周麗莉，李 露，丁東洋

（南昌大學(xué)a.廉政研究中心；b.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南昌330031）

0 引言

在對(duì)多元間序列變量建模時(shí)，首先需要進(jìn)行變量的非平穩(wěn)性檢驗(yàn)與變量間的協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)。如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列變量的線性組合是平穩(wěn)的，則表明它們之間存在線性協(xié)整關(guān)系。根據(jù)Granger的定義，存在變量yt，xt～I(xiàn)(1)滿足如下回歸模型：

其中α稱為r×n調(diào)節(jié)矩陣，β是n×r協(xié)整向量矩陣，εt～N(0，Σ)，r和 p分別表示協(xié)整秩和滯后期長(zhǎng)度，式（2）反映了時(shí)間序列變量對(duì)非均衡偏差進(jìn)行修正的動(dòng)態(tài)機(jī)制?；谑剑?）和式（2）表述的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)整理論，大量的研究對(duì)其進(jìn)行完善和拓展，線性協(xié)整理論日趨成熟。

研究表明，宏觀和金融時(shí)間序列中存在大量的非線性特征，如貨幣供給沖擊對(duì)產(chǎn)出的非對(duì)稱性效應(yīng)；通貨膨脹與通貨緊縮的非線性轉(zhuǎn)換調(diào)節(jié)特征；資本市場(chǎng)具有分形和非線性特征；以及收入差距與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的非線性協(xié)整關(guān)系等等[1]。雖然線性協(xié)整模型在數(shù)據(jù)分析中仍占有重要地位，但是在上述問題中卻無法有效地描述變量之間的非線性和非對(duì)稱變動(dòng)特征。為了將非線性模型引入時(shí)間序列分析，大量的研究開始對(duì)線性協(xié)整進(jìn)行拓展，隨著Tong(1990)[2]構(gòu)建閾值自回歸模型以及Balke and Fomby(1997)[3]提出兩變量的閾值協(xié)整模型，非線性時(shí)間序列分析領(lǐng)域逐漸成為研究熱點(diǎn)。至今，非線性時(shí)間序列研究取得了豐碩的成果，但是對(duì)于非平穩(wěn)序列的非線性協(xié)整理論研究在國(guó)內(nèi)外都處于起步階段，面臨的問題很多，采用的方法也有所差異?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中主要具有兩種途徑將格蘭杰定理拓展到非線性協(xié)整分析，一種是基于格蘭杰的表述定理構(gòu)建非線性誤差修正模型，其基本思路與格蘭杰表述定理并無根本差異，關(guān)鍵在于描述非線性特征；第二種則是直接進(jìn)行非線性協(xié)整關(guān)系分析，涉及的問題主要包括非線性協(xié)整關(guān)系的表述，非線性協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)以及非線性協(xié)整模型的推斷等。本文針對(duì)非線性協(xié)整分析的第二種途徑，基于單整相依測(cè)度建立檢驗(yàn)框架，重點(diǎn)探討同時(shí)處理非平穩(wěn)性和非線性的統(tǒng)計(jì)方法，并指出未來的研究方向。

1 非線性協(xié)整關(guān)系的表述

1.1 線性協(xié)整的非線性拓展

Granger(1995)[4]首先提出使用長(zhǎng)期記憶和短期記憶的概念，如果時(shí)間序列的信息隨著時(shí)間而衰減，那么稱為短期記憶的，否則稱為長(zhǎng)期記憶的，對(duì)長(zhǎng)記憶時(shí)間序列的沖擊有永久性影響。如果存在函數(shù) f使得zt=f(yt，xt)具有短期記憶特征，則稱長(zhǎng)期記憶序列yt和xt之間是非線性協(xié)整關(guān)系。將I(0)和I(1)的線性概念正確拓展后，可將協(xié)整的含義從線性拓展到非線性。給定條件均值函數(shù)E(yt+h|It)，It=(xt，xt-1，...)表示處于時(shí)間 t的已知信息。對(duì)于任意時(shí)間 t，隨 h 逐漸增大時(shí)，M(t，h)=E(yt+h|It)， h＞0趨于常數(shù)μ，則稱序列{yt}是依均值短期記憶的(SMM)。更準(zhǔn)確的說，對(duì)于所有t，E |M(t，h)-μ|2＜c(h)，當(dāng) h趨于無窮時(shí)，其中c(h)≡c(h，t)是趨于0的正序。如果{yt}不滿足上述條件，則稱為依均值拓展記憶的(EMM)。從數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性來說，應(yīng)該指定{yt}是相對(duì)于{xt}來說SMM或EMM的，Granger則假定xt=yt，并在后期研究中使用依均值長(zhǎng)期記憶(LMM)代替了以往使用的EMM。

然而非平穩(wěn)序列的非線性轉(zhuǎn)換無法保證時(shí)間的原始性質(zhì)不發(fā)生改變，所以這種直接在線性協(xié)整的基礎(chǔ)上拓展的非線性協(xié)整定義可操作性差，特別是當(dāng)時(shí)間序列是非線性或非高斯時(shí)，無法應(yīng)用傳統(tǒng)的自相關(guān)和周期圖等相依測(cè)度方法，原有的檢驗(yàn)和推斷方法都將失效。而且以上對(duì)于非線性協(xié)整關(guān)系的陳述過于籠統(tǒng)，還可能引發(fā)出現(xiàn)識(shí)別問題。一些研究認(rèn)為應(yīng)該限定函數(shù) f的類型以避免識(shí)別問題[5]，一個(gè)可行的解決方法是對(duì)函數(shù)zt=g(yt)-h(xt)變形，再使用條件均值的持續(xù)性測(cè)度方法。

1.2 基于單整相依測(cè)度的非線性協(xié)整關(guān)系表述

對(duì)于任意時(shí)間t，隨h逐漸增大時(shí)，m(t，h)=E(yt+h|xt)，h＞0趨于常數(shù)μ，則稱序列{yt}是配對(duì)依均值短期記憶的(PSMM）。更準(zhǔn)確的說，對(duì)于所有t，E |m(t，h)-μ |2＜c(h)，當(dāng)h趨于無窮時(shí)，其中c(h)≡c(h，t)是趨于0的正序。如果{yt}不滿足上述條件，則稱為配對(duì)依均值拓展記憶的(Pair wise EMM,PEMM)。從上述定義和迭代期望定理，可知SMM進(jìn)程即是PSMM。但反過來說并不成立，存在屬于PSMM但不是SMM的進(jìn)程，雖然在實(shí)際中很少遇到[6]。

當(dāng)存在非線性（或非高斯分布）時(shí)，自協(xié)方差不能刻畫相依特征，分析人員需要更可靠的度量方法，如利用配對(duì)回歸函數(shù)m(t，h)。一般來說，這些函數(shù)的推斷需要用到窗寬選擇的非參數(shù)估計(jì)方法，限制了其應(yīng)用范圍?；跍y(cè)度論，回歸函數(shù)m(t，h)可以由單整回歸函數(shù)γt，h(x)表述：

式(3)的推導(dǎo)依據(jù)是迭代期望定理，γt，h(x)測(cè)度稱為單整配對(duì)回歸函數(shù)(IPRF)，也可采用不同于示性權(quán)重1(xt≤x)的其他權(quán)重函數(shù)[7]。相依結(jié)構(gòu)γt，h(x)的單整測(cè)度適于在非線性時(shí)間序列中檢驗(yàn)感興趣的假設(shè)，與m(t，h)不同，它不需要平滑估計(jì)，并且很容易通過抽樣模擬估計(jì)。此外，它還刻畫了Granger給出的配對(duì)概念，并且使這些概念更易于操作。

令范數(shù)||||表示非遞減，如果對(duì)于所有函數(shù) f和g，對(duì) 任 意 x都 有 |f(x)≤g(x)| ，則 | |f||≤| |g ||。 令 距 離d(f.g)=‖f-g‖。通常非遞減范數(shù)是L2范數(shù)和上確界范數(shù)。對(duì)于任意時(shí)間t，隨h逐漸增大時(shí)，‖γt，h(x)‖ ， h ＞ 0 趨于0，則稱序列{yt}是相對(duì)距離d配對(duì)SMM（PSMMd）。更準(zhǔn)確的說，對(duì)于所有t，‖γt，h(x)‖ ＜c(h)，當(dāng) h 趨于無窮時(shí)，其中c(h)≡c(h，t)是趨于0的正序。如果{yt}不滿足上述條件，則稱為PEMMd。

基于以上概念，非線性協(xié)整定義如下：對(duì)于兩個(gè)PEMMd序列 yt和 xt，如果存在函數(shù) f使得 zt=yt-f(xt)是PSMMd，那么序列yt和xt之間存在非線性協(xié)整關(guān)系。

2 非線性協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)

由上述定義可知，非線性協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)首先需要考察時(shí)間序列的平穩(wěn)性問題，然后再對(duì)變量間是否存在非線性協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。但是經(jīng)過經(jīng)過非線性變換的時(shí)間序列生成結(jié)構(gòu)將具有非線性特征，傳統(tǒng)的ADF等單位根檢驗(yàn)方法已不再適用，Engle-Granger等協(xié)整檢驗(yàn)方法也將以更高概率拒絕存在協(xié)整關(guān)系的原假設(shè)。

2.1 單位根檢驗(yàn)

考慮到非線性結(jié)構(gòu)對(duì)單位根檢驗(yàn)的影響，當(dāng)前在非線性協(xié)整分析中常用的單位根檢驗(yàn)方法包括修正的ADF檢驗(yàn)、秩檢驗(yàn)方法以及全距單位根檢驗(yàn)方法。

修正的ADF檢驗(yàn)方法實(shí)際上是采用泰勒展開式對(duì)ADF統(tǒng)計(jì)量的分布以及檢驗(yàn)臨界值進(jìn)行修正，蒙特卡洛模擬表明修正后統(tǒng)計(jì)量的小樣本性質(zhì)優(yōu)于傳統(tǒng)的ADF檢驗(yàn)。單位根的秩檢驗(yàn)方法可以避免傳統(tǒng)的DF類型檢驗(yàn)非線性持續(xù)性和離群值時(shí)的高度敏感性。我們更傾向于于提倡的方法是全距單位根檢驗(yàn)(RUR)方法，即對(duì)序列一階差分后的全距進(jìn)行檢驗(yàn)。全距是時(shí)間序列在任一時(shí)間點(diǎn)極大值和極小值的差，因而全距的差異是對(duì)記錄的測(cè)度。對(duì)新的記錄數(shù)量計(jì)數(shù)，是一種區(qū)分時(shí)間序列平穩(wěn)和非平穩(wěn)很好的途徑，原因在于平穩(wěn)序列新紀(jì)錄的頻率消失的要比具有單位根序列的更快。已有文獻(xiàn)證明了對(duì)于單調(diào)變換、誤差分布、結(jié)構(gòu)突變和額外離群值的檢驗(yàn)都比較穩(wěn)健[8]。

2.2 非線性協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)

基于非線性協(xié)整關(guān)系的表述，對(duì)變量間非線性協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)主要是考察非線性模型的短記憶和長(zhǎng)記憶特征，當(dāng)前研究中常用的方法包括R/S檢驗(yàn)和秩檢驗(yàn)方法等。

R/S檢驗(yàn)是檢驗(yàn)記憶依賴強(qiáng)度的一種非參數(shù)方法。R/S統(tǒng)計(jì)量度量的是變量與均值離差的標(biāo)準(zhǔn)化全距，值越大表明記憶依賴性越強(qiáng)。雖然R/S統(tǒng)計(jì)量相對(duì)穩(wěn)健，但是對(duì)于時(shí)間跨度較小的樣本檢驗(yàn)功效較低。協(xié)整關(guān)系的秩檢驗(yàn)方法首先在秩序列間進(jìn)行差分，如果不存在協(xié)整，秩序列趨于發(fā)散，否則演化相似。記錄數(shù)協(xié)整檢驗(yàn)(Record Counting Cointegration test,RCC)是在秩檢驗(yàn)基礎(chǔ)上拓展的方法，將協(xié)整序列間的同步跳躍記錄數(shù)，也就是兩個(gè)序列同時(shí)發(fā)生跳躍的計(jì)數(shù)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。顯然，具有協(xié)整關(guān)系的序列同步跳躍的數(shù)量就會(huì)很大。對(duì)于單調(diào)非線性、結(jié)構(gòu)突變以及那些不需要先驗(yàn)估計(jì)量的線性和非線性協(xié)整函數(shù)檢驗(yàn)，RCC都是比較穩(wěn)健的[9]。

除此之外還有從信息理論角度進(jìn)行協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)的相關(guān)系數(shù)法，以及從頻域分析角度進(jìn)行檢驗(yàn)的李雅普諾夫指數(shù)法等。

2.3 非線性協(xié)整分布的測(cè)度

直觀上，在協(xié)整條件下對(duì)yt做長(zhǎng)期的非線性預(yù)測(cè)時(shí)，極早期的xt應(yīng)該與極早期的yt一樣重要。在線性假定下進(jìn)行模擬，依據(jù) γt，h(x)和隨 h趨于無窮小時(shí)的收斂速度，可以定義持續(xù)性和非線性協(xié)整的分布測(cè)度。對(duì)于分布相依，我們建議采用Kosfeld and Robe(2001)[10]給出的定義。令 ft，h(y，x)，kt+h(y)和 gt(x)分別表示yt+h和xt的二元和邊際密度?？梢圆捎煤Ａ指窬嚯x定義：

同時(shí)根據(jù)Ht，h隨h發(fā)散到無窮大時(shí)衰減到0，定義依分布配對(duì)短期記憶（PSMD）。分布持續(xù)性與混合概念關(guān)系密切。實(shí)際上，在均勻的時(shí)間 t上，Ht，h≤2α(h)，其中 α(h)即為一種α混合系數(shù)。

但是這種非線性分布持續(xù)性測(cè)度依賴于平滑估計(jì)，如核估計(jì)量Gouriéroux and Jasiak,2002)[11]。與條件均值測(cè)度相似，我們建議采用單整相依測(cè)度，而不用平滑，建立方程：

式(5)中 Ft，h(y.x)，Kt+h(y)以及 Gt(x)分別為 yt+h和 xt的二元和邊際累積分布函數(shù)。ηt，h(y.x)測(cè)度可以通過在不同的滯后值采用抽樣模擬進(jìn)行估計(jì)，即經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。進(jìn)而可以推斷兩個(gè)依分布持續(xù)性的序列yt和xt在滿足下列條件時(shí)，是依分布非線性協(xié)整的：

3 非線性協(xié)整模型的推斷

非線性協(xié)整分析的建模過程主要包括五個(gè)步驟：第一檢驗(yàn)變量間是否存在非線性協(xié)整關(guān)系；第二估計(jì)非線性協(xié)整函數(shù) f，包括參數(shù)方法和非參數(shù)方法，這是非線性協(xié)整問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)；第三檢驗(yàn)zt=f(yt，xt)的短期記憶特征，也就是單位根檢驗(yàn)；第四利用估計(jì)的非線性協(xié)整函數(shù)f構(gòu)建非線性誤差修正模型，并估計(jì)參數(shù)；第五利用非線性協(xié)整模型的推斷結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3.1 參數(shù)方法

如果能夠確定非線性回歸函數(shù)的形式，則可以采用參數(shù)方法估計(jì)非線性協(xié)整函數(shù)?；趩握嘁罍y(cè)度方法，我們建議采用具有單整回歸變量的非線性模型：

g(x-c，γ)通常采用 Logistic 函數(shù)形式 -1/(1+e-γ(x-c))。如果δ=0，回歸模型將退化為線性 yt=βxt+zt，此時(shí)修正非線性最小二乘估計(jì)結(jié)果是漸近有效的。式(7)為非線性回歸模型的特殊形式，基本形式可表示為：

xt是單整回歸變量，β為參數(shù)向量，vt是均值為0的平穩(wěn)誤差項(xiàng)，f(xt，β)是時(shí)間序列xt的平滑函數(shù)。從傳統(tǒng)漸近理論角度看，雖然有的文獻(xiàn)嘗試了單指數(shù)型回歸的拓展，但已有研究還是都受限于模型中 p=1的情形，也就是向量 xt的結(jié)構(gòu)中 (1，xt，xt-1，...，xt-p)，p 僅取到1。限于單變量情形的外在原因在于通常漸近理論并不適用于p＞1的情形，如基于當(dāng)前時(shí)區(qū)(local time)的漸近技術(shù)不可能出現(xiàn)p＞2。問題的內(nèi)在原因是當(dāng)p＞2時(shí)，p元布朗運(yùn)動(dòng)的非復(fù)發(fā)性特征。同時(shí)在傳統(tǒng)漸近理論中，β估計(jì)量的特征，如非線性最小二乘估計(jì)量(NLSE)，依賴于 f(xt，β)所屬函數(shù)的具體類型。通常使用的函數(shù)類型是可積函數(shù)、漸近齊次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。

但是NLSE的收斂速度依賴于函數(shù)特定形式，在某些情況下涉及隨機(jī)尺度。為了處理隨機(jī)尺度，可以采用三角行列式漸近技術(shù)[12]，擺脫β估計(jì)量的收斂速度依賴于函數(shù)特定形式的難題。

3.2 非參數(shù)方法

在實(shí)際分析中，非線性回歸函數(shù)的形式通常是難以確定的。如果函數(shù)形式選擇有誤，接下來的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)都將產(chǎn)生偏差。非參數(shù)方法不必假定模型的非線性回歸函數(shù)已知，利用樣本已有的信息展開對(duì)非線性協(xié)整函數(shù) f的估計(jì)。常見的非參數(shù)方法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、交替條件期望（ACE）算法以及非參數(shù)漸近方法等[13]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法是一種不需要事先選擇模型形式的非參數(shù)方法，其基本思想是將比較合理的變量間的非線性函數(shù)關(guān)系構(gòu)建成一個(gè)廣義模型，利用遞歸算法逼近未知的非線性協(xié)整函數(shù)。Karlsen and Tj?stheim(2001)[14]采用零常返馬爾科夫進(jìn)程理論進(jìn)行非線性協(xié)整檢驗(yàn)，相關(guān)研究極大的推動(dòng)了非參數(shù)檢驗(yàn)方法的發(fā)展。ACE算法實(shí)際上很早就出現(xiàn)在Granger的相關(guān)研究中，該方法不需要嚴(yán)格的分布假設(shè)，通過最小化回歸模型的期望均方誤差估計(jì)非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)，其基本思想是利用非參數(shù)數(shù)據(jù)平滑技術(shù)，迭代計(jì)算直至均方誤差達(dá)到最小，進(jìn)而獲得變量的最優(yōu)轉(zhuǎn)換。

對(duì)基于單整相依測(cè)度方法表述的非線性協(xié)整關(guān)系，近單整非參數(shù)漸近方法是一種可行的途徑[15]，重點(diǎn)在于估計(jì)非線性回歸模型的轉(zhuǎn)移函數(shù) f(xt)：

其中序列yt和xt是單變量可觀測(cè)非平穩(wěn)過程，vt是不可觀測(cè)的平穩(wěn)過程。 f(xt)的非參數(shù)核估計(jì)如下：

其中Kx，h(xt)=h-1K((y-x)/h)，K是核函數(shù)，h是窗寬參數(shù)。非平穩(wěn)進(jìn)程族通常被稱為β0常返馬爾科夫過程，滿足了經(jīng)常性時(shí)間尾部分布的限制，可以處理的類型包括隨機(jī)游走、單位根過程以及非線性非平穩(wěn)過程。與平穩(wěn)狀態(tài)的非參數(shù)估計(jì)理論不同，非線性回歸轉(zhuǎn)移函數(shù)呈現(xiàn)出很慢的收斂速度，非參數(shù)漸近理論非常有利于非線性協(xié)整模型推斷理論的完善和發(fā)展。

4 總結(jié)與展望

在線性框架下，已有較完備的理論和工具研究協(xié)整問題，然而對(duì)非線性下的協(xié)整問題，還面臨著很大的挑戰(zhàn)。實(shí)現(xiàn)非線性擴(kuò)展有兩種方法，一種是應(yīng)用向量誤差修正模型，但仍然采用線性協(xié)整回歸。另一種方法是考慮非線性協(xié)整回歸方程。對(duì)于這兩種方法，我們建議采用可操作性較強(qiáng)的單整相依測(cè)度，因?yàn)樵摲椒ㄒ子诠烙?jì)且不必對(duì)數(shù)據(jù)平滑。未來研究中很重要的一個(gè)研究方向就是對(duì)單整測(cè)度非線性協(xié)整推斷方法進(jìn)行完善。

從當(dāng)前的研究來看，傳統(tǒng)的線性協(xié)整方法在國(guó)內(nèi)的宏觀及金融時(shí)間序列分析中仍占據(jù)主流地位，然而近10年來逐漸有越來越多的學(xué)者在對(duì)中國(guó)的經(jīng)濟(jì)問題分析中采用非線性協(xié)整模型。通過對(duì)國(guó)內(nèi)相關(guān)文獻(xiàn)的梳理可以發(fā)現(xiàn)，由于非線性協(xié)整函數(shù)選擇的不同而存在眾多不同形式的非線性協(xié)整模型，其中常用的包括閾值協(xié)整模型、馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型以及平滑轉(zhuǎn)換機(jī)制模型等。在一些實(shí)證研究中可以發(fā)現(xiàn)利用非線性協(xié)整模型分析中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)中變量間的關(guān)系[16]，揭示了原有線性分析框架下難以描述的動(dòng)態(tài)特征，可以更加清晰的反映各種變量間的長(zhǎng)期依賴關(guān)系和短期動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制，有助于決策者有效的制定宏觀調(diào)控政策。但是這幾類典型模型僅體現(xiàn)了非線性協(xié)整理論的部分內(nèi)容，非線性協(xié)整函數(shù)的估計(jì)和選擇是未來研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

在內(nèi)生和平穩(wěn)的前提下，分析非線性時(shí)間序列模型相對(duì)容易，但拓展到非平穩(wěn)性時(shí)，當(dāng)前計(jì)算方法仍存在不足。特別的，對(duì)于非平穩(wěn)變量進(jìn)行非線性轉(zhuǎn)換的傳統(tǒng)漸近分析結(jié)果依賴于函數(shù)的特定形式，并且只能分析單變量的情形[17]。未來研究的另一個(gè)重要方向就是將漸近分析拓展到多元變量的框架下，并進(jìn)一步完善計(jì)算方法。

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