董小茹

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，陜西 西安710127)

0 引 言

數(shù)論，在數(shù)學(xué)中就是研究數(shù)的規(guī)律，特別是研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)。它與幾何學(xué)一樣，是數(shù)學(xué)中最古老的分支，在現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中占有非常重要而又特殊的地位［1-5］。

當(dāng)自變量n 在某個(gè)整數(shù)集合中取值，因變量y取實(shí)數(shù)值或復(fù)數(shù)值的函數(shù)稱之為數(shù)論函數(shù)，由于很多情形下他們可以看成是特殊的序列，因此數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)研究在數(shù)論中占有舉足輕重的地位，很多重要的算術(shù)函數(shù)的單個(gè)取值是沒(méi)有規(guī)律的，更不要說(shuō)給出一個(gè)具體的通式顯然是不可能的，但是其均值往往具有非常規(guī)則的漸近公式［6-8］。因而數(shù)論函數(shù)的均值估計(jì)問(wèn)題在數(shù)論研究中占有非常重要的位置，是眾多學(xué)者研究的課題之一，數(shù)論中很多領(lǐng)域都與此有密切的聯(lián)系［9-12］，因而在這一領(lǐng)域取得任何實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展都將對(duì)數(shù)論有很重要的推動(dòng)作用［13-15］。

文中的目的是利用初等方法研究了Smarandache 可乘函數(shù)J(n)在簡(jiǎn)單數(shù)中的均值性質(zhì)，并給出了一個(gè)有趣的漸近式。其中用到了以下內(nèi)容:歐拉函數(shù)，即對(duì)任意正整數(shù)n ≥1，Euler 函數(shù)φ(n)表示為所有不超過(guò)n 且與n 互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。

類似的，也定義函數(shù)J(n)為模n 所有原Dirichlet 特征的個(gè)數(shù)，即J(n)= n(p -1)2.具體的證明應(yīng)用Abel 恒等式，級(jí)數(shù)的收斂性等知識(shí)。

1 引理的證明

引理1 若n 為簡(jiǎn)單數(shù)，則n 的取值只能為n= p，n = p2，n = p3，n = pq 這4 種情況，其中p，q 是不同的素?cái)?shù)。

證明 參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］

引理2

同理可證

其中用到

下面證明(4)，應(yīng)用拆分原理。

而

其中用到

同理

所以由①②③式有

而(4)式變?yōu)?/p>

于是完成了引理2 的證明。

2 定理的證明

現(xiàn)在給出定理的證明。事實(shí)上，根據(jù)引理1 及引理2 可以得到

對(duì)任意對(duì)任意x ∈R，x ≥3，有漸近式

綜上所述，定理證畢。

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