解決與排列、組合有關(guān)的問題，首先，必須認(rèn)真審題，明確這個(gè)問題是排列問題，還是組合問題？其次，抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本計(jì)數(shù)原理和排列數(shù)、組合數(shù)公式進(jìn)行分析、解答.實(shí)踐證明，備考的有效方法是題型和解法歸類，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用.下面例談排列、組合問題中常見的解題思路和方法.

一、分組（堆）問題

分組（堆）問題的6個(gè)模型：①無序不等分;②無序等分;③無序局部等分;④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.

處理問題的原則：

（1）若干個(gè)不同的元素“等分”為n堆，要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以n！;

（2）若干個(gè)不同的元素局部“等分”有k個(gè)均等堆，要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以k！;

（3）非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積;

（4）要明確堆的順序時(shí)，必須先分堆后，再把堆數(shù)當(dāng)作元素個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列.

例1 有4項(xiàng)不同的工程，要分包給3個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)至少分到一項(xiàng)工程，共有多少種不同的分包方式？

解：要完成分包這件事，可以分為兩個(gè)步驟：

①先將4項(xiàng)工程分為3“堆”，有C24C12C11A22=6種分法;

②再將分好的3“堆”依次分給3個(gè)工程隊(duì)，有3！=6種分法.所以，共有6×6=36種不同的分包方式.

二、不相鄰元素“插空法”

解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排“一般”元素，然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.

例2 7人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？

解：分兩步進(jìn)行：

①把除甲乙以外的其他5人排列，有A55=120種排法;

②將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中（插空），有A26=30種插入法.

所以，共有120×30=3600種排法.

注意：幾個(gè)元素不能相鄰時(shí)，先排一般元素，再讓特殊元素插空.

三、相鄰元素“捆綁法”

相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個(gè)”元素，然后再進(jìn)行整體排列.

例3 6人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？

解：可分兩步進(jìn)行：

①把甲乙排列（捆綁），有A22=2種捆法;

②把甲乙兩人的捆看作一個(gè)人與其他的4人排隊(duì)，有A55=120種排法.

所以，共有2×120=240種排法.

注意：幾個(gè)元素必須相鄰時(shí)，先捆綁成一個(gè)元素，再與其它的進(jìn)行排列.

四、消序法（留空法）

幾個(gè)元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個(gè)元素的順序，或者先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.

例4 5個(gè)人站成一排，甲總是站在乙的右側(cè)有多少種站法？

解法1：將5個(gè)人依次站成一排，有A55種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)A22，所以甲總站在乙的右側(cè)站法總數(shù)為A55A22=A35=60.

解法2：先讓甲乙之外的3人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好，有A35種站法，留下的兩個(gè)位置自然給甲乙，有1種站法.所以，甲總站在乙右側(cè)的站法總數(shù)為A35×1=A35.

五、隔板法

n個(gè)相同小球放入m（m≤n）個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同的小球穿成一串，從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.

例5 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16名選手名額分配到高三年級(jí)的1～4個(gè)教學(xué)班，每班至少一個(gè)名額，則不同的分配方案共有 ? ?種.

解：?jiǎn)栴}等價(jià)于把16個(gè)相同的小球放入4個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.將16個(gè)小球穿成一串，截為4段有C315=455種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共有455種.

變式：某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1～4個(gè)數(shù)學(xué)班，每班的名額不少于該班序號(hào)數(shù)，則不同的分配方案共有多少種？

解：?jiǎn)栴}等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把剩余的10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里，每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的方法種數(shù)問題.將10個(gè)小球穿成一串，截為4段，有C39種截法，對(duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共C39=84種.

六、錯(cuò)位法

編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到n的n個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列.

例6 編號(hào)為1至6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1至6的6個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有多少種？

解：選取編號(hào)相同的兩組球和盒子的方法有C26=15種，其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種方法.故所求方法有：15×9=135種.

七、剔除法

從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性.

例7 以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有多少個(gè)？

解：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取4個(gè)，理論上可構(gòu)成C48種四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的4個(gè)頂點(diǎn)共面就不能構(gòu)成四面體.所以四面體實(shí)際有C48-12=58個(gè).

變式：某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 ? ?種.

解法1：分兩類：①A類選修課2門，B類選修課1門，有C23×C14種;②A類選修課1門，B類選修課2門，有C13×C24種.故共有C23×C14+C13×C24=30種.

解法2：從7門中任意選修3門，有C37種，減去3門同時(shí)在A類選修課（C33）或B類選修課（C34）中，故共有C37-C33-C34=30種.

八、圓排問題線排法

n個(gè)元素圓排列數(shù)有n！n種.

例8 5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同的站法？

解：根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對(duì)姐妹看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5！種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圓圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有5！5=24種.第二步每一對(duì)姐妹之間又可以相互交換位置，也就是說每一對(duì)姐妹均有2種排法，共有25=32種.所以應(yīng)有24×32=768種站法.

九、可重復(fù)的排列求冪法

重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是正確判斷哪個(gè)是底數(shù)，哪個(gè)是指數(shù).

例9 8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有 ? ?種.

解：冠軍不能重復(fù)，但同一個(gè)學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍，把8名學(xué)生看作8家“店”，3項(xiàng)冠軍看作3個(gè)“客”，他們都可能住進(jìn)任意一家“店”，每個(gè)“客”有8種可能.因此共有83種不同的結(jié)果.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)）