本刊試題研究組

一、填空題

1.拋物線y=mx2的準(zhǔn)線方程為y=2，則m的值為 ? ?.

2.若函數(shù)f（x）=a-x+x+a2-2是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 ? ?.

3.若sin（α+π12）=13，則cos（α+7π12）的值為 ? .

4.從長(zhǎng)度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是 ? ?.

5.已知向量a的模為2，向量e為單位向量，e⊥（a-e），則向量a與e的夾角大小為 ? ?.

6.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意x∈R都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f（x）=2x，則f（2012）-f（2013）= ? ?.

7.已知直線x=a（0

8.已知雙曲線x2a2-y2=1（a>0）的一條漸近線為y=kx（k>0），離心率e=5k，則雙曲線方程為 ? .

9.已知函數(shù)f（x）=ax（x<0），

（a-3）x+4a（x≥0）滿足對(duì)任意x1≠x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2<0成立，則a的取值范圍是 ? ?.

10.設(shè)x∈（0，π2），則函數(shù)y=2sin2x+1sin2x的最小值為 ? ?.

11.△ABC中，C=π2，AC=1，BC=2，則f（λ）=|2λCA+（1-λ）CB|的最小值是

12.給出如下四個(gè)命題：

①x∈（0，+∞），x2>x3;

②x∈（0，+∞），x>ex;

③函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且f（2-x）=f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;

④若函數(shù)f（x）=lg（x2+ax-a）的值域?yàn)镽，則a≤-4或a≥0;

其中正確的命題是 ? ?.（寫(xiě)出所有正確命題的題號(hào)）.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)曲線y=-x3+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為切點(diǎn)作切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB的面積的最小值為 ? ?.

14.若關(guān)于x的方程|ex-3x|=kx有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ? ?.

二、解答題

15.已知sin（A+π4）=7210，A∈（π4，π2）.

（1）求cosA的值;

（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+52sinAsinx的值域.

16.在四棱錐PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2.

（1）求四棱錐PABCD的體積V;

（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF;

（3）求證CE∥平面PAB.

17.某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車(chē)間分別在A、B兩個(gè)位置，A車(chē)間有100名員工，B車(chē)間有400名員工.現(xiàn)要在公路AC上找一點(diǎn)D，修一條公路BD，并在D處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐.已知A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離均有1km，設(shè)∠BDC=α，所有員工從車(chē)間到食堂步行的總路程為s.

（1）寫(xiě)出s關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍;

（2）問(wèn)食堂D建在距離A多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程s最少.

18.已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m<3）與橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切.

（1）求m的值與橢圓E的方程;

（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP·AQ的取值范圍.

19.冪函數(shù)y=x的圖象上的點(diǎn)Pn（t2n，tn）（n=1，2，…）與x軸正半軸上的點(diǎn)Qn及原點(diǎn)O構(gòu)成一系列正△PnQn-1Qn（Q0與O重合），記an=|QnQn-1|

（1）求a1的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（3）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，3Sn-3n+2≥（1-λ）（3an-1）恒成立，求k的最小值.

20.已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）·ex定義域?yàn)閇-2，t]（t>-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n.

（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù);

（2）求證：n>m;

（3）求證：對(duì)于任意的t>-2，總存在x0∈（-2，t），滿足f′（x0）ex0=23（t-1）2，并確定這樣的x0的個(gè)數(shù).

附加題

21.[選做題] 本題包括A，B，C，D四小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分，共計(jì)20分.

A.選修41：幾何證明選講

自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小.

B.選修42：矩陣與變換

已知二階矩陣A=1a

34對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-2，1）變換成點(diǎn)（0，b），求實(shí)數(shù)a，b的值.

C.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上.離心率為12，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

若2x+3y的最大值為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

D.選修45：不等式選講

若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值.

[必做題] 第22、23題，每小題10分，計(jì)20分.

22.如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m.

（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60°;

（2）在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D1Q⊥AP，并證明你的結(jié)論.

23.（本小題滿分10分）

已知，（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）

（1）求a0及Sn=a1+a2+a3+…+an;

（2）試比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，并說(shuō)明理由.

參考答案

一、填空題

1. -18

2. 2

3. -13

4. 0.75

5. π3

6. 12

7. 710

8. x24-y2=1

9. （0，14]

10. 3

11. 2

12. ③④

13. 3324

14. （0，3-e）

二、解答題

15.解：（1）因?yàn)棣?<A<π2，且sin（A+π4）=7210，

所以π2<A+π4<3π4，cos（A+π4）=-210.

因?yàn)閏osA=cos[（A+π4）-π4]

=cos（A+π4）cosπ4+sin（A+π4）sinπ4

=-210·22+7210·22=35.所以cosA=35.

（2）由（1）可得sinA=45.所以f（x）=cos2x+52sinAsinx

=1-2sin2x+2sinx=-2（sinx-12）2+32，x∈R.因?yàn)閟inx∈[-1，1]，所以，當(dāng)sinx=12時(shí)，f（x）取最大值32;當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取最小值-3.

所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-3，32].

16.解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，

∠BAC=60°，∴BC=3，AC=2.

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，

∴CD=23，AD=4.

∴SABCD=12AB·BC+12AC·CD

=12×1×3+12×2×23=523.則V=13×523×2=533.

（2）∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，

∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.

∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，

∴EF∥CD.則EF⊥PC.

∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF.

（3）取AD中點(diǎn)M，連EM，CM.則EM∥PA.

∵EM平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵M(jìn)C平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M，

∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB.

17.解：（1）在△BCD中，

∵BDsin60°=BCsinα=CDsin（120°-α），

∴BD=32sinα，CD=sin（120°-α）sinα，

則AD=1-sin（120°-α）sinα.

s=400·32sinα+100[1-sin（120°-α）sinα]

=50-503·cosα-4sinα，其中π3≤α≤2π3.

（2）s′=-503·-sinα·sinα-（cosα-4）cosαsin2α=503·1-4cosαsin2α.

令s′=0得cosα=14.記cosα0=14，α0∈（π3，2π3）;

當(dāng)cosα>14時(shí)，s′<0，當(dāng)cosα<14時(shí)，s′>0，

所以s在（π3，α0）上單調(diào)遞減，在（α0，2π3）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)α=α0，即cosα=14時(shí)，s取得最小值.

此時(shí)，sinα=154，

AD=1-sin（120°-α）sinα=1-32cosα+12sinαsinα

=12-32·cosαsinα=12-32·14154=12-510.

答：當(dāng)AD=12-510時(shí)，可使總路程s最少.

18.解：（1）點(diǎn)A代入圓C方程，得（3-m）2+1=5.

∵m<3，∴m=1.

圓C：（x-1）2+y2=5.

設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0.

∵直線PF1與圓C相切，∴|k-0-4k+4|k2+1=5.解得k=112，或k=12.

當(dāng)k=112時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3611，不合題意，舍去.

當(dāng)k=12時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，

∴c=4，F(xiàn)1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）.

2a=AF1+AF2=52+2=62，a=32，a2=18，b2=2.

橢圓E的方程為：x218+y22=1.

（2）AP=（1，3），設(shè)Q（x，y），AQ=（x-3，y-1），

AP·AQ=（x-3）+3（y-1）=x+3y-6.

∵x218+y22=1，即x2+（3y）2=18，

而x2+（3y）2≥2|x|·|3y|，∴-18≤6xy≤18.

則（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36].

x+3y的取值范圍是[-6，6].

∴AP·AQ=x+3y-6的取值范圍是[-12，0].

19.解：（1）由P1（t21，t1）（t>0），得kOP1=1t1=tanπ3=3t1=33，

∴P1（13，33），a1=|Q1Q0|=|OP1|=23.

（2）設(shè)Pn（t2n，tn），得直線PnQn-1的方程為：y-tn=3（x-t2n），

可得Qn-1（t2n-tn3，0），

直線PnQn的方程為：y-tn=-3（x-t2n），可得Qn（t2n+tn3，0），

所以也有Qn-1（t2n-1+tn-13，0），得t2n-tn3=t2n-1+tn-13，由tn>0，得tn-tn-1=13.

∴tn=t1+13（n-1）=33n.

∴Qn（13n（n+1），0），Qn-1（13n（n-1），0），

∴an=|QnQn-1|=23n.

（3）由已知對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí)λ∈[0，1]時(shí)，n2-2n+2≥（1-λ）（2n-1）恒成立，

對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]時(shí)，（2n-1）λ+n2-4n+3≥0恒成立

則令f（λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，則f（λ）是關(guān)于λ的一次函數(shù).

對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]時(shí)，f（0）≥0

f（1）≥0.

n2-4n+3≥0

n2-2n+2≥0n≥3或n≤1，

又∵n∈N*，∴k的最小值為3.

20.（1）解：因?yàn)閒′（x）=（x2-3x+3）·ex+（2x-3）·ex=x（x-1）·ex

由f′（x）>0x>1或x<0;由f′（x）<00<x<1，所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減

欲f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2<t≤0.

（2）證：因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e

又f（-2）=13e2<e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2）

從而當(dāng)t>-2時(shí)，f（-2）<f（t），即m<n.

（3）證：因?yàn)閒′（x0）ex0=x20-x0，所以f′（x0）ex0=23（t-1）2即為x20-x0=23（t-1）2，

令g（x）=x2-x-23（t-1）2，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x2-x-23（t-1）2=0

在（-2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù).

因?yàn)間（-2）=6-23（t-1）2=-23（t+2）（t-4），g（t）=t（t-1）-23（t-1）2=13（t+2）（t-1），所以

①當(dāng)t>4或-2<t<1時(shí)，g（-2）·g（t）<0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解.

②當(dāng)1<t<4時(shí)，g（-2）>0且g（t）>0，

但由于g（0）=-23（t-1）2<0，

所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解.

③當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x2-x=0x=0或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解;

當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x2-x-6=0x=-2或x=3，

所以g（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解.

綜上所述，對(duì)于任意的t>-2，總存在x0∈（-2，t），滿足f′（x0）ex0=23（t-1）2，

且當(dāng)t≥4或-2<t≤1時(shí)，有唯一的x0適合題意;當(dāng)1<t<4時(shí)，有兩個(gè)x0適合題意.

（說(shuō)明：第（2）題也可以令φ（x）=x2-x，x∈（-2，t），然后分情況證明23（t-1）2在其值域內(nèi)，并討論直線y=23（t-1）2與函數(shù)φ（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的x0的個(gè)數(shù)）

附加題

21.（A）解：因?yàn)镸A為圓O的切線，所以MA2=MB·MC.

又M為PA的中點(diǎn)，所以MP2=MB·MC.

因?yàn)椤螧MP=∠BMC，所以△BMP∽△PMC.

于是∠MPB=∠MCP.

在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，得∠MPB=20°.

（B）解：∵0

b=1a

34-2

1=-2+a

-6+4，

∴0=-2+a

b=-2，即a=2，b=-2.

（C）解：離心率為12，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是x24c2+y23c2=1，

它的參數(shù)方程為x=2cosθ

y=3sinθ，（θ是參數(shù)）.

2x+3y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）最大值是5c，

依題意tc=10，c=2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216+y212=1.

（D）解：因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a+b+c=1，

所以，（13a+2+13b+2+13c+2）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即13a+2+13b+2+13c+2≥1，

當(dāng)且僅當(dāng)3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=13時(shí)，原式取最小值1.

22.解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），

B1（1，1，1），D1（0，0，2）.

所以BD=（-1，-1，0），BB1=（0，0，2），

AP=（-1，1，m），AC=（-1，1，0）.

又由AC·BD=0，AC·BB1=0知AC為平面BB1D1D的一個(gè)法向量.

設(shè)AP與面BDD1B1所成的角為θ，

則sinθ=cos（π2-θ）=|AP·AC||AP|·|AC|

=22·2+m2=32，解得m=63.

故當(dāng)m=63時(shí)，直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.

（2）若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，

則Q（x，1-x，2），D1Q=（x，1-x，0）.

依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等價(jià)于

D1Q⊥APAP·D1Q=0x+（1-x）=0x=12

即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求.

23.解：（1）取x=1，則a0=2n;取x=2，則a0+a1+a2+a3+…+an=3n，

∴Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-2n;

（2）要比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，即比較：3n與（n-1）2n+2n2的大小，

當(dāng)n=1時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2;

當(dāng)n=2，3時(shí)，3n<（n-1）2n+2n2;

當(dāng)n=4，5時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2;

猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過(guò)程可知，n=4時(shí)結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥4）時(shí)結(jié)論成立，即3k>（k-1）2k+2k2，

兩邊同乘以3得：3k+1>3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]

而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6>0，

∴3k+1>（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2

即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，∴當(dāng)n≥4時(shí)，3n>（n-1）2n+2n2成立.

綜上得，當(dāng)n=1時(shí)，Sn>（n-2）2n+2n2;當(dāng)n=2，3時(shí)，Sn<（n-2）2n+2n2;

當(dāng)n≥4，n∈N*時(shí)，Sn>（n-2）2n+2n2.