朱立東，鄧超升

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都611731)

0 引言

在無線移動(dòng)通信系統(tǒng)中，同頻干擾(Co-Channel Interference，CCI)、多址干擾(Multiple Address Interference，MAI)是影響系統(tǒng)容量和性能的因素之一。智能天線技術(shù)為解決頻率資源不足、提高移動(dòng)通信系統(tǒng)容量和系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量提供了一個(gè)有效的解決途徑。在智能天線技術(shù)的研究中，入射信號(hào)的DOA(Direction Of Arrival)估計(jì)作為一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容受到廣泛關(guān)注。根據(jù)入射信號(hào)帶寬的不同，DOA估計(jì)方法可分為兩大類:窄帶信號(hào)DOA估計(jì)和寬帶信號(hào)DOA估計(jì)。常用的寬帶信號(hào)DOA估計(jì)方法大致分為信號(hào)子空間方法和最大似然估計(jì)方法。在信號(hào)子空間方法的幾個(gè)分類中，非相干信號(hào)子空間方法(Incoherent Signal-Subspace Method，ISSM)[1]是最簡(jiǎn)單的寬帶信號(hào)處理方法，該方法在高信噪比時(shí)簡(jiǎn)單有效，但在低信噪比下對(duì)某些頻段信號(hào)的DOA估計(jì)效果非常不理想，降低了整體的估計(jì)性能，且該方法不能處理相干源?；诮嵌阮A(yù)估計(jì)的相干信號(hào)子空間方法(Coherent Signal-Subspace Method，CSSM)[2]通過構(gòu)造聚焦矩陣，將預(yù)估角度處每個(gè)頻點(diǎn)的陣列流形對(duì)齊到聚焦頻率處，通過陣列流形替換實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，該方法在克服ISSM方法缺陷的同時(shí)容易引入角度預(yù)估計(jì)誤差，從而影響DOA估計(jì)性能。為進(jìn)一步消除角度預(yù)估計(jì)誤差帶來的影響，近年來出現(xiàn)了很多無需角度預(yù)估計(jì)的寬帶波達(dá)方向估計(jì)算法[3]。文獻(xiàn)[4-6]提出基于波場(chǎng)模型的陣列流形內(nèi)插方法(Array Manifold Interpolation，AMI)，將陣列流形分為僅與陣列結(jié)構(gòu)和頻率有關(guān)的采樣矩陣和僅與波達(dá)方向有關(guān)的向量，并且對(duì)二維及三維陣列的波場(chǎng)模型分別進(jìn)行建模;文獻(xiàn)[7]針對(duì)稀疏均勻圓陣，給出基于流形分離技術(shù)(MST)的DOA估計(jì)方法;文獻(xiàn)[8]將基于流形分離技術(shù)的波達(dá)方向估計(jì)方法應(yīng)用到非均勻圓陣上;文獻(xiàn)[9]在直線陣的基礎(chǔ)上，給出一種采用傅里葉-勒讓德級(jí)數(shù)展開構(gòu)造變換矩陣的寬帶聚焦估計(jì)方法;文獻(xiàn)[10]研究了不同陣列結(jié)構(gòu)對(duì)空間角度估計(jì)的影響，并用仿真分析給出幾種常見陣列在低俯仰角下空間到達(dá)角的估計(jì)性能，驗(yàn)證均勻圓陣在信號(hào)空間到達(dá)角估計(jì)中的優(yōu)越性。

在以上文獻(xiàn)和方法的啟發(fā)下，提出一種均勻圓陣下寬帶相干信號(hào)的二維來波方向估計(jì)新方法。先使用多項(xiàng)式展開的方法實(shí)現(xiàn)陣列流形矢量的頻率與角度的分離，再選取簡(jiǎn)易的與頻率有關(guān)的采樣矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，在保證聚焦前后無損失的基礎(chǔ)上減小計(jì)算復(fù)雜度。此外，針對(duì)均勻圓陣在俯仰角較小或較大時(shí)對(duì)空間角估計(jì)精度較差的問題提出有效的解決方法。仿真分析表明，所提方法可以獲得較優(yōu)的2D-DOA估計(jì)效果，且該方法可推廣至任意的陣列結(jié)構(gòu)，并明顯改善2D-DOA估計(jì)性能。

1 信號(hào)模型和算法描述

1.1 信號(hào)模型

對(duì)于任意一個(gè)含有M個(gè)陣元的幾何平面陣列，設(shè)第m個(gè)陣元的位置為(xm，ym，0)，接收N(M≥N)個(gè)位于遠(yuǎn)場(chǎng)的寬帶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，噪聲為加性帶通高斯白噪聲，且噪聲與源信號(hào)相互獨(dú)立。則第m個(gè)陣元的接收信號(hào)在時(shí)域中的表達(dá)式為

其中，sn(t)為第n個(gè)信號(hào)源;nm(t)為第m個(gè)陣元上的加性高斯白噪聲;τmn= (xmcosφn+ymsinφn)sinθn/c為第m個(gè)陣元接收源信號(hào)相對(duì)于參考點(diǎn)陣元接收信號(hào)的傳播時(shí)間延遲，其中，c為光速，(θn，φn)為第n個(gè)源信號(hào)的俯仰角和方位角，m=1，2，…，M ，n=1，2，…，N 。

對(duì)陣列的接收信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，并將整個(gè)信號(hào)帶寬劃分為J個(gè)子頻帶，各子頻帶的中心頻率分別為 f1，f2…，fj，…，fJ，則接收陣列在頻域內(nèi)對(duì)應(yīng)于頻率fj的輸出信號(hào)可以表示為

其中，j=1，2，…，J;X(fj)=[X1(fj)，X2(fj)，…，Xm(fj)，…，XM(fj)]T，Xm(fj)為第 m 個(gè)陣元對(duì)應(yīng)于頻率 fj的輸出;A(fj)=[a1(fj)，a2(fj)，…，am(fj)，…，aM(fj)]T為對(duì)應(yīng)于頻率fj的陣列流形矩陣，am(fj)為導(dǎo)向矢量，其表達(dá)式為am(fj)= [ei2πfjτm1，ei2πfjτm2，…，ei2πfjτmn，…，ei2πfjτmN]，其中;S(fj)和 N(fj)分別為信號(hào)和噪聲在第fj頻段上的輸出矩陣，S(fj)=[S1(fj)，S2(fj)，…，SM(fj)]T，N(fj)=[N1(fj)，N2(fj)，…，NM(fj)]T。

1.2 常規(guī)算法

文獻(xiàn)[11]對(duì)傅里葉變換在平面、柱、球陣波束形成和DOA估計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行全面分析。對(duì)于平面陣列，其陣元坐標(biāo)可通過相應(yīng)的映射關(guān)系將其轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為

在球坐標(biāo)下，設(shè)陣元坐標(biāo)向量為 p=Rm[sinθmcosφm，sinθmsinφm，cosθm]T，同時(shí)設(shè)頻率 fj對(duì)應(yīng)的第n個(gè)信號(hào)Sn(fj)的波束向量為k=[kjsinθncosφn，kjsinθnsinφn，kjcosθn]T，其 中 kj=－2π/λj=－2πfj，則信號(hào)Sn(fj)在第m個(gè)陣元處的接收信號(hào)可以表示為

因此，設(shè) N個(gè)信號(hào)的來波方向?yàn)?Ζ(N)={(θ1，φ1)，…，(θn，φn)，…，(θN，φN)}，第m個(gè)陣元對(duì)應(yīng)于頻率fj的導(dǎo)向矢量αm(fj)可以寫為αm(fj)=[αm(fj，θ1，φ1)，…，αm(fj，θn，φn)，…，αm(fj，θN，φN)]。其中，αm(fj，θn，φn)= exp{ikjRm[sinθnsinθmcos(φn－φm)+cosθncosθm]}，αm(fj)中的元素 αm(fj，θn，φn)可用球形貝塞爾函數(shù)及球函數(shù)的級(jí)數(shù)展開表示。

其中jξ(·)為 ξ階球形貝塞爾函數(shù)，Ylξ(·)為 ξ階l度的球函數(shù)。Ylξ(θ，φ)可以表示為

其中，Plξ(·)為ξ階l度的連帶勒讓德函數(shù)，表達(dá)式為

歸一化的球函數(shù)可以表示為

針對(duì)球貝塞爾函數(shù)，其與貝塞爾函數(shù)(第一類)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下

將式(8)和式(9)帶入式(5)，則 αm(fj，θn，φn)可以表示為

其中，C=(2ξ+1)(ξ－l)!/((ξ+l)!)。

從式(11)可知，αm(fj，θn，φn)可以分為兩項(xiàng)，一項(xiàng)僅與陣列的結(jié)構(gòu)和頻率有關(guān)，另外一項(xiàng)與信號(hào)的來波方向有關(guān)。因此，陣列流形矩陣A(fj)可以分為兩個(gè)部分，一部分與陣列結(jié)構(gòu)和頻率有關(guān)，另一部分只與波達(dá)方向有關(guān)。設(shè)僅與陣列結(jié)構(gòu)和頻率有關(guān)的采樣矩陣 為 G(fj)= [G1，…，Gm，…，GM]T，Gm=[g00，g1－1，g01，g11，…，]T，故導(dǎo)向矢量 αm(fj)又可以表示為αm(fj)=Gm·Ψ，Ψ為關(guān)于ψln的向量。Gm的表達(dá)式中對(duì)于矩陣G(fj)，根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，可以選取適當(dāng)?shù)慕財(cái)鄠€(gè)數(shù)Nc(通常取Nc=2×(2πfjRm/c))，得到截?cái)嗪蟮腉(fj)為M×(Nc+1)2維的矩陣，之后可選取相應(yīng)的方法構(gòu)造聚焦矩陣。幾種常見的方法有:基于波場(chǎng)模型的陣列流形內(nèi)插方法[5]和旋轉(zhuǎn)信號(hào)子空間的陣列流形內(nèi)插方法[12]。使用聚焦矩陣可獲得性質(zhì)類似于窄帶相關(guān)矩陣的寬帶相關(guān)矩陣，進(jìn)而獲得寬帶信號(hào)的DOA信息。

2 改進(jìn)算法

考慮一個(gè)以圓心為參考點(diǎn)的均勻圓陣，設(shè)陣列的半徑為寬帶信號(hào)起始頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的p倍，則Rm為定值，即 Rm=pλ0=pc/f0。又 kj=－2π/λj=－2πfj/c，則 kjRm=2πfjp/f0。此時(shí)，式(10)中球形貝塞爾級(jí)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)可化簡(jiǎn)得到

將(12)式帶入(10)式，αm(fj，θn，φn)可以化簡(jiǎn)得到

通過帶入歸一化球函數(shù)的表達(dá)式，可以將αm(fj，θn，φn)進(jìn)一步寫為

其中，C1為常數(shù)項(xiàng)，表達(dá)式為C1=(2ξ+1)(ξl)!/(4π(ξ+l)!)。通過進(jìn)一步化簡(jiǎn)與常數(shù)項(xiàng)合并，αm(θn，φn，fj)可以表示為

其中，C1為常數(shù)項(xiàng)，表達(dá)式為1)(ξ－l)!/((ξ+l)!)。

在此基礎(chǔ)上，考慮信號(hào)帶寬。對(duì)于寬帶信號(hào)，其相對(duì)帶寬定義為:ffoc=2(fH－fL)/(fH+fL)，其中fH和fL分別為寬帶信號(hào)的最高頻率和最低頻率，fL=f0。若將整個(gè)頻率帶劃分成J個(gè)子頻率帶，則第j(j=0，1，…，J－1)個(gè)子頻率可以表示為

令ρ=fH/fL，顯然ρ＞1，由此可以得到

在均勻圓陣圓心的軸上增加一個(gè)全向陣元，設(shè)該陣元的編號(hào)為 M+1 ，為了保證 αM+1(fj，θn，φn)的可分離性，RM+1不能為0。設(shè)RM+1=qλ0，選取q為一個(gè)較小的數(shù)，可使包含陣元M+1的立體陣趨近于平面陣，此陣列布局易于工程實(shí)現(xiàn)。對(duì)于該陣元，其在球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可以表示為:RM+1=qλ0，θM+1=0°，φM+1可以為任意值。當(dāng)陣元處于Z軸上時(shí)，φM+1取值已無意義，但考慮到構(gòu)造(fj)的需要，因此對(duì)其進(jìn)行賦值。在φM+1=0°的情況下，對(duì)于陣元M+1，αM+1(fj，θn，φn)=exp(ikjRM+1cosθn)，顯然，該項(xiàng)可以用球貝塞爾函數(shù)及球函數(shù)的級(jí)數(shù)形式表示，并劃分成兩個(gè)部分:一部分只和該陣元的位置和頻率有關(guān)，另一部分只和來波方向和對(duì)應(yīng)該頻率的衰減系數(shù)有關(guān)。

(19)式的擬合解為

其中，Uj、Vj分別為 G(f0)G(fj)H的左、右奇異矢量組成的矩陣。求得聚焦矩陣Tj后，進(jìn)而可求得對(duì)應(yīng)于每個(gè)頻率的聚焦變換后的相關(guān)矩陣 ^R(fj)，其表達(dá)式為

對(duì)聚焦后的數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣進(jìn)行相加求平均，可得到相關(guān)矩陣R，其表達(dá)式為

由式(15)可知，R可視為一個(gè)窄帶相關(guān)矩陣，且包含原寬帶信號(hào)的所有信息。因此，可按照窄帶信號(hào)DOA估計(jì)方法的步驟對(duì)該相關(guān)矩陣進(jìn)行處理，從而得到寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)信息。此外，由于R的構(gòu)成過程中對(duì)所劃分的各個(gè)頻率分量進(jìn)行平滑處理，因而R具有解相干性能，能處理寬帶相干信號(hào)。

根據(jù)以上理論分析，采用文中方法構(gòu)造聚焦矩陣的寬帶相干二維DOA估計(jì)方法的步驟可總結(jié)如下:

(1)將陣列接收信號(hào)的快拍數(shù)據(jù)分為K段，每段含有L個(gè)快拍，同時(shí)將頻帶劃分為J個(gè)頻段;

(2)分別對(duì)每段數(shù)據(jù)進(jìn)行DFT變換，得到J個(gè)頻段的陣列接收數(shù)據(jù);

(3)分別對(duì)J個(gè)頻段的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造頻域采樣空間相關(guān)矩陣:

(4)對(duì)G(f0)G(fj)H進(jìn)行奇異值分解，求得Uj、Vj，再利用式(20)求出聚焦變換矩陣Tj;

(5)根據(jù)式(22)得到組合加權(quán)后的相關(guān)矩陣，并進(jìn)行特征值分解，得到噪聲子空間和信號(hào)子空間;

(6)利用二維MUSIC算法進(jìn)行來波方向估計(jì)。

所述算法在計(jì)算聚焦變換矩陣Tj的過程中，盡可能剔除與頻率無關(guān)的乘積項(xiàng)來化簡(jiǎn)采樣矩陣(fj)，并且巧妙地結(jié)合均勻圓陣的特點(diǎn)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)(fj)，在提高聚焦效果的同時(shí)減小了計(jì)算量。此外，根據(jù)空間角估計(jì)精度隨俯仰角的變化情況，可適當(dāng)調(diào)整陣列結(jié)構(gòu)，能夠改善估計(jì)性能。

3 數(shù)值仿真分析

假設(shè)陣列的接收信號(hào)為遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)，中心頻率為f0=100 Hz，信號(hào)相對(duì)帶寬為40%，采樣頻率fs=256 Hz，噪聲為加性零均值帶通高斯白噪聲，噪聲與源信號(hào)相互獨(dú)立，陣列接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)為4096個(gè)，把數(shù)據(jù)分為32段，每段含有128個(gè)快拍。信號(hào)帶寬為40 Hz，可把整個(gè)帶寬劃分為41個(gè)子頻帶，選擇中心頻率f0為聚焦頻率。根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，選取截?cái)帱c(diǎn)數(shù)Nc為9。為便于觀察和分辨，將常規(guī)多項(xiàng)式展開方法(general polynomial expansion method)簡(jiǎn)記為GPEM;文中方法(improved polynomial expansion method)簡(jiǎn)記為IPEM;改進(jìn)后的均勻圓陣(improved uniform circular array)簡(jiǎn)記為IUCA。

仿真1:驗(yàn)證文中算法與常規(guī)算法的均方根誤差。假設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，N個(gè)信號(hào)源的空間角的均方根誤差定義為式中θd和φd為信號(hào)的真實(shí)俯仰角和方位角，^θdi和^φdi為估計(jì)值。設(shè)接收陣列的陣元個(gè)數(shù)為11，陣列構(gòu)型分別為UCA和IUCA，仿真使用兩個(gè)完全相干的遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)域平穩(wěn)寬帶信號(hào)，其均值為0，信號(hào)到達(dá)角分別為(40°，40°)、(20°，200°)，進(jìn)行 100 次蒙特卡洛仿真，統(tǒng)計(jì)文中算法與常規(guī)算法在不同信噪比條件下的空間角的均方根誤差，對(duì)比曲線如圖1所示。

仿真2:統(tǒng)計(jì)文中算法與常規(guī)算法的成功分辨率。使用兩個(gè)完全相干的信號(hào)進(jìn)行仿真，其來波方向分別為(40°，50°)和(60°，75°)，其他仿真條件同仿真 1。當(dāng)兩個(gè)信號(hào)的俯仰角和方位角的估計(jì)值均小于0.2°時(shí)視為成功估計(jì)，進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真，成功分辨性能曲線如圖2所示。

仿真3:驗(yàn)證文中方法在其他任意陣列上的空間角估計(jì)性能。仿真中使用的任意陣列的布局如圖3所示，對(duì)任意陣的改進(jìn)操作為:將任意陣中編號(hào)為M的陣元置于參考點(diǎn)上方合適位置，總體陣元個(gè)數(shù)不改變。兩個(gè)相干信號(hào)的來波方向分別為(20°，50°)和(35°，55°)，其他仿真條件同仿真1。得到的均方根誤差性能曲線如圖4所示。

仿真4:驗(yàn)證文中算法對(duì)兩個(gè)來波方向相近的寬帶相干信號(hào)的分辨性能。設(shè)兩個(gè)相干信號(hào)來波方向分別為(10°，200°)和(15°，200°)，文中算法在11 個(gè)陣元組成的IUCA的陣列構(gòu)型下對(duì)兩個(gè)信號(hào)的俯仰角分辨性能如圖5所示。

圖1 不同方法在不同信噪比下的空間角估計(jì)性能

圖2 不同方法的成功分辨概率

圖1分別對(duì)比了改進(jìn)的算法和常規(guī)算法分別在11陣元均勻圓陣、10陣元均勻圓陣與圓心軸上的陣元組成的11陣元陣列下的空間角估計(jì)性能。無論是使用均勻圓陣(UCA)或是改進(jìn)的均勻圓陣(IUCA)，IPEM算法在空間角的均方根誤差上的性能都優(yōu)于GPEM。在UCA下，兩種算法的均方根誤差在13～20 dB內(nèi)大致趨于穩(wěn)定，上下波動(dòng)在0.01°范圍以內(nèi)。其中，IPEM算法的均方根誤差在20 dB時(shí)最小，大小為0.1227°;GPEM算法的均方根誤差在20 dB時(shí)最小，大小為0.1468°。兩種算法的均方根誤差的差值在0.0220°和0.0707°之間波動(dòng)。在IUCA下，使用兩種算法得到的DOA估計(jì)的均方根誤差逐漸減小，隨著信噪比從0 dB到20 dB的變化，IPEM算法得到的均方根誤差從0.1441°降低到0.054°，GPEM算法得到的均方根誤差從0.2031°降低到0.079°。兩種算法的均方根誤差的差值在0.0250°和0.0589°之間波動(dòng)。此外，GPEM算法在ICUA下的均方根誤差相對(duì)于在UCA下降低的幅度大于0.04°。同時(shí)，IPEM算法在IUCA下的性能提升幅度同樣大于 0.04°，并且最大達(dá)到0.0704°。

由圖2可以看出，在UCA下，IPEM算法在信噪比為－1 dB時(shí)的成功分辨概率為81.5%，GPEM算法的成功分辨率為73%，IPEM算法在GPEM算法的基礎(chǔ)上成功分辨概率提升了8.5%。在信噪比為－5～14 dB，改進(jìn)后的 IPEM與常規(guī)的多項(xiàng)式展開方法GPEM相比成功分辨概率都有所提升，提升幅度范圍為1%～8.5%。在陣列構(gòu)型為IUCA的情況下，IPEM算法和GPEM算法在信噪比高于6 dB條件下的成功分辨概率都為100%。在信噪比為－5～5 dB，IPEM算法的成功分辨概率明顯高于GPEM算法的成功分辨概率，提升幅度范圍為0.25%～15%。其中，在信噪比為－5 dB時(shí)提升幅度為15%?？傮w來說，IPEM算法在相同陣列構(gòu)型和相同信噪比的條件下，成功分辨概率高于GPEM算法。此外，同一算法在不同陣列構(gòu)型下的成功分辨概率也有所不同。在信噪比為－5～15 dB，兩種算法在ICUA陣列下的成功分辨率比在UCA陣列下有所提升，IPEM算法最高提升了12.75%，GPEM算法最高提升了11.25%。

分析出現(xiàn)圖1和圖2中統(tǒng)計(jì)結(jié)果的原因可知，兩種算法的區(qū)別僅在于用于構(gòu)造聚焦矩陣的采樣矩陣G(fj)不同，在構(gòu)造G(fj)的過程中，重點(diǎn)在于將不同頻率上的陣列流形統(tǒng)一到聚焦頻率上的陣列流形，IPEM算法盡可能剔除與頻率無關(guān)的項(xiàng)，并巧妙結(jié)合均勻圓陣的特性，進(jìn)一步將 ^G(fj)化簡(jiǎn)，提高了聚焦效果。在改進(jìn)的陣列結(jié)構(gòu)下，兩種算法的性能在均勻圓陣的基礎(chǔ)上提升明顯?？臻g角的均方根誤差不僅與算法有關(guān)，還與寬帶信號(hào)的入射角度有關(guān)。仿真(1)中使用的俯仰角20°屬于較低的俯仰角，如文中分析，該角度處sin(θ)的值較小，但sin(θ)的變化率較大，此時(shí)對(duì)方位角的估計(jì)精度不高，相當(dāng)于有很小的陣列孔徑，改進(jìn)陣列在原陣列的基礎(chǔ)上加上了cos(θ)項(xiàng)，該項(xiàng)的加入改善了低俯仰角下的方位角的精度，進(jìn)而提升了空間角估計(jì)性能。在仿真(2)中使用的相干信號(hào)中，其中有一個(gè)信號(hào)的俯仰角為60°，屬于較高俯仰角，該俯仰角的正弦值sin(θ)較大，但是sin(θ)的變化率很低，此時(shí)對(duì)俯仰角的估計(jì)精度不高，影響了算法的成功分辨性能。改進(jìn)后的陣列有效地解決了均勻圓陣的不足，明顯提高了陣列的成功分辨性能。

圖3 某任意幾何陣列示意圖

圖3中將原點(diǎn)作為參考點(diǎn)，各點(diǎn)的坐標(biāo)表示各個(gè)陣元相對(duì)于參考點(diǎn)的位置，x軸和y軸的單位長(zhǎng)度為寬帶相干信號(hào)起始頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λ0。在圖3所示的陣列構(gòu)型下統(tǒng)計(jì)IPEM算法得到的兩個(gè)寬帶相干信號(hào)的俯仰角與方位角的均方根誤差曲線如圖4。由圖4可以看出，在兩個(gè)不同的陣列構(gòu)型下，IPEM算法在俯仰角上的均方根誤差變化不明顯，尤其是當(dāng)信噪比高于9 dB以后俯仰角的變化幅度都在0.004°范圍內(nèi)。但在方位角上的均方根誤差變化明顯，最大差值達(dá)到0.0516°，在改進(jìn)陣列下，均方根誤差平均減小了0.0417°。以上數(shù)據(jù)表明，方法可以推廣至任意陣列，在改進(jìn)陣列的基礎(chǔ)上結(jié)合文中算法IPEM能夠提高寬帶相干信號(hào)的DOA估計(jì)性能。根據(jù)文中分析，對(duì)于來波方向分別為(20°，50°)和(35°，55°)的兩個(gè)相干信號(hào)，其方位角的估計(jì)精度較低，如圖4所示。若存在參考點(diǎn)上方的陣元，對(duì)具有較低俯仰角的接收信號(hào)而言，該陣列結(jié)構(gòu)對(duì)俯仰角的估計(jì)精度影響不明顯，但是可以有效地降低方位角的估計(jì)誤差，從而提高總體的DOA估計(jì)性能。

圖4 文中算法在任意陣列下的性能

圖5 文中算法的分辨性能

由圖5可以看出，在信噪比為0 dB、5 dB和10 dB的條件下，文中算法對(duì)仿真所設(shè)的兩個(gè)相干寬帶信號(hào)的俯仰角估計(jì)的平均誤差分別為0.205°、0.135°和0.06°。通過仿真結(jié)果可以看出，采用文中方法進(jìn)行寬帶相干信號(hào)的二維DOA估計(jì)時(shí)，在信噪比為0 dB以上能夠成功分辨出空間中相隔較近的相干源。以方位角相同、俯仰角相隔5°的兩個(gè)寬帶相干信號(hào)為例，隨信噪比的增加，信號(hào)的空間譜峰的幅度不斷增大。在信噪比從0 dB增長(zhǎng)至10 dB的過程中，譜峰高度從70.52和102.8增大至1244和1754，且譜峰變得更加尖銳，譜峰所對(duì)應(yīng)的俯仰角與真實(shí)俯仰角的平均誤差從0.205°逐漸減小至0.06°，說明文中算法隨著信噪比的不斷增加分辨性能也逐漸提高。

4 結(jié)束語

均勻圓陣具有幾乎無方向性、二維性和無模糊范圍廣等特點(diǎn)，應(yīng)用均勻圓陣進(jìn)行寬帶測(cè)向能夠得到良好的效果。以均勻圓陣為接收模型，首先使用多項(xiàng)式展開的方法對(duì)陣列流形矢量進(jìn)行頻率與角度的分離，通過分析陣列流形矢量的級(jí)數(shù)展開式，結(jié)合均勻圓陣的特點(diǎn)，構(gòu)造較簡(jiǎn)易的與頻率相關(guān)的采樣矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，可以達(dá)到減少計(jì)算量的目的。在此基礎(chǔ)上，對(duì)陣列構(gòu)型進(jìn)行一定調(diào)整可明顯改善均勻圓陣或其他陣列在俯仰角較大時(shí)或較小時(shí)對(duì)空間角角估計(jì)精度較差的問題。數(shù)值仿真分析顯示，文中方法在寬帶相干信號(hào)的2D-DOA估計(jì)中，能夠降低信號(hào)空間到達(dá)角度估計(jì)的均方根誤差，提高相干信號(hào)的成功分辨概率。同時(shí)，該算法對(duì)空間中相隔較近的相干源具有良好的分辨性能，且該方法也可推廣到任意的陣列結(jié)構(gòu)。

[1] Wax M，Shan T J，Kailath T.Spatio-temporal spectral analysis by eigenstructure methods[J].IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1984，32:817－827.

[2] M A Doron，A J WEISS.On focusing matrices for wide-band array processing[J].IEEE Trans on Signal Process-ing，1992，40(6):1295－130.

[3] Bo L，Xiong J，Luo L.A novel wideband DOA estimation method using direction-free focusing matrix[C]//Computer Science and Network Technology(ICCSNT)，2013 3rd International Conference on.IEEE，2013:1065－1069.

[4] M A Doron，E.Doron.Wavefield modeling and array processing.Ⅰ:Spatial sampling[J].IEEE Trans Signal Process，1994，42(10):2549－2559.

[5] M A Doron，E Doron Wavefield modeling and array processing.Ⅱ:Algorithms[J].IEEE Transaction Signal Process，1994，42(10):2560－2570.

[6] M A Doron，E Doron.Wavefield modeling and array processing.Ⅲ:Resolution capacity[J].IEEE Trans Signal Process，1994，42(10):2571－2580.

[7] 潘捷，周建江，汪飛.基于流形分離技術(shù)的稀疏均勻圓陣快速DOA估計(jì)方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2010，32(4):963－966.

[8] 盧海杰，章新華，熊鑫.流形分離在非均勻圓陣上的應(yīng)用[J].兵工學(xué)報(bào)，2011，32(9):1113－1117.

[9] 林晉美，侯衛(wèi)民，涂英，等.傅立葉-勒讓德級(jí)數(shù)展開的寬帶聚焦[J].聲學(xué)技術(shù)，2007，12，26(6):1235－1239.

[10] 顧建峰.空間角度估計(jì)的陣列結(jié)構(gòu)及其算法的研究[D].成都:電子科技大學(xué)，2004.

[11] 陳豐.Fourier變換在平面、柱、球陣波束形成和DOA估計(jì)中的應(yīng)用[D].杭州:浙江大學(xué)，2006.

[12] 李剛，趙春暉，寧海春.用于寬帶測(cè)向的廣義陣列流行內(nèi)插算法[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2008，28(1):277－279.