于正榮

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關(guān)探討，并給出了四種特殊的分解結(jié)果。

關(guān)鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調(diào)將復(fù)雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學(xué)中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質(zhì)點以O(shè)點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經(jīng)過x軸上的A點開始計時，經(jīng)時間t，相對圓心O轉(zhuǎn)過α角運動到圖1中的P點，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質(zhì)點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設(shè)質(zhì)點以速度v從O點出發(fā)，沿順時針方向做勻速圓周運動，質(zhì)點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質(zhì)點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發(fā)，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動。現(xiàn)證明如下：

設(shè)質(zhì)點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以O(shè)P與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設(shè)質(zhì)點從O點開始經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達Q點，則由幾何關(guān)系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結(jié)論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設(shè)質(zhì)點從坐標原點O出發(fā)，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設(shè)質(zhì)點再經(jīng)任意時間t運動到Q點，這時我們?nèi)钥蓪⒋丝痰乃矔r速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設(shè)質(zhì)點從O到Q相對圓心P轉(zhuǎn)過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉(zhuǎn)過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉(zhuǎn)方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應(yīng)的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經(jīng)非常簡單，但我們?nèi)钥蓪λM行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復(fù)雜程度也不同，但結(jié)果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學(xué)部分學(xué)習(xí)勻速圓周運動時，鑒于學(xué)生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態(tài)度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產(chǎn)生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應(yīng)運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復(fù)雜，就失去了分解的意義。這一點，在學(xué)習(xí)圓周運動時，為消除學(xué)生的困惑，應(yīng)該向?qū)W生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學(xué)探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學(xué)探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學(xué)物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關(guān)探討，并給出了四種特殊的分解結(jié)果。

關(guān)鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調(diào)將復(fù)雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學(xué)中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質(zhì)點以O(shè)點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經(jīng)過x軸上的A點開始計時，經(jīng)時間t，相對圓心O轉(zhuǎn)過α角運動到圖1中的P點，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質(zhì)點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設(shè)質(zhì)點以速度v從O點出發(fā)，沿順時針方向做勻速圓周運動，質(zhì)點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質(zhì)點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發(fā)，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動?，F(xiàn)證明如下：

設(shè)質(zhì)點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以O(shè)P與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設(shè)質(zhì)點從O點開始經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達Q點，則由幾何關(guān)系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結(jié)論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設(shè)質(zhì)點從坐標原點O出發(fā)，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設(shè)質(zhì)點再經(jīng)任意時間t運動到Q點，這時我們?nèi)钥蓪⒋丝痰乃矔r速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設(shè)質(zhì)點從O到Q相對圓心P轉(zhuǎn)過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉(zhuǎn)過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉(zhuǎn)方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應(yīng)的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經(jīng)非常簡單，但我們?nèi)钥蓪λM行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復(fù)雜程度也不同，但結(jié)果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學(xué)部分學(xué)習(xí)勻速圓周運動時，鑒于學(xué)生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態(tài)度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產(chǎn)生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應(yīng)運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復(fù)雜，就失去了分解的意義。這一點，在學(xué)習(xí)圓周運動時，為消除學(xué)生的困惑，應(yīng)該向?qū)W生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學(xué)探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學(xué)探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學(xué)物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關(guān)探討，并給出了四種特殊的分解結(jié)果。

關(guān)鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調(diào)將復(fù)雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學(xué)中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質(zhì)點以O(shè)點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經(jīng)過x軸上的A點開始計時，經(jīng)時間t，相對圓心O轉(zhuǎn)過α角運動到圖1中的P點，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質(zhì)點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設(shè)質(zhì)點以速度v從O點出發(fā)，沿順時針方向做勻速圓周運動，質(zhì)點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質(zhì)點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發(fā)，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動?，F(xiàn)證明如下：

設(shè)質(zhì)點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以O(shè)P與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設(shè)質(zhì)點從O點開始經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達Q點，則由幾何關(guān)系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結(jié)論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設(shè)質(zhì)點從坐標原點O出發(fā)，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設(shè)質(zhì)點再經(jīng)任意時間t運動到Q點，這時我們?nèi)钥蓪⒋丝痰乃矔r速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設(shè)質(zhì)點從O到Q相對圓心P轉(zhuǎn)過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉(zhuǎn)過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉(zhuǎn)方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應(yīng)的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經(jīng)非常簡單，但我們?nèi)钥蓪λM行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復(fù)雜程度也不同，但結(jié)果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學(xué)部分學(xué)習(xí)勻速圓周運動時，鑒于學(xué)生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態(tài)度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產(chǎn)生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應(yīng)運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復(fù)雜，就失去了分解的意義。這一點，在學(xué)習(xí)圓周運動時，為消除學(xué)生的困惑，應(yīng)該向?qū)W生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學(xué)探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學(xué)探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學(xué)物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）