付亞榮

(中國石油華北油田第五采油廠，河北 辛集 052360)

稠油冷采技術(shù)包括出砂冷采、Vapex和化學(xué)法冷采等［1］，稠油冷采舉升設(shè)備中螺桿泵具有連續(xù)而穩(wěn)定的壓力“窗口”［2］，在國內(nèi)外報(bào)道較多［3-4］，陳永紅等人［5］計(jì)算了螺桿泵井抽油桿柱伸長量后，提出的防沖距確定方法使其提升簡單、準(zhǔn)確，卡泵率幾乎為零。近年來油田采用螺桿泵配套同軸雙空心抽油桿冷采特稠油取得了成功，但因同軸雙空心抽油桿直徑增大，加熱后其伸長量增加，因此憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行防沖距調(diào)整。為此，建立同軸雙空心抽油桿“協(xié)同”螺桿泵井防沖距調(diào)整的數(shù)學(xué)模型，通過單點(diǎn)打靶法采用VB6.0編寫計(jì)算程序?qū)Ψ罌_距的長度進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算防沖距的調(diào)整長度，避免了卡泵現(xiàn)象的發(fā)生，提高了螺桿泵井的一次作業(yè)成功率和生產(chǎn)時(shí)效。

1 數(shù)學(xué)模型的建立及求解

1.1 防沖距數(shù)學(xué)模型

同軸雙空心抽油桿是一種具有內(nèi)外相互密封的獨(dú)立通道的內(nèi)循環(huán)熱傳導(dǎo)加熱系統(tǒng)，地面熱交換器將水、導(dǎo)熱油、防凍液等熱載體加熱，在循環(huán)泵的驅(qū)動(dòng)下，從同軸雙空心抽油桿的內(nèi)通道高速流至其下端后流入外空心通道，從外管返回時(shí)通過散熱對(duì)油管內(nèi)的原油加熱，最后熱載體返至地面熱交換器再次加熱。以防沖距的長度最優(yōu)為目標(biāo)，以同軸雙空心抽油桿下入深度、進(jìn)出口溫度差為約束條件［8］，建立防沖距長度的計(jì)算模型:

式中:H—防沖距長度，m;Δt—同軸雙空心桿進(jìn)、出口溫度差(T1進(jìn)-T2出)，℃;M — 同軸式雙空心抽油桿內(nèi)熱載體軟化水的水量，kg/km;k1— 同軸式雙空心抽油桿內(nèi)熱載體軟化水的流動(dòng)速率;∑ki—一級(jí)動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)化速率，取0.55～0.60;p1— 油井井口回壓，MPa;p2— 在同軸式雙空心抽油桿內(nèi)循環(huán)的循環(huán)水的壓力，MPa;k2— O2的亨利常數(shù)，4.40×106;∑pi— 指一定溫度下，處于平衡狀態(tài)時(shí)，水與空氣在固定相中的濃度和在流動(dòng)相中的濃度之比;Ac—油管橫截面面積，mm2;r—同軸式雙空心抽油桿本體半徑，mm;F—同軸式雙空心抽油桿每千米的伸長量，m/km;E— 雙空心抽油桿的彈性模量，Pa;I— 雙空心抽油桿的極慣性矩，m4。

結(jié)構(gòu)特殊的井下螺桿泵，防沖距過大或過小都會(huì)在生產(chǎn)中產(chǎn)生一定的問題［5］。螺桿泵井中同軸雙空心抽油桿的伸長量包括:同軸雙空心抽油桿柱的自然伸長量、螺桿泵轉(zhuǎn)子受液壓差軸向力作用的自然伸長量、桿柱受熱的伸長量。其約束條件為:(1)同軸雙空心桿進(jìn)出口溫度差已知，即Δt=T1-T2;(2)同軸式雙空心抽油桿每千米的伸長量已知，即F=0.923 m/km;(3)雙空心抽油桿的彈性模量E和極慣性矩I已知。

從防沖距長度的計(jì)算模型可知:微分方程和約束條件是封閉的，它的解是唯一的;邊界條件既有模型隱式條件，也有顯式條件，不適合采用Runge-Kutta法或歐拉方法求解［10-11］，且模型中防沖距的長度和同軸雙空心桿進(jìn)出口溫度差均是F、E、I、Ac等參數(shù)的非線性函數(shù)，直接求解十分困難。

1.2 數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解

打靶法是將解歸約為一個(gè)初值問題的求解邊界值問題的方法［12］。單點(diǎn)打靶法將隱式邊界作為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)顯式化，是一個(gè)求解單變量非線性方程求得初始值的過程。在式(1)中H=0時(shí)，Δt=0，同軸式雙空心抽油桿每千米的伸長量F已知，相當(dāng)于缺少一個(gè)初始值。假設(shè)雙空心桿進(jìn)出口溫度差Δt=x為待求變量，用初始值(H，x1，x2)對(duì)式(1)積分，得到H=F時(shí)Δt的邊界值x1(F)、x2(F)，因?yàn)镕已知，所以定義殘差函數(shù)為:

當(dāng)Y(x)=0時(shí)，殘差函數(shù)Y(x)無法顯式表現(xiàn)出來，對(duì)于給定的初始值(H，x，x)需要解微分方程得出Y。為減少誤差積累，采用四階龍格庫塔法吉爾格式［13］，為保證求解過程的穩(wěn)定性和數(shù)值解的精度，取步長h≤20 m，采用弦割法求非線性方程的解法求出其根。具體求解步驟為:

①求式(2)的函數(shù)值Y1、Y2。

在閉區(qū)間［xmin，xmax］內(nèi)任意取初值 x1、x2，并滿足 xmin≤x1，x2≤xmax，步進(jìn)單位取 Δx=0.5(x2-x1)。

②求Y(x)=0的近似根。

若Y1Y2＜0，用線性插值法求出Y(x)=0的近似根為:

當(dāng) x=min{max{xmin，x}，xmax}時(shí)，進(jìn)行步驟④，否則進(jìn)行步驟③。

③若(Y1-Y2)Y1＜0，則向左更新 x1、x2，取

若(Y1-Y2)Y1＞0，則向右更新 x1、x2，取

求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值Y1、Y2，且返回至步驟②，直到滿足:Y1Y2＜0。

④將線性插值得到的x代入式(2)，得到新的函數(shù)值Y3。

⑥若(Y1-Y2)Y3＞0，則 x1=x，Y1=Y3;若(Y1-Y2)Y3＜0，則 x2=x，Y2=Y3。插值求新的 x，并進(jìn)行步驟④。

⑦將(H，x1，x2)代入式(1)求解，得到數(shù)學(xué)模型的唯一解。

2 實(shí)例計(jì)算

例如:澤70-9X井50℃地面原油黏度降為4.717 3×104mPa·s，采用雙空心抽油桿配套螺桿泵恢復(fù)，設(shè)計(jì)泵深1 200～1 400 m。每千米同軸式雙空心抽油桿內(nèi)循環(huán)水的質(zhì)量M=600 kg;油井井口回壓為:1.0～2.5 MPa;油管橫截面面積Ac指內(nèi)徑為76 mm(外徑89 mm)的加厚油管內(nèi)橫截面面積，取4 534.16 mm2;雙空心抽油桿本體半徑r取42 mm;根據(jù)不同的井深依據(jù)數(shù)學(xué)模型式(1)，采用VB6.0編寫計(jì)算程序?qū)Ψ罌_距的長度進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果為1.5～1.8 m，2012年8月23日投產(chǎn)，泵深1 200 m，防沖距為1.6 m，目前仍正常生產(chǎn)。

3 結(jié)論

(1)利用單點(diǎn)打靶法對(duì)防沖距數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，方便實(shí)用，運(yùn)算速度快，提高了優(yōu)化效率和計(jì)算精度。

(2)現(xiàn)場(chǎng)5口油井實(shí)踐證明，該方法對(duì)同軸雙空心抽油桿配套螺桿泵防沖距的提升簡單、準(zhǔn)確，完全避免了卡泵現(xiàn)象的發(fā)生，大大提高了螺桿泵井的一次作業(yè)成功率和生產(chǎn)時(shí)效。

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