在江蘇高考試卷中，概率統(tǒng)計(jì)題考試題型多為填空題，在前八題中出現(xiàn)，為中檔題，本文從古典概型、幾何概型和常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)題三類題型中選取典型例題進(jìn)行題型的介紹和方法的總結(jié).

古典概型：

1.古典概型的判斷：

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型才是古典概型.

2.對(duì)于復(fù)雜的古典概型問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的概率問(wèn)題去解決.

例1 （2012·安徽高考）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于 ? ?.

解析：設(shè)袋中紅球用a表示，2個(gè)白球分別用b1，b2表示，3個(gè)黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15個(gè).

兩球顏色為一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6個(gè).

因此其概率為615=25.

方法小結(jié)：

計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的總個(gè)數(shù)n;（2）求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;（3）代入公式求出概率P.

例2 （2012·江西高考）如圖所示，從A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn).

（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率;

（2）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率.

解析：從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是：

x軸上取2個(gè)點(diǎn)的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4種;

y軸上取2個(gè)點(diǎn)的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4種;

z軸上取2個(gè)點(diǎn)的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4種.

所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種.因此，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種.

（1）選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有：A1B1C1，A2B2C2，共2種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為P1=220=110.

（2）法一：選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的所有可能結(jié)果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2=1220=35.

法二：選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)不共面的所有可能的結(jié)果有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種，因此這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2=1-820=35.

例3 （2012·江蘇高考）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 ? ?.

解析：由題意得an=（-3）n-1，易知前10項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以小于8的項(xiàng)為第一項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，共6項(xiàng)，即6個(gè)數(shù)，所以P=610=35.

答案：35

方法小結(jié)：

求較復(fù)雜事件的概率問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?

幾何概型

1.幾何概型的特點(diǎn)：

幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個(gè)，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無(wú)關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).

2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊界是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

（1）與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型

例4 （2011·湖南高考）已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25.

（1）圓C的圓心到直線l的距離為 ? ?;

（2）圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為 ? ?.

解析：（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=255=5;

（2）設(shè)直線4x+3y=c到圓心的距離為3，則|c|5=3，取c=15，則直線4x+3y=15把圓所截得的劣弧的長(zhǎng)度和整個(gè)圓的周長(zhǎng)的比值即是所求的概率，由于圓半徑是23，則可得直線4x+3y=15截得的圓弧所對(duì)的圓心角為60°，故所求的概率是16.

答案：5，16

方法小結(jié)：

求與長(zhǎng)度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（角度），然后求解.確定點(diǎn)的邊界位置是解題的關(guān)鍵.

（2）與面積有關(guān)的幾何概型

例5 （1）（2012·湖北高考）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 ? ?.

解析：（1）法一：設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA=OB=2，則OD=DA=DC=1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整體圖形中空白部分面積S2=2.又因?yàn)镾扇形OAB=14×π×22=π，所以陰影部分面積為S3=π-2.

所以P=π-2π=1-2π.

法二：連接AB，設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA=2.

由題意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC，

所以S空白=S△OAB=12×2×2=2.

又因?yàn)镾扇形OAB=14×π×22=π，所以S陰影=π-2.

所以P=S陰影S扇形OAB=π-2π=1-2π.

方法小結(jié)：

求解與面積有關(guān)的幾何概型首先要確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和構(gòu)成事件的全部結(jié)果形成的平面圖形，然后再利用面積的比值來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率.這類問(wèn)題常與線性規(guī)劃知識(shí)聯(lián)系在一起.

（3）與體積有關(guān)的幾何概型

例6 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 ? ?.

解析：（1）點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球的外部.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A，則P（A）=23-12×4π3×1323=1-π12.

方法小結(jié)：

與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式，至此，我們可以總結(jié)如下：

對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問(wèn)題幾何化;也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域.

統(tǒng)計(jì)中常見(jiàn)題型

（1）用樣本估計(jì)總體

例7 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 ? .

解析：由題意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，

則a=0.03，故學(xué)生人數(shù)為0.3×100=30.

1.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.注意區(qū)分直方圖與條形圖，條形圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距.

3.方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

（2）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

例8 （2012·廣東高考）某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].

（1）求圖中a的值;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分;

（3）若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90）之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）

x∶y1∶12∶13∶44∶5

解析：（1）由頻率分布直方圖知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.

（2）由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.

（3）由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)赱50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.

由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.

故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50，90）之外的人數(shù)為100-（5+20+40+25）=10.

方法小結(jié)：

解決頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)要抓?。?/p>

（1）直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.

（2）直方圖中縱軸表示頻率組距，故每組樣本的頻率為組距×頻率組距，即矩形的面積.

（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù).

綜上，在概率統(tǒng)計(jì)題型中，題型方法比較多，和高中階段其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系比較多，注重對(duì)典型例題的分析和方法的總結(jié)有利于在高考中取得高的分?jǐn)?shù).

（作者：吳文輝，江蘇省長(zhǎng)涇中學(xué)）