張 卉，黃廷林，徐金蘭

（西安建筑科技大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，陜西 西安710055）

供水管網(wǎng)的狀態(tài)模擬就是利用數(shù)學(xué)模型及其優(yōu)化方法，推求各狀態(tài)參數(shù)最佳估計值的過程［1-4］.采用的數(shù)學(xué)模型通常是改進的帶權(quán)重最小二乘數(shù)學(xué)模型，其解法包括Marquardt法和變尺度法.由于Marquardt法具有全局搜索能力欠佳、易陷入局部最優(yōu)解等缺陷，因此，變尺度法的求解更為有效［5-7］.本文針對變尺度法的求解過程，從管網(wǎng)規(guī)模、測點數(shù)量和節(jié)點流量偽測量值的選取等方面，分析其對模擬精度的影響，并提出合理的解決方案.

1 狀態(tài)模擬模型及其求解

1.1 目標函數(shù)

采用改進的帶權(quán)重最小二乘數(shù)學(xué)模型進行管網(wǎng)運行狀態(tài)的模擬，其目標函數(shù)為［8］：

式中NH為測壓點數(shù)；NQ為測流管數(shù)；JD為節(jié)點總數(shù)；H0i為實測節(jié)點水壓；q0i為實測管段流量；Hi為節(jié)點水壓估計值；qi為管段流量估計值；w1（i）為節(jié)點水壓參數(shù)權(quán)重；w2（i）為管段流量參數(shù)權(quán)重；H0為參照水壓；Qd為管網(wǎng)總用水量；Qm為節(jié)點流量估計值；Q0m為節(jié)點流量偽測量值；w3（m）為節(jié)點流量偽測量參數(shù)權(quán)重.

1.2 變尺度法的求解過程

首先，利用式（2）將管網(wǎng)中的某一個節(jié)點流量表示成另外JD-1個節(jié)點流量的函數(shù).為了表達方便，設(shè)該節(jié)點編號為JD，相互之間的關(guān)系如下式所示：

而編號為JD的節(jié)點流量，則可由式（3）計算得出.

得到了所有的節(jié)點流量Q之后，即可通過平差計算求出節(jié)點水壓H和管段流量q，從而了解管網(wǎng)的運行全貌.

2 精度分析

在描述供水管網(wǎng)運行狀態(tài)的水力參數(shù)中，節(jié)點水壓是一個重要指標，且節(jié)點水壓估計值與真值之間總存在一定的誤差，這種誤差對管網(wǎng)運行管理及優(yōu)化調(diào)度起關(guān)鍵作用.因此，采用各節(jié)點水壓誤差的平方和或方均根，來表示這種誤差，以衡量狀態(tài)模擬結(jié)果的準確性［10］，即

式中σ2為所有節(jié)點水壓誤差平方和；β為所有節(jié)點水壓誤差方均根；Hi為i節(jié)點水壓真值；H＊i為i節(jié)點水壓估計值；其余符號意義同前.

為了驗證變尺度法在管網(wǎng)狀態(tài)模擬中的應(yīng)用，分別從以下幾方面對模擬結(jié)果進行分析與比較：

（1）迭代終止準則 由于目標函數(shù)（1）中含有3類不同的變量，且引入了H0、參數(shù)權(quán)重和節(jié)點流量偽測量值等參數(shù)，因此目標函數(shù)值的意義已不是一般的工程概念，很難確定統(tǒng)一的終止準則.而測壓點水壓誤差平方和與目標函數(shù)值具有很好的一致性且意義明確，可作為狀態(tài)模擬計算的終止準則.其表達式為

式中m為系數(shù)；H0i為i節(jié)點水壓測量值為i節(jié)點水壓估計值；其余符號意義同前.

利用變尺度法對不同規(guī)模、不同數(shù)量測點的管網(wǎng)進行狀態(tài)模擬，結(jié)果表明，當m值達到0.1左右時，誤差趨于穩(wěn)定，因此將其作為終止準則.

（2）管網(wǎng)規(guī)模的影響 一個城市的供水管網(wǎng)規(guī)模，可以通過其節(jié)點數(shù)、管段數(shù)、環(huán)數(shù)、供水范圍以及變化工況等方面來體現(xiàn).管網(wǎng)規(guī)模越大，其構(gòu)成元素就越多，所以它的復(fù)雜性也會越高，從而在一定程度上對狀態(tài)模擬的精度與迭代過程產(chǎn)生影響.

為了分析管網(wǎng)規(guī)模對狀態(tài)模擬結(jié)果所造成的影響，分別選取小、中、大型三個管網(wǎng)進行仿真計算，其中，小型管網(wǎng)包含23個節(jié)點、35個管道和13個環(huán)，中型管網(wǎng)包含55個節(jié)點、94個管段和40個環(huán)，大型管網(wǎng)包含167個節(jié)點、281個管段和115個環(huán).三個管網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)如圖1～3所示.

圖1 某小型管網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of a small-scale network

圖2 某中型管網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖 Fig.2 Structure of a medium-scale network

3種不同規(guī)模的城市供水管網(wǎng)的模擬計算結(jié)果如圖4所示.由圖4可以看出，無論對小型管網(wǎng)，還是大中型管網(wǎng)，節(jié)點水壓誤差方均根都呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢，且整個迭代計算的過程都可以分成2部分，即直線下降區(qū)（5步以內(nèi)）和階梯下降區(qū)（5步以后）.在直線下降區(qū)，節(jié)點水壓誤差方均根迅速減小，一般在5步后就可減小50%以上；而在階梯下降區(qū)，節(jié)點水壓誤差方均根則下降緩慢.此外，隨著管網(wǎng)規(guī)模的增大，模擬計算的迭代次數(shù)在不斷提高，相同迭代次數(shù)下的模擬精度有所降低.

（3）測點數(shù)量的影響 供水管網(wǎng)的測點包括測壓點和測流管.顯然，測點數(shù)量越多、位置越恰當，狀態(tài)模擬的精度就越高，誤差越小，但增加測點數(shù)量會增加管網(wǎng)投資和運行費用.因此，合理確定測點數(shù)量，科學(xué)選擇測點位置是保證狀態(tài)模擬精度、降低投資和運行費用的關(guān)鍵.為了明確測點的數(shù)量，假定測壓點和測流管均為最優(yōu)布置.

圖3 某大型管網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of a large-scale network

分別進行不同測壓點數(shù)和測流管數(shù)情況下的狀態(tài)模擬，模擬精度與測壓點數(shù)、測流管數(shù)的關(guān)系.如圖5～6所示.

由圖5可以看出，測壓點的數(shù)量越多，狀態(tài)模擬的精度就越高，誤差越小，這一點與理論相一致.在圖2中，測壓點數(shù)存在一個閾值，當測壓點數(shù)小于該閾值時，模擬精度變化較大，而當超過該值時，模擬精度趨于穩(wěn)定.此閾值近似為：大型管網(wǎng)測壓點數(shù)為節(jié)點總數(shù)的1／9～1／8，中小型管網(wǎng)測壓點數(shù)為節(jié)點總數(shù)的1／6～1／5.

由圖6可以看出，測流管數(shù)量與模擬精度的關(guān)系并不明顯，但是整體上仍然是隨著測流管數(shù)量的增多，狀態(tài)模擬的精度逐漸提高.當測流管數(shù)小于最小覆蓋集所確定的數(shù)量時［11］，狀態(tài)模擬精度較低；而當超過這一數(shù)值時，模擬精度均得到了提高.因此，在保證模擬精度的前提下，選擇最小覆蓋集所確定的管段作為測流管，能夠使管網(wǎng)總體費用達到最省.

（4）節(jié)點流量偽測量值選取的影響 盡管自變量的非負約束和一定數(shù)量的監(jiān)測數(shù)據(jù)會大幅度縮小目標函數(shù)可能解的范圍，但不同的節(jié)點流量偽測量值會使最終的解不同，也影響著求解的過程.隨機生成不同的節(jié)點流量偽測量值，并在此基礎(chǔ)上對管網(wǎng)進行狀態(tài)模擬，模擬精度與偽測量值的關(guān)系如圖7所示.其中，節(jié)點流量偽測量值與真值之間的差別，用節(jié)點流量誤差方均根來衡量，其定義為

式中δ為節(jié)點流量誤差方均根為節(jié)點流量真值；其余符號意義同前.

由圖7可以看出，管網(wǎng)的狀態(tài)模擬精度隨偽測量值誤差方均根的增大而降低，也就是說節(jié)點流量偽測量值越偏離真值，模擬精度就越低.其中，大中型管網(wǎng)所受的影響較大，而小型管網(wǎng)的模擬精度基本保持穩(wěn)定.在圖中，各管網(wǎng)的節(jié)點水壓誤差方均根均能降到0.8m以下，其精度能夠滿足管網(wǎng)模擬的要求.因此，實際應(yīng)用時，若缺乏相關(guān)資料而無法估計出節(jié)點流量的偽測量值時，可采用計算機隨機生成的方法，模擬管網(wǎng)的運行狀態(tài).

3 結(jié) 論

利用變尺度法模擬供水管網(wǎng)的運行狀態(tài)，并對其計算精度進行了分析：

（1）提出了迭代計算的終止準則；

（2）隨著管網(wǎng)規(guī)模的增大，狀態(tài)模擬的迭代次數(shù)不斷提高，相同迭代次數(shù)下，其精度有所降低；

（3）測點數(shù)量越多，狀態(tài)模擬的精度就越高，同時提出了滿足精度要求的合理測點數(shù)量；

（4）模擬精度隨偽測量值誤差方均根的增大而降低，但基本滿足管網(wǎng)模擬的要求，因此，實際應(yīng)用時可采用計算機隨機生成偽測量值的方法，獲取管網(wǎng)的運行狀態(tài).

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