儲(chǔ)秀梅

2015年是執(zhí)行國(guó)家《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的首次中考，各地嚴(yán)格落實(shí)“課標(biāo)”對(duì)尺規(guī)作圖的要求，出現(xiàn)了很多尺規(guī)作圖考題，特別是以首都北京為首的中考數(shù)學(xué)卷更是在關(guān)鍵位置設(shè)計(jì)把關(guān)題，請(qǐng)看：

例1 （2015年北京，填空題把關(guān)題）閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：

尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線.

已知：線段AB.

小蕓的作法如下：

如圖，

（1） 分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；

（2） 作直線CD.

老師說(shuō)：“小蕓的作法正確.”

請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是_________

_________________.

【講解】本題主要考查尺規(guī)作圖的依據(jù).由作圖過(guò)程可知點(diǎn)C和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，而已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，這條直線就唯一被確定了.故答案為“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線”.

【點(diǎn)評(píng)】這里使用了學(xué)生作圖的步驟和示意圖，要求回答作圖依據(jù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)追求理性精神的需要，不只滿足于會(huì)操作，而要追問(wèn)每一步操作背后的依據(jù)，是一道很有數(shù)學(xué)味的考題，值得同學(xué)們學(xué)習(xí).

不僅北京卷如此，再看一道新考題：

例2 （2015·浙江嘉興）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問(wèn)題：“如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”分別作出了下列四個(gè)圖形，其中作法錯(cuò)誤的是（ ）.

【講解】選項(xiàng)A，根據(jù)作法無(wú)法判定PQ⊥l；選項(xiàng)B，以P為圓心、大于P到直線l的距離的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于兩點(diǎn)，再以兩點(diǎn)為圓心，大于它們距離一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得出其交點(diǎn)，進(jìn)而作出判斷；選項(xiàng)C，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°作出判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可作出判斷.故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了過(guò)直線外以及過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵.

最后，我們?cè)偬峁┮坏琅c角平分線相關(guān)的練習(xí)，幫助同學(xué)們鞏固.

小試牛刀

數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：

作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE.

②分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.

③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線.

小聰只帶了直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線，方法如下：

步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM=ON.

②分別過(guò)M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P.

③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線.

小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過(guò)嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線.

根據(jù)以上情境，解決下列問(wèn)題：

①李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

③請(qǐng)你幫小穎設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線的方法.（要求：作出圖形，寫(xiě)出作圖步驟，不予證明）

【答案】（1） 李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法SSS，故答案為SSS.

（2）解：小聰?shù)淖鞣ㄕ_.

理由：∵PM⊥OM， PN⊥ON，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

∵OP=OP，OM=ON，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB.

（3） 解：如下圖所示.

步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG=OH.

②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點(diǎn)Q.

③作射線OQ，則OQ為∠AOB的平分線.

（作者單位：江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）