孟吉祥， 吳枝根

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

完全粘接的柔性基底和較硬材料表層在側(cè)面受到壓力作用時(shí)，容易在較硬材料層的表面引起失穩(wěn)，便可形成皺紋或皺折［1－2］。一方面，表面失穩(wěn)起皺可能引起彈性層在剛性支撐面上產(chǎn)生剝離［3－4］甚至斷裂［5］，導(dǎo)致相 關(guān)器件 不能正 常工作。另一方面，失穩(wěn)起皺的模式可以用于測(cè)量彈性層的幾何和物理參數(shù)［6－7］、調(diào)節(jié)相位光柵［8］、制備光學(xué)傳感器［9］以及柔性電子產(chǎn)品［10］等。此外，研究彈性層表面的失穩(wěn)對(duì)探討地質(zhì)構(gòu)造的褶皺、地殼的屈曲和史前的造山運(yùn)動(dòng)也有一定的理論意義［11］。

彈性層表面穩(wěn)定性問題近年來(lái)引起了大量力學(xué)工作者的關(guān)注。通過對(duì)受壓橡膠體表面失穩(wěn)的線性擾動(dòng)分析，文獻(xiàn)［12］提出了超彈性半空間體表面失穩(wěn)的臨界壓應(yīng)變與材料彈性常數(shù)無(wú)關(guān)，并預(yù)測(cè)了均質(zhì)彈性層表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變，但這個(gè)結(jié)果后來(lái)經(jīng)實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為是偏高的［13］。對(duì)于剛性基底上不同硬度的雙層結(jié)構(gòu)凝膠層，若表面層較軟，其表面失穩(wěn)的臨界條件由表面層的材料參數(shù)決定；但表面層較硬時(shí)，失穩(wěn)的臨界條件要遠(yuǎn)低于表面層較軟的情況［14］。文獻(xiàn)［15］利用形變勢(shì)能的二階變分得到了梯度材料層中關(guān)于增量位移的平衡微分方程，給出了雙層結(jié)構(gòu)彈性層和梯度材料彈性層表面失穩(wěn)臨界條件的有限元數(shù)值解。

由于梯度材料層中關(guān)于增量位移的平衡微分方程很難得到解析解［15］，本文將其退化為均質(zhì)材料層的平衡微分方程，并對(duì)其進(jìn)行求解；通過解析法分析均質(zhì)材料彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件，以及均質(zhì)層表面失穩(wěn)的臨界應(yīng)變和材料參數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，本文又對(duì)雙層結(jié)構(gòu)的彈性層模型進(jìn)行分析，給出了雙層結(jié)構(gòu)彈性層表層與里層的厚度比、彈性模量比與臨界應(yīng)變和臨界波長(zhǎng)的關(guān)系。

1 單一均質(zhì)彈性層表面失穩(wěn)分析

圖1所示為厚度為h的彈性材料層，上表面為自由面，下表面與剛性平面完全粘接，坐標(biāo)軸x1位于彈性層的自由面，x2沿彈性層的厚度方向。材料的本構(gòu)關(guān)系為：

其中，σij為應(yīng)力張量；εkl為應(yīng)變張量。彈性張量Cijkl滿足對(duì)稱關(guān)系：

圖1 彈性材料層模型

在平面應(yīng)變狀態(tài)下，彈性層兩側(cè)受平行于x1方向的壓力作用。當(dāng)兩側(cè)壓力增加到某一臨界值時(shí)，彈性層將由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)槭Х€(wěn)狀態(tài)，并隨著變形的增加在表面形成皺紋或皺折。將側(cè)向壓力作用下表面穩(wěn)定時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)作為基礎(chǔ)應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量記為，則應(yīng)力分量滿足平衡微分方程：

應(yīng)力邊界條件為：

假設(shè)彈性層材料均勻且各向同性，則彈性參數(shù)與拉梅常數(shù)λ和μ的關(guān)系為：

為了確定彈性層在側(cè)向壓力作用下的表面失穩(wěn)的臨界條件，通過對(duì)彈性層在基礎(chǔ)應(yīng)力狀態(tài)下形變勢(shì)能的二階變分等于0，可以得到平衡方程［15］：

其中，Δui表示xi方向的增量位移；Δui，kl表示Δui連續(xù)對(duì)xk和xl求偏導(dǎo)；表示臨界應(yīng)力。應(yīng)力邊界條件為：

設(shè)增量位移的特征模式［14－15］為：

將（6）式代入（4）式、（5）式可得：

位移邊界條件為：

解微分方程（7）式可得：

其中，A1、A2、A3、A4為待定常數(shù)。

將（10）式代入邊界條件（8）式、（9）式，得到關(guān)于待定常數(shù)的4個(gè)線性齊次方程，矩陣形式為：

其中，待定常數(shù)矩陣A＝［A1A2A3A4］T；系數(shù)矩陣為：

彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件是（12）式有非零解，因而系數(shù)矩陣（13）式的行列式必為0，即

由（14）式可見，臨界應(yīng)力與波數(shù)ωh、拉梅常數(shù)μ和λ都相關(guān)。如果考慮：

其中，E、ν分別為材料的彈性模量和泊松比。由（11）式可得p、q與E無(wú)關(guān)，由（13）式可得方程（14）與E也無(wú)關(guān)。因此（14）式可簡(jiǎn)化為：

可見，臨界應(yīng)變只和材料的泊松比有關(guān)，而與彈性模量無(wú)關(guān)。由圖2所示的臨界應(yīng)變與波數(shù)的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)，臨界應(yīng)變隨著波數(shù)的增加而減小，當(dāng)波數(shù)約大于12時(shí)，臨界應(yīng)變基本保持不變，說(shuō)明均勻彈性層的表面失穩(wěn)形式是波長(zhǎng)不確定的短波模式；隨著泊松比的增加，臨界應(yīng)變卻在減小。本文得到的彈性材料的臨界應(yīng)變明顯低于橡膠材料預(yù)測(cè)的臨界應(yīng)變［12－13，16］。

圖2 臨界應(yīng)變與干擾波數(shù)ωh的關(guān)系

2 雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)分析

考慮彈性層為2層完全粘接的均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)，其中表層的厚度為hf，里層的厚度為hs，即表層和里層分別位于0≤x2≤hf和hf＜x2≤h。對(duì)于每一層，增量位移的特征模式仍然可設(shè)為：

其中，k＝1表示表層，k＝2表示里層。微分方程中的（10）式在雙層材料中形式為：

其中

對(duì)于雙層結(jié)構(gòu)彈性層，除了要滿足邊界條件（8）式、（9）式，表層和里層的界面還應(yīng)滿足連續(xù)條件：

雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)的臨界條件為：

由（24）式可見，雙層結(jié)構(gòu)彈性層的臨界應(yīng)變不僅與各層的拉梅常數(shù)有關(guān)，還與層厚比有關(guān)。

3 算例分析與比較

圖3 臨界應(yīng)變與正則化的干擾波數(shù)ωhf的關(guān)系

圖4 臨界應(yīng)變、臨界波長(zhǎng)2π／（ω＊hf）與厚度比hs／hf的關(guān)系

由圖4可知，本文得到的理論解與文獻(xiàn)［1］的結(jié)果吻合得很好，驗(yàn)證了本文理論解的正確性。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過求解均質(zhì)彈性層增量位移表示的平衡微分方程，利用邊界條件和界面連續(xù)條件，得出了均質(zhì)層和雙層結(jié)構(gòu)彈性層表面失穩(wěn)臨界條件的解析解。對(duì)均質(zhì)彈性層的分析結(jié)果表明，臨界應(yīng)變只與材料的泊松比有關(guān)，而與彈性模量無(wú)關(guān)，失穩(wěn)形式為波長(zhǎng)不確定的短波模式。對(duì)于雙層結(jié)構(gòu)的彈性層，臨界應(yīng)變隨著表層和里層的彈性模量比的增加而減少，而臨界波長(zhǎng)在增大；當(dāng)里層和表層的厚度比增加時(shí)，臨界應(yīng)變?cè)跍p小，而臨界波長(zhǎng)在增大，失穩(wěn)形式為長(zhǎng)波模式。

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