盧　鵬，吳建樂（.西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部，四川峨眉640；.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都6003）

粗糙集層次分析法在學(xué)生綜合評價中的應(yīng)用

盧鵬1，吳建樂2
（1.西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部，四川峨眉614202；2.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610031）

在對學(xué)生成績綜合評價中引入粗糙集理論和層次分析理論.利用粗糙集理論特有的屬性約簡和屬性重要度原理能對有限的指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效挖掘，具有客觀性；而層次分析理論則從主觀上進(jìn)行補(bǔ)充，兩種方法的結(jié)合能優(yōu)化綜合評價過程.通過實(shí)例分析，證實(shí)了該方法的可行性和有效性.

粗糙集理論；層次分析；學(xué)生綜合評價；屬性約簡

Lu P,Wu JL.Application ofRough Setof Analytic Hierarchy Process in the Comprehensive Evaluation of Students[J].Journalof Yibin University,2015,15（6）：103-107.

隨著經(jīng)濟(jì)、科學(xué)和技術(shù)的飛速發(fā)展，社會對人才的綜合素質(zhì)提出了更高的要求.大學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)已納入高等教育的改革中，對學(xué)生的綜合評價工作也是學(xué)校的重要工作內(nèi)容之一.目前已有諸如主成分分析、聚類分析、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析、TOPSIS方法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、秩和比綜合評價法、模糊綜合評價等多種綜合評價方法[1-3]，但這些方法都有其各自的局限性[4]，有時會出現(xiàn)模棱兩可的評判結(jié)果（即多峰值），因此如何用科學(xué)的方法建立起學(xué)生綜合素質(zhì)的評價體系，一直是科研教育人員探索和關(guān)注的問題.本文基于對學(xué)生綜合素質(zhì)的特點(diǎn)，采用粗糙集評價法從客觀方面進(jìn)行屬性約簡，得到客觀意義下的屬性權(quán)重，然后再考慮各屬性的實(shí)際意義，采用層次分析評價法得到主觀意義下的屬性權(quán)重，最后綜合兩種因素對學(xué)生進(jìn)行合理評判，使結(jié)果更為準(zhǔn)確，即避免了某些數(shù)據(jù)特殊造成的評價失真，又避免了人為原因造成的結(jié)果有誤.

1　粗糙集基本理論[5]

粗糙集（Rough Set）理論[6]是數(shù)學(xué)家Pawlak在20世紀(jì)80年代初提出的.它建立在某個分類機(jī)制的基礎(chǔ)之上，把分類看成特定空間上的等價關(guān)系，而該關(guān)系構(gòu)成了對該空間的劃分，空間中的一簇劃分就是一個知識庫.其主要思想就是在保持分類能力不變的前提下，通過知識約簡，導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則.目前，該理論已被成功地應(yīng)用于決策分析、模式識別、機(jī)械學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)挖掘與過程控制等領(lǐng)域.

1.1近似集[7]

設(shè)U是由感興趣的對象組成的有限集合，稱為論域，R是定義在U上的一個等價關(guān)系，U R表示其相應(yīng)的分類，[x]R表示x所在的等價類，U的子集X稱為概念，對于每個概念X可定義兩個子集如下：

={x∈U|[x]R?U}

={x∈U|[x]R?U≠?}

1.2信息系統(tǒng)

四元數(shù)組 S=（U,A,V,f）一個信息系統(tǒng)，其中U={u1,u2,…,u||U}是有限非空集；U中的元素稱為對象；A={a1,a2,…,a||A}為屬性的非空有限集合；f：U× A→V是一個信息函數(shù)，且?x∈U,a∈A,f（x,a）∈Va.每個信息系統(tǒng)都可用一個信息表進(jìn)行表示，當(dāng)系統(tǒng)中沒有重復(fù)元組時，此信息表就是一個關(guān)系數(shù)據(jù)庫.

當(dāng) A=C?D,C?D=? 時，則稱信息系統(tǒng)（U,A,V,f）為一個決策表.其中C與D中的屬性分別稱為條件屬性和決策屬性.

1.3屬性約簡

所謂信息系統(tǒng)的屬性約簡，就是在保持分類能力不變的前提下，按照一定原則，通過知識約簡刪除其中不重要或者不相關(guān)的屬性，找到最小屬性集確定的分類知識，這樣便深化了對知識的認(rèn)識.

設(shè)四元組S=（U,A,V,f）是一個信息系統(tǒng)，其中A為一簇等價關(guān)系，屬性a∈A，假如滿足ind（A-{a}）= ind（A），則稱a為A中是不必要的；不滿足則稱a為A中是必要的.假如所有的a∈A都為A中必要的，則稱A為獨(dú)立的；否則稱A為依賴的.對于依賴的屬性集，其中必包含多余屬性，可對其約簡.

若B?A,B是獨(dú)立的，且ind（B）=ind（A），則稱B 是A的一個約簡.A所有約簡的交集稱為A的核.

1.4屬性的重要性

四元數(shù)組S=（U,A,V,f）是一個決策表，其中C與D分別稱為條件、決策屬性集.屬性子集a∈C關(guān)于D重要性定義為：

其中|U|代表集合U的基數(shù)，σCD（a）越大說明屬性a重要性高，反之重要性低.

2　層次分析法理論[8]

層次分析法是美國匹茲堡大學(xué)運(yùn)籌學(xué)家Saaty 在20世紀(jì)70年代初提出的.它是一種定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法.它是通過明確問題，建立層次結(jié)構(gòu)，構(gòu)造判定矩陣，層次單排序，層次總排序，一致性檢驗(yàn)六個步驟來進(jìn)行整個系統(tǒng)層次分析.

本文主要用層次分析理論進(jìn)行屬性的主觀定權(quán)，通過檢驗(yàn)后，再結(jié)合粗糙集方法得到的客觀權(quán)進(jìn)行組合，從而對學(xué)生進(jìn)行綜合評價.

3　粗糙集層次分析綜合評價法流程

3.1評價信息系統(tǒng)的建立

從指標(biāo)體系中找出最低一層指標(biāo)，用來構(gòu)成信息系統(tǒng)的屬性集合，而評價的對象作為信息系統(tǒng)的對象集合，就可以建立起一個由所有對象和各指標(biāo)值的信息系統(tǒng).

3.2離散化指標(biāo)數(shù)據(jù)

粗糙集方法只能處理離散化的數(shù)據(jù)，所以在評價中對每一個最低一層指標(biāo)屬性的評價結(jié)果用“1”“2”和“3”三個等級來衡量，并且根據(jù)實(shí)際情況分別用相應(yīng)的數(shù)值來代替.當(dāng)然在分級時也可用其它的離散化方法.

3.3信息系統(tǒng)屬性約簡

根據(jù)粗糙集屬性約簡原理進(jìn)行屬性約簡，從指標(biāo)體系中刪除多余的屬性，保留必要的屬性，形成一個新的最小約簡指標(biāo)體系.粗糙集屬性約簡的算法有很多，有基于互信息的屬性約簡算法、區(qū)分矩陣約簡算法、歸納屬性約簡算法、基于互信息的屬性約簡算法、基于搜索策略的屬性約簡算法和數(shù)據(jù)分析約簡算法等[9].其中，以區(qū)分矩陣的約簡算法[10]最有效率.本文利用區(qū)分矩陣來表達(dá)知識，在其基礎(chǔ)上構(gòu)造區(qū)分函數(shù)，運(yùn)用吸收率[11]化簡區(qū)分函數(shù)，最終得到約簡后的屬性集.

3.4粗糙集方法確定指標(biāo)的客觀權(quán)重

設(shè)S=（U,A,V,f）是一個信息系統(tǒng)，對化簡后的A={a1,a2,…,am}，屬性 ai在中的重要性為σCD（ai），則ai的權(quán)重定義為：

3.5層次分析法確定指標(biāo)的主觀權(quán)重

由粗糙集方法得到的信息系統(tǒng)約簡后的屬性集，再根據(jù)以往專家對各屬性的之間的比較，建立各因素之間的成對比較陣A.

3.6綜合評價合成

把主客觀權(quán)重進(jìn)行組合，可得：

其中α,β根據(jù)決策者對w1,w2的偏好程度進(jìn)行調(diào)節(jié).

利用上述結(jié)果，本文運(yùn)用線性加權(quán)法進(jìn)行計(jì)算：

其中：w（ai）為ai的組合權(quán)重；u（ai）為ai處理后的指標(biāo)值；S為綜合評價得分.

4　應(yīng)用實(shí)例

表1是某學(xué)院抽取15名大四學(xué)生的綜合成績建立的信息系統(tǒng)，并且組織教授專家對各位同學(xué)進(jìn)行了三個等級的評價.其中：條件屬性集C={a1為課外實(shí)習(xí)，a2四六級通過情況，a3為社會參與（例如：競賽獲獎，擔(dān)任職務(wù)，文體比賽等），a4為專業(yè)課成績平均分，a5為基礎(chǔ)課成績平均分，a6為選修課成績平均分}，決策屬性集D={f為最后得分}.

表1　某學(xué)院學(xué)生各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)信息表Table 1 A college student index data information table

4.1對表中個屬性進(jìn)行離散化處理

a1，a3，f：（1—優(yōu)，2—中，3—差）；a2：（1—六級，2—四級，3—未通過）；

a4，a5，a6：（1—＞85，2—70～85，3—＜70）；

4.2信息系統(tǒng)屬性約簡

根據(jù)上面分段，對知識表達(dá)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理，并且消去重復(fù)行后得到如下的知識表達(dá)系統(tǒng)簡化表2.

表2　知識表達(dá)系統(tǒng)簡化表Table 2　The simplify table of Know ledge expression system

再根據(jù)表2建立區(qū)分矩陣表3，而區(qū)分矩陣是對稱矩陣，所以，在計(jì)算時只需計(jì)算矩陣的一半元素，并且對象自己和自己不區(qū)分.

表3　區(qū)分矩陣Table 3　Discernibilitymatrix

區(qū)分矩陣是一個14×14表格，因?yàn)槠邢?，沒有全部列舉出來，然后把表格中數(shù)據(jù)先合取再析取得到區(qū)分函數(shù)為：

顯然，{a1,a2,a3,a4,a5}是指標(biāo)體系的唯一一個約簡，a6為選修課成績平均分不是關(guān)鍵指標(biāo)，所以在評價時，不予考慮.

注：當(dāng)出現(xiàn)多個約簡時，任意選擇一個約簡往下計(jì)算即可.

4.3計(jì)算指標(biāo)的客觀權(quán)重

令C={a1,a2,a3,a4,a5}為新的條件屬性，有

則：

可以求得：

同理可得：

σCf（a2）=0.1333,σCf（a3）=0.2,

σCf（a4）=0.2667,σCf（a5）=0.2

經(jīng)過歸一化處理后，最后各指標(biāo)權(quán)重為：

w1（a3）=w1（a5）=0.2143，w1（a4）=0.2856

4.4計(jì)算指標(biāo)的主觀權(quán)重

根據(jù)查閱相關(guān)資料[12]，通過兩兩比較，建立a1、a2、a3、a4、a5五個指標(biāo)的1-9標(biāo)度成對比較陣：

計(jì)算矩陣A最大特征值為：λ=5.0204；

最大特征值對應(yīng)歸一化的特征向量為：w2=（0.0663,0.1380,0.0669,0.4547,0.2742）；

因此，權(quán)向量（特征向量）可以作為最終決策的依據(jù).

4.5對學(xué)生進(jìn)行綜合評價

取α=2,β=1，即在評價時，更偏重客觀因素，可得：

為了更好地觀察結(jié)果，將指標(biāo)中的定性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的分值，如下：

a1，a3：（優(yōu)—60，中—40，差—20）；

a2：（六級—60，四級—40，未通過—20）；

由此可由

計(jì)算得出表4.

表4　兩種評價法結(jié)果比較Table 4　Comparison of the resultsabout two kindsof evaluationmethod

5　結(jié)論

從表4可以看出，u7、u15與專家評價（即人為主觀評價打分）稍有差距，主要原因在于u7雖然專業(yè)和基礎(chǔ)成績優(yōu)秀，但是其他方面較差，而u15與u13幾乎一樣，但專家給的評價相差很大，其根源在于專家評價給出的結(jié)果本身不太準(zhǔn)確.所以傳統(tǒng)的專家評價法具有太大的主觀性，而本文所提出的粗糙集層次分析法在屬性約簡和權(quán)重確定上，既考慮數(shù)據(jù)自身的特性，同時也考慮專家們的意見，從而得到更為細(xì)致準(zhǔn)確的結(jié)果.

[1]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M].第二版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]司守奎,孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

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（編校：許潔）

Application of Rough Set of Analytic Hierarchy Process in the Com prehensive Evaluation of Students

LUPeng1,WU Jianle2
（1.Division ofFoundation Courses,EmeiCampus,Southwest Jiaotong University,Emei,Sichuan 614202,China；2.College ofMathe?matics,Southwest Jiaotong University,Chengdu,Sichuan 610031,China）

The rough set theory and analytic hierarchy process（AHP）were introduced in the comprehensive evaluation of student,which can take advantage of rough set theory's particular functions of attribute-reduction and attribute-signifi?cance to realize in-depth analysisofdata and ensure objectivity,while AHP isa supplementon the subjective.The com?bination of the twomethods can optimize the comprehensive evaluation process.At the same time,rough setof AHP com?prehensive evaluation processwasestablished andmethodsofeach step were provided.An examplewasalso given to vali?date the feasibility and practicability of themethod.

rough set；analytic hierarchy process；comprehensive evaluation；attribute reduction

O159

A

1671-5365（2015）06-00103-05

2015-01-20修回：2015-03-12

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（2682014BR039）

盧鵬（1983-），男，講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模理論與方法、粗糙集理論與應(yīng)用

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-03-13 15：10網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150313.1510.001.html

引用格式：盧鵬，吳建樂.粗糙集層次分析法在學(xué)生綜合評價中的應(yīng)用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2015,15（6）：103-107.