王樂洋，于冬冬，呂開云

1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌330013；2.江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌330013；3.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌330013

1 引 言

在測量數(shù)據(jù)處理中經(jīng)典最小二乘法的應(yīng)用最為廣泛，各種新方法、新公式的推導(dǎo)都是在經(jīng)典最小二乘的基礎(chǔ)上進行的，然而，這些研究都是在實數(shù)域內(nèi)進行的。在復(fù)數(shù)域內(nèi)，最小二乘同樣發(fā)揮著重要的作用，但其研究比較少，在當(dāng)前的復(fù)數(shù)最小二乘算法研究中，文獻［1］最早提出了復(fù)數(shù)線性最小二乘算法，探討了最小二乘估計、線性最優(yōu)無偏估計及馬爾科夫估計之間的關(guān)系，得出在一定條件下，最小二乘估計和馬爾科夫估計兩者等價；文獻［2］在平差準(zhǔn)則1下將目標(biāo)函數(shù)矢量具體化后推導(dǎo)了復(fù)數(shù)最小二乘方法的估計公式；文獻［3］和文獻［4］研究了基于U－D分解的復(fù)數(shù)最小二乘估計方法，推導(dǎo)了既加權(quán)又使用遺忘因子的復(fù)參數(shù)最小二乘估計方法；文獻［5］給出了復(fù)數(shù)最小二乘估計公式的證明，驗證了該算法的有效性；文獻［6］探討了以相對誤差為平差準(zhǔn)則的復(fù)數(shù)最小二乘估計法，改進了一般復(fù)數(shù)最小二乘算法，并通過算例說明了該改進算法的優(yōu)勢。在應(yīng)用方面，目前復(fù)數(shù)域最小二乘主要被應(yīng)用在汛期預(yù)報［2］、解決如何確定復(fù)自憶系數(shù)問題［7］、月平均氣溫的預(yù)報［8］、地震傳感器的相對和絕對定向［9］、逆變器故障實時監(jiān)測［10］、PolInSAR 植被高反演［11］中。實數(shù)域內(nèi)，由于最小二乘平差準(zhǔn)則只考慮了觀測向量含有誤差的情況，而假定系數(shù)矩陣不受噪聲的擾動影響，而在有些情況下，如在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，此時的系數(shù)矩陣元素并不是精確值，而是通過測量得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)組成，這時系數(shù)矩陣就必然含有誤差，如果僅考慮觀測量的誤差顯然是不合理的；因此，近年來針對實數(shù)域內(nèi)系數(shù)矩陣含有誤差的總體最小二乘方法進行了大量的研究［12－26］。在復(fù)數(shù)域中，系數(shù)矩陣含有誤差的情況是同樣存在的，雖然復(fù)數(shù)域最小二乘的相關(guān)研究已經(jīng)取得一定的成果，但在復(fù)數(shù)總體最小二乘方面，國內(nèi)外未見相關(guān)研究報道。本文基于復(fù)數(shù)域內(nèi)最小二乘的基礎(chǔ)上，提出復(fù)數(shù)域內(nèi)總體最小二乘平差方法，并推導(dǎo)了復(fù)數(shù)總體最小二乘和復(fù)數(shù)混合總體最小二乘的估計公式，通過兩個算例比較分析了復(fù)數(shù)觀測值的殘差的模的平方和最?。ㄆ讲顪?zhǔn)則1）下［2，11］的復(fù)數(shù)最小二乘、復(fù)數(shù)觀測值的殘差的實部和虛部的平方和分別最?。ㄆ讲顪?zhǔn)則2）下［11］的復(fù)數(shù)最小二乘、復(fù)數(shù)觀測值和系數(shù)矩陣的殘差的模的平方和最小（平差準(zhǔn)則3）下的復(fù)數(shù)總體最小二乘以及復(fù)數(shù)觀測值和系數(shù)矩陣的殘差的實部和虛部的平方和分別最?。ㄆ讲顪?zhǔn)則4）下的復(fù)數(shù)總體最小二乘方法計算得到的結(jié)果，得出在復(fù)數(shù)觀測向量和系數(shù)矩陣都含有誤差且獨立等精度的情況下，平差準(zhǔn)則3下的復(fù)數(shù)總體最小二乘要優(yōu)于平差準(zhǔn)則1下的復(fù)數(shù)最小二乘；平差準(zhǔn)則3下復(fù)數(shù)總體最小二乘和平差準(zhǔn)則1下復(fù)數(shù)最小二乘要分別比在平差準(zhǔn)則4和平差準(zhǔn)則2下得到的結(jié)果穩(wěn)定和合理。在下文中，對相應(yīng)的平差準(zhǔn)則分別簡稱為平差準(zhǔn)則1和平差準(zhǔn)則2等。

2 復(fù)數(shù)域內(nèi)總體最小二乘

平差模型為

式中，L為觀測值向量；e為觀測值的噪聲；A為n×m的系數(shù)矩陣；EA為系數(shù)矩陣的噪聲；X為m個未知參數(shù)且A、L、e、EA、X都為復(fù)數(shù)。將式（1）改寫為

式中，eA＝vec（EA）為EA的按列拉直變換；?為Kronecker直積因此，式（2）可以表示為

令

于是式（3）可以改寫為

定義：設(shè)復(fù)隨機向量Y＝AX＋B，其中，Y、X、B是m×1向量，A是m×m復(fù)數(shù)矩陣，X～CN（0，Im），則Y服從的分布為［27］

式中，CN為復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

根據(jù)式（4）及上述定義，由協(xié)因數(shù)傳播定律容易得到協(xié)因數(shù)陣為

在實數(shù)域內(nèi)，式（7）對X求偏導(dǎo)并令等式為零即可求得參數(shù)的最佳估值；但在復(fù)數(shù)域內(nèi)，不能像實數(shù)那樣直接求導(dǎo)［2］，又因為在數(shù)學(xué)中，模的平方等于實部的平方加上虛部的平方，所以將式（7）寫成矢量形式，即

則

這樣對參數(shù)X中每個分量的求導(dǎo)便可以轉(zhuǎn)化為分別對實部及虛部求偏導(dǎo)并分別令其偏導(dǎo)等于零，且在對虛部求偏導(dǎo)過程中存在的I2不求出其具體值即－1，而是保持其為I2的形式。為此，把Q的每一項具體寫出

式中，xj為參數(shù)X的第j個具體參數(shù)；aij為系數(shù)矩陣A中第i行第j列對應(yīng)的具體元素；Li表示L中第i個觀測量。

Q對實部求偏導(dǎo)并令其等于零，即

同理，Q對虛部求偏導(dǎo)并令其等于零，得

將式（11）移項并整理得

將式（12）移項并整理得

式（13）減式（14）得

將式（15）簡化為

將式（16）表示成

令

則式（18）可表示為

式（20）可以通過迭代解算得到參數(shù)估值，計算步驟如下：

時，計算結(jié)束（ε是個微小量）。

由文獻［1］中單位權(quán)方差的極大似然估計可知，復(fù)數(shù)域內(nèi)的單位權(quán)方差估計原理同實數(shù)域內(nèi)是一致的，因此本文中單位權(quán)方差的估計可以通過式（21）得到

由式（20）可得

由協(xié)因數(shù)傳播律可得

因此，參數(shù)的協(xié)方差陣為

3 復(fù)數(shù)域內(nèi)混合總體最小二乘

設(shè)函數(shù)模型為

假設(shè)矩陣A1沒有誤差影響，m＝m1＋m2，并且A1、A2均為列滿秩，將其系數(shù)矩陣進行分塊處理如下

則式（25）可以表示為

顧及系數(shù)矩陣和觀測向量的誤差，混合總體最小二乘函數(shù)模型為

且假定誤差向量

將式（28）改寫成

與式（6）同理，根據(jù)式（31）可以得出的協(xié)因數(shù)陣為

于是平差準(zhǔn)則可以表示為

式中，x2p表示參數(shù)X2中的第p個具體參數(shù)。令分別為參數(shù)X、X2的估值，由式（34）可得

式（35）可簡化為

式中

因為A1為列滿秩矩陣，所以N11也為滿秩矩陣，且存在唯一逆矩陣，則由式（37）可以得到

將式（40）代入式（38）并整理得

可以通過迭代解算得到，步驟如下：

（5）當(dāng)

時計算結(jié)束（ε為微小量）。

本文中，在平差準(zhǔn)則4下總體最小二乘是將系數(shù)矩陣和觀測向量殘差的實部和虛部分開分別利用實數(shù)域內(nèi)總體最小二乘迭代算法分別得到參數(shù)估值的實部和虛部值，將兩者結(jié)合得到復(fù)數(shù)參數(shù)的最終估值。

4 算例與分析

4.1 算例1

模擬系數(shù)矩陣和參數(shù)真值，并對系數(shù)矩陣A和觀測向量L分別加入服從正態(tài)分布的誤差。模擬數(shù)據(jù)如下，系數(shù)矩陣A的真值為

參數(shù)X的真值為

觀測向量L的真值。對系數(shù)矩陣和觀測向量分別加入服從同一正態(tài)分布的誤差即，本文中取值為0.01，由Matlab隨機給出。具體解算方案見表1，表1中4種方案模擬100次結(jié)果的平均值見表2。

表1 方案列表Tab.1 The list of schemes

4.2 算例2

將文獻［11］中簡單例子加以修改，利用復(fù)數(shù)域線性模型y＝a＋bx構(gòu)造算例，其中待求參數(shù)a、b的真值為及y的真值為［11］

表2 不同方法的計算結(jié)果Tab.2 The results from different methods

圖1 不同方案下復(fù)數(shù)最小二乘參數(shù)估值變化Fig.1 The map of parameters of CLSAM under different adjustment criterions

圖2 不同方案下復(fù)數(shù)總體最小二乘參數(shù)估值變化Fig.2 The map of parameters of CTLSAM under different adjustment criterions

圖3 不同方案下參數(shù)估值與真值殘差范數(shù)圖Fig.3 The map of the norm of the parameters residual under different methods

圖4 對圖3結(jié)果的放大圖Fig.4 The map of amplification to Fig.3

將式（42）模型變?yōu)?/p>

在Matlab中對y和x分別加入服從同一正態(tài)分布的復(fù)數(shù)模擬誤差，模擬方差ˉσ2取值為1；由于系數(shù)矩陣中有一列為常數(shù)項，應(yīng)用復(fù)數(shù)域內(nèi)混合總體最小二乘來進行參數(shù)的求解。結(jié)果同樣為模擬100次的平均值，利用表1中4種方案計算得到的結(jié)果見表3，參數(shù)估值和殘差（估值與真值之差）范數(shù)變化如圖5—圖7所示。

表3 不同方法的解算結(jié)果Tab.3 The results from different methods

圖5 不同方案下復(fù)數(shù)最小二乘參數(shù)估值變化圖Fig.5 The map of parameters of CLSAM under different adjustment criterions

圖6 不同方案下復(fù)數(shù)總體最小二乘參數(shù)估值變化圖Fig.6 The map of parameters of CTLSAM under different adjustment criterions

圖7 不同方案下參數(shù)估值與真值殘差范數(shù)圖Fig.7 The map of the norm of the parameters residual under different methods

4.3 算例分析

（1）從算例1和算例2可以得出，平差準(zhǔn)則3下復(fù)數(shù)總體最小二乘（方案3）和平差準(zhǔn)則1下復(fù)數(shù)最小二乘（方案1）得到的差值范數(shù) ΔX分別比在平差準(zhǔn)則4下復(fù)數(shù)總體最小二乘（方案4）和平差準(zhǔn)則2下復(fù)數(shù)最小二乘（方案2）得到的結(jié)果?。槐?中方案3和方案4得到的差值范數(shù)分別為0.089 280 72和18.376 667 09、方案1和方案2為0.089 296 30和8.743 591 78；表3中方案3和方案4得到的結(jié)果分別為1.126 720 65和15.701 551 10、方案1和方案2為1.166 167 75和11.876 885 95。綜合表2、表3和圖1、圖2、圖5、圖6可以得出，對于復(fù)數(shù)域平差問題，平差準(zhǔn)則1下的最小二乘和平差準(zhǔn)則3下的總體最小二乘得到的參數(shù)估值分別比在平差準(zhǔn)則2下的最小二乘和平差準(zhǔn)則4下的總體最小二乘得到的參數(shù)估值要更為準(zhǔn)確和合理。

（3）從試驗結(jié)果看，表1中方案1和方案3得到的差值范數(shù)差異很小，而表2中兩種方案之間的差異相對大些。造成上述結(jié)果的原因可以從以下兩方面來解釋：①在算例1中，系數(shù)矩陣的模擬誤差很小，而算例2中系數(shù)矩陣的模擬誤差較大，所以導(dǎo)致算例1中平差準(zhǔn)則3下的復(fù)數(shù)總體最小二乘和平差準(zhǔn)則1下的復(fù)數(shù)最小二乘的結(jié)果相差甚小，算例2中差異明顯；②當(dāng)系數(shù)矩陣存在誤差時，此時用最小二乘方法求解造成的偏差與系數(shù)矩陣的信噪比即SN＝的二次方成反比［28］，其中為系數(shù)矩陣的量級，σa為系數(shù)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)差。算例1中，系數(shù)矩陣的信噪比的數(shù)量級約為102，可得最小二乘估計的偏差大約為10－4，此時得到的總體最小二乘解和最小二乘解差異甚微；同理可得在算例2中，系數(shù)矩陣的信噪比的數(shù)量級約為10，最小二乘估計偏差大約為10－2，此時總體最小二乘方法得到的結(jié)果和最小二乘得到的結(jié)果有明顯的差異。

（4）從兩個算例的解算結(jié)果看，方案3得到的結(jié)果要優(yōu)于方案1，而方案2卻優(yōu)于方案4。因為將殘差的實部和虛部的平方和分別最小的平差準(zhǔn)則（平差準(zhǔn)則2或平差準(zhǔn)則4）將原矩陣分裂為實部和虛部，然后用實數(shù)域的方法求解，破壞了原矩陣的完整性，丟失了其中的一些蘊含信息，使數(shù)據(jù)失真［7］。如果把實部和虛部分開采用實數(shù)最小二乘來分別求解得到的結(jié)果是不能使平差準(zhǔn)則取得最小的，并不是真正意義上的最小二乘［2，8］，總體最小二乘也一樣。在這種情況下，總體最小二乘盡管考慮了系數(shù)矩陣的誤差，但同時也損失了更多的信息。下面通過推導(dǎo)進行簡單說明。假設(shè)ReA、ImA、ReEA、ImEA分別為系數(shù)矩陣A和其誤差EA對應(yīng)的實部和虛部，ReL、ImL、ReV、ImV分別為觀測值L和觀測值誤差V對應(yīng)的實部和虛部，ReX、ImX分別為參數(shù)X對應(yīng)的實部和虛部，則復(fù)數(shù)情況下最小二乘下的觀測方程可表示為

將式（44）展開為

式中，I為復(fù)數(shù)單元。則在方案2下求得的解等價于最小二乘準(zhǔn)則下分別對實部觀測方程ReAReX＝ReL＋ReV和虛部觀測方程ImAImX＝ImL＋ImV進行求解后得到的解的結(jié)合，損失的信息為

同上，復(fù)數(shù)總體最小二乘情況下的觀測方程可同樣的表示成

則利用方案4求解時損失的信息為

因此，相比方案2，利用方案4求解時雖然顧及了系數(shù)矩陣的誤差，但同時也損失了系數(shù)矩陣誤差項的部分信息，數(shù)據(jù)的失真要更為嚴(yán)重，得到的結(jié)果更加不合理。

5 結(jié) 論

本文在復(fù)數(shù)域最小二乘的基礎(chǔ)上，提出了復(fù)數(shù)域總體最小二乘平差方法，并推導(dǎo)出了相關(guān)的一般復(fù)數(shù)總體最小二乘公式和復(fù)數(shù)混合總體最小二乘公式，通過算例結(jié)果得出：平差準(zhǔn)則1下復(fù)數(shù)最小二乘較平差準(zhǔn)則2下得到的結(jié)果更加合理，平差準(zhǔn)則3下復(fù)數(shù)總體最小二乘較平差準(zhǔn)則4下得到的結(jié)果更為準(zhǔn)確；當(dāng)顧及復(fù)數(shù)系數(shù)矩陣誤差時，平差準(zhǔn)則3下復(fù)數(shù)總體最小二乘方法要優(yōu)于平差準(zhǔn)則1下復(fù)數(shù)最小二乘方法。本文通過模擬算例探討了在系數(shù)矩陣和觀測向量獨立等精度情況下的復(fù)數(shù)總體最小二乘方法，關(guān)于其應(yīng)用方面和當(dāng)觀測值及系數(shù)矩陣不等精度時的復(fù)數(shù)加權(quán)總體最小二乘方法還需要作進一步研究。

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