鄧凌煊 ， 安軍社

（1.中國科學院大學 北京 100190；2.中國科學院 空間科學與應用研究中心，北京 100190）

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，航天任務對于導航計算機的性能要求越來越高。導航計算機除了要對傳感器數(shù)據(jù)進行采集，與控制系統(tǒng)進行實時通訊，還要能進行實時的計算[1]。盡管目前航天任務中使用的處理器芯片性能越來越強，但大多數(shù)CPU并沒有處理常用超越函數(shù)（sin，cos，arctan，exp，sqrt，ln 等）的專用指令。而通過純軟件循環(huán)迭代求解超越函數(shù)往往需要CPU數(shù)十甚至上百個周期[2]，這極大降低了導航計算機的實時性。本文提出了一種高實時性、低復雜度的CORDIC協(xié)處理器核，提供了高吞吐率的超越函數(shù)運算能力，從而提高了導航計算機的并行運算能力。此IP核使用verilog編寫,由于其資源占用率低，可以非常容易地被集成入各種航天用FPGA中。

1 CORDIC算法

1.1 CORDIC旋轉(zhuǎn)

CORDIC算法最早由Volder提出[3]，用于求解一般三角函數(shù)，之后由Walther改進[4]，使得CORDIC可以用于計算雙曲函數(shù)和進行乘除運算。由于幾乎所有的通用CPU都具有硬件乘法除法功能,因此對數(shù)坐標模式所提供的乘除功能很少被實際使用,故CORDIC算法的主要應用是三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的運算。CORDIC的基本思想是通過一系列預定大小角度的旋轉(zhuǎn)，使得輸入向量被旋轉(zhuǎn)到所期望的位置，從而求解出一系列函數(shù)。CORDIC的旋轉(zhuǎn)方程可以表示為

其中m為1時CORIDC工作在圓坐標系下，m為-1時工作在雙曲坐標系下。dn為1時向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當dn為-1時按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。

雖然每一步迭代只需要進行加減操作和固定位的移位操作，但由（1）可知，CORIDC每一次旋轉(zhuǎn)都會改變向量的模。所以為了得到正確的向量分量x和y，需要補償旋轉(zhuǎn)后的向量，而由于向量模的變化與旋轉(zhuǎn)的方向無關，這可以通過一個常數(shù)乘法器實現(xiàn)。補償常數(shù)為：

CORDIC每次旋轉(zhuǎn)的方向由工作模式?jīng)Q定。在旋轉(zhuǎn)模式下，CORDIC試圖讓向量與x軸之間的夾角z趨近于0。在向量模式下，CORDIC試圖讓向量的y分量趨近于0。故每次旋轉(zhuǎn)的方向由運行模式和向量的yz分量符號決定：

綜上，各個模式下CORDIC的迭代結(jié)果以及可實現(xiàn)的函數(shù)如表1所示。

表1 各模式CORDIC旋轉(zhuǎn)結(jié)果Tab.1 Rotation result of CORDIC under all modes

1.2 收斂性

Cordic能輸出正確結(jié)果的前提是旋轉(zhuǎn)結(jié)束時向量能夠被旋轉(zhuǎn)到預期的位置（在誤差范圍內(nèi)），即旋轉(zhuǎn)收斂?？梢酝ㄟ^遞歸證明的是[5]，對于圓坐標模式，對于任意n總有

令剩余角度為rn+1，

總rn<2·arctan2-n有。但是對于雙曲坐標模式，類似的結(jié)論并不成立。然而可以證明的是

對于m=3i+1，i=1，2，3…成立。故對于雙曲坐標模式，為了保證算法收斂，需要將第4，13，40...次循環(huán)重復。此外，由于在每一級旋轉(zhuǎn)的角度是預先固定的，故CORDIC所能將向量旋轉(zhuǎn)的角度有限，即系的收斂域分別為A∈[-1.743，1.743]，對于雙曲坐標模式為A∈[-1.055，1.055]。

2 系統(tǒng)實現(xiàn)

為了保證協(xié)處理器能夠提供足夠的計算吞吐量并使協(xié)處理器的計算延遲可預測，本文使用流水線實現(xiàn)整個CORDIC核[6]。協(xié)處理器的流水線結(jié)構(gòu)如圖1所示。

2.1 系統(tǒng)輸入

圖1 CORDIC協(xié)處理器流水線框圖Fig.1 Pipeline structure of CORDICcoprocessor

協(xié)處理器核從輸入FIFO獲得初始輸入數(shù)據(jù)，包括3個坐標分量以及1個控制命令字。輸入?yún)?shù)的格式為1位符號位，2位整數(shù)位，小數(shù)位的位數(shù)作為IP核的參數(shù)可以在例化時調(diào)整。這樣的輸入格式使得此IP核可以容易地被應用于使用定點運算的許多DSP處理器。對于浮點數(shù)運算，實際上CPU可以通過簡單的移位縮放操作使得輸入范圍外的xyz分量落到協(xié)處理器可接受的范圍內(nèi)，這是由于規(guī)格化浮點數(shù)的尾數(shù)本來就在區(qū)間[1，2）內(nèi)。相對的，已有的很多CORDIC協(xié)處理器實現(xiàn)[7]使用了浮點數(shù)進行中間運算，然而這不僅顯著地增加了資源的使用，而且使得每一個CORDIC旋轉(zhuǎn)需要通過多級流水線完成，增大了每個運算的延遲。

此外，為了降低CPU和協(xié)處理器之間交互次數(shù)，本IP核允許CPU在計算某些函數(shù)時不對所有的輸入寄存器進行寫入。對于輸入?yún)?shù)少于3個的函數(shù)，協(xié)處理器自動生成其他分量的輸入。比如對于cos（x），CPU只需要對協(xié)處理器的a0寄存器和控制字寄存器寫入即可觸發(fā)cos（x）的運算，CORDIC協(xié)處理器會自動把x分量初始化成2.0，y分量初始化成0，z分量初始化成a0。對于有效位數(shù)較小的配置如18位，可以進一步將控制命令字和a0放到同一個32位寄存器中，則對于單輸入函數(shù)，CPU只需向一個地址寫入數(shù)據(jù)即可完成操作。18位數(shù)據(jù)精度時的輸入寄存器格式如圖2所示。

圖2 18位配置時的CORDIC核輸入寄存器Fig.2 Input register of CORDICcore under 18 bits configuration

2.2 預處理單元

如表1所示，CORDIC的運算結(jié)果并不直接對應所要求的函數(shù)，故需要對與輸入?yún)?shù)進行處理。例如對于ln（a）和sqrt（a）運算，需要令 x=a+1，y=a-1，對于 cos（x），sin（x）等運算，需要生成相應的其他分量輸入。此外，由于雙曲坐標的性質(zhì)，arctanh1并不存在，故雙曲坐標模式只能從i=1開始迭代，而圓坐標系可以從i=0開始迭代，這導致了兩種模式的旋轉(zhuǎn)過程不同。為了能用同一個流水線實現(xiàn)2種模式的操作，本文令所有模式都從i=1開始迭代。但這樣會導致在圓坐標模式下的收斂域過小，只有。解決的辦法是在預處理單元加入象限折疊，即通過三角函數(shù)關系，將[-π，π]上的向量折疊到[0，]上，再在后處理單元對結(jié)果進行修正。

2.3 旋轉(zhuǎn)單元

旋轉(zhuǎn)單元是CORDIC協(xié)處理器的核心，實現(xiàn)（1）所描述的向量旋轉(zhuǎn)操作。其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 CORDIC旋轉(zhuǎn)單元的原理圖Fig.3 Schematic sheet of CORDICrotation unit

此模塊首先通過控制命令字、yz分量計算出旋轉(zhuǎn)的方向，然后對向量作旋轉(zhuǎn)。由于圓坐標和雙曲坐標模式下旋轉(zhuǎn)的角度不同，所以需要根據(jù)控制命令字進行選擇。由于使用了流水線結(jié)構(gòu)，移位操作實際上通過布線而靜態(tài)確定，不需要專門的移位器。模塊使用3個可進行加減運算的ALU單元分別對xyz分量進行修正。Rom存儲了圓坐標和雙曲坐標模式下的旋轉(zhuǎn)角度，其精度根據(jù)IP核的配置而定，可以簡單地通過在實例化verilog模塊時指定參數(shù)來進行配置。

2.4 后處理單元

由圖2可知，旋轉(zhuǎn)單元的輸出結(jié)果并不直接對應CORDIC協(xié)處理器所提供的函數(shù)。后處理單元對CORDIC旋轉(zhuǎn)單元的輸出結(jié)果進行處理，實現(xiàn)所需要的函數(shù)。具體的處理如表2所示。

表2 命令字對應的輸出處理Tab.2 Control words and corresponding post processing operations

此外，由于前處理單元對圓坐標輸入進行了象限折疊，后處理單元需要進行相應的修正。例如對于圓坐標旋轉(zhuǎn)模于是相應的后處理單元需要將x和y的值相交換。

2.5 補償單元

由（4）可知，CORDIC每次旋轉(zhuǎn)都會改變向量的模，故需要對最終的xy分量進行補償。由于向量模變化只與坐標系模式有關，故補償單元可以用一個常數(shù)乘法器實現(xiàn)。常數(shù)乘法器可以通過用華萊士樹把移位后幾個向量相加來實現(xiàn)。本文在線下通過程序窮舉找出了一組加減操作數(shù)最少乘數(shù)編碼方式，對于18位的配置，可以使用一個9輸入的華萊士樹和一個加法器實現(xiàn)，這使得該核在缺乏硬件乘法器的基于flash的Actel FPGA上也可以輕松使用。華萊士樹中一位的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 9位華萊士樹結(jié)構(gòu)Fig.4 The structure of a 9 input Wallace tree

3 性能分析

為了證明所提出的IP核的實用性，本文選取了迭代次數(shù)16-20，擴展位數(shù)為5位的幾種配置進行了綜合。綜合平臺使用了航天電子系統(tǒng)常用的2種 FPGA：A3P3000E和xc4vf40。綜合結(jié)果如表3所示。

可見本IP核具有較高的性能和較低的資源占用率，可以較容易地被集成，且隨著迭代次數(shù)和精度的提高，資源的增長趨勢穩(wěn)定，速度的下降并不明顯。

表3 本文提出的CORIDC協(xié)處理器實現(xiàn)與基于冗余數(shù)實現(xiàn)方案的綜合對比Tab.3 Comparison between proposed CORDIC coprocessor and redundant arithmetic based

一直以來有很多為加速CORDIC運算而提出的方法，其中很多使用了冗余數(shù)，試圖通過冗余數(shù)進位傳播有限的特點來降低加法器的延遲。但本文通過對比發(fā)現(xiàn)，基于冗余數(shù)的算法僅在A3P3000E的實現(xiàn)上有一定速度優(yōu)勢，而在virtex4上沒有速度優(yōu)勢，還在資源利用率上有很大劣勢。原因是當前的大多數(shù)FPGA針對常見運算邏輯，如加法器的實現(xiàn)作出了特殊優(yōu)化，使用了快速進位鏈降低加法器的進位延遲。相對的，由于FPGA缺乏對冗余數(shù)邏輯的支持，冗余數(shù)加法器需要由基本單元綜合生成，具有較大的布線延遲，且需要消耗大量的LUT或邏輯門資源。此外，由于冗余數(shù)使用2倍于補碼長度的編碼方式來表示數(shù)值，冗余數(shù)需要使用更多的寄存器寄存每級流水線的中間結(jié)果。綜上，對于有效位數(shù)較少的配置，本文提出的CORDIC協(xié)處理器具有更好的性能與資源利用更具優(yōu)勢。

4 精度與誤差

根據(jù)參考文獻[8]可知，CORDIC計算的誤差主要來自2部分：由于每次迭代時用來修正z分量的角度有限而產(chǎn)生的近似誤差和由于計算位數(shù)有限而產(chǎn)生的xy分量截斷誤差。為了盡量降低誤差，首先應該保證旋轉(zhuǎn)過程中用來修正z的數(shù)值是經(jīng)過舍入得到的，而不是簡單通過截斷得到的，這樣可以減小由于使用近似的旋轉(zhuǎn)角度而產(chǎn)生的舍入誤差。其次可以考慮在最終階段運算結(jié)果前進行舍入。運算結(jié)果的舍入可以在補償單元通過增加華萊士樹的輸入實現(xiàn)。即增加一個輸入變量，其大小為最低有效位的一半，符號與補償單元的輸入相同。除此之外，需要根據(jù)所需的精度合理選擇CORDIC協(xié)處理器的數(shù)據(jù)位數(shù)，增加擴展位，即對于n位的CORDIC運算，在迭代運算時使用n+m位，在迭代結(jié)束后舍棄m位，這樣做可以保證前面的n位不受到截斷誤差的影響.。本文選取了18位CORDIC來說明擴展位和迭代次數(shù)對精度的影響。對于圓坐標旋轉(zhuǎn)模式，輸入向量為x=2.0，y=0.0，z∈[-π，π]的所有可能輸入向量；對于圓坐標向量模式，輸入為模為2.0，夾角屬于[-π，π]的所有可能輸入向量；對于雙曲旋轉(zhuǎn)模式，輸入為 x=2.0，y=0.0，z∈[-1.0，1.0]的所有可能輸入向量；對于雙曲向量模式，輸入為 x=a+1，y=a-1，α∈[0.25，1.0]的所有可能輸入。各個函數(shù)的誤差與所選取的迭代次數(shù)和擴展位的關系如表4所示。

表4 幾種配置下的各函數(shù)的計算誤差，單位為ulpTab.4 Error of functions under several configurations

其中ulp為最低位單位。對于20位定點數(shù)有1ulp=2-18。配置為擴展位數(shù)和迭代次數(shù)。通過實驗可以發(fā)現(xiàn)，對擴展后的向量進行截斷會帶來顯著的誤差增長。并且只會在使用較長擴展位時對結(jié)果進行舍入才有明顯的效果，因為擴展位較少的情況下舍入反而可能會讓結(jié)果向錯誤的方向舍入。最后值得注意的是雙曲模式下的函數(shù)誤差高于圓坐標模式，由（8）可知這是由于雙曲模式向量角度收斂性更差而導致的。

5 結(jié)束語

本文提出的CORDIC協(xié)處理器可以容易地集成進目前常見的航天級FPGA中，為CPU提供更強的三角函數(shù)和超越函數(shù)運算能力。在中端的V4系列FPGA中實現(xiàn)萬分之1精度的三角函數(shù)和超越函數(shù)只需要不到10%的資源，并可運行于較高的系統(tǒng)時鐘下。CORDIC協(xié)處理器提供了并行運算幾種常用三角和超遠函數(shù)的功能，不僅適用于導航計算機，也可以被用于其他有大量實時性計算需求的嵌入式系統(tǒng)中。

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