x2，過C1（1，0）作x軸的垂線l1交函數(shù)f（x）的圖像于點(diǎn)A1，以A1為切點(diǎn)作函數(shù)f（x）的圖像的切線交x軸于C2，再過C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f（x）的圖像于點(diǎn)A2，依此類推得點(diǎn)An，記An的橫坐標(biāo)為an（n∈N*）.

（1）證明數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)；

（2）設(shè)直線ln與函數(shù)g的圖像交于點(diǎn)Bn，記（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

此題的設(shè)計(jì)以函數(shù)為依托，集導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、向量的數(shù)量積等知識(shí)為一體，意在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移與轉(zhuǎn)化、數(shù)據(jù)的整合與處理能力.這樣的設(shè)計(jì)，能充分發(fā)揮例題復(fù)習(xí)的綜合效能，達(dá)到“做一題、帶一類、連一片”的效果.

例題教學(xué)是復(fù)習(xí)課的主旋律，如何設(shè)計(jì)例題是復(fù)習(xí)教學(xué)能否更加優(yōu)質(zhì)、高效的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)課例題設(shè)計(jì)須謹(jǐn)慎求“精”，既要根據(jù)本班學(xué)生的實(shí)際，也要顧及復(fù)習(xí)的階段性，抓重點(diǎn)、攻難點(diǎn)、補(bǔ)缺陷、升思維.

1.李寬珍.理清主線，變式推進(jìn)，注重反思——從復(fù)習(xí)課《數(shù)列求和》的幾個(gè)片段談高三復(fù)習(xí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（3）.

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