黃方 章向明

摘 要：工程力學(xué)所包含的內(nèi)容極其廣泛，其中，動(dòng)力學(xué)由于計(jì)算復(fù)雜、內(nèi)容抽象而一直是教學(xué)的難點(diǎn)。MATLAB是美國(guó)Mathworks公司開發(fā)的一種集符號(hào)運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、圖形可視化等多種功能于一體的大型數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，本文針對(duì)工程力學(xué)中較復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題，通過實(shí)際工程中一常用的彈簧振子實(shí)例說明了在工程力學(xué)課程的學(xué)習(xí)中如何引入MATLAB，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，證明合理使用計(jì)算機(jī)軟件，既能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能提高學(xué)生對(duì)理論力學(xué)的掌握程度，提高學(xué)生的工程能力。

關(guān)鍵詞：MATLAB軟件 工程力學(xué) 動(dòng)力學(xué) 阻尼

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（a）-0123-01

傳統(tǒng)工程力學(xué)教學(xué)只注重理論和基本概念的掌握。主要采用手算，將過多的精力用于解題技巧，忽略科學(xué)計(jì)算能力的培養(yǎng)。顯然，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及，這種傳統(tǒng)培養(yǎng)模式已經(jīng)不能滿足新世紀(jì)對(duì)人才的需求。未來教學(xué)的主要模式一定是在原有的課程體系中適當(dāng)?shù)匾M(jìn)科學(xué)計(jì)算技術(shù)和手段，提高學(xué)生處理復(fù)雜問題的能力。

1 MATLAB在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用

MATLAB有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，且易學(xué)易用，對(duì)學(xué)生而言，它是一個(gè)真正的計(jì)算工具，而不是一門新的計(jì)算機(jī)課程，只要經(jīng)過很短時(shí)間的練習(xí)，就能用它完成所需要的計(jì)算。多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，工程力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)部分由于涉及到阻尼、加速度等概念，學(xué)生掌握起來比較困難，本文即以一基本的彈簧振子模型為例說明MATLAB在工程力學(xué)之動(dòng)力學(xué)研究中的應(yīng)用。

假設(shè)在彈簧的一端掛著一個(gè)振子，我們用力把這個(gè)振子拉離平衡位置，然后放手，這個(gè)振子就做上下振動(dòng)。最后，振動(dòng)逐漸衰減，直到我們不能覺察為止。振動(dòng)的衰減快慢是系統(tǒng)的阻尼系數(shù)的函數(shù)。在彈簧振子這樣最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)里，阻尼系數(shù)很小。但是在其他一些系統(tǒng)里，比如在汽車的避震系統(tǒng)里，阻尼器（減震器）是不可缺少的一部分，同樣在工程的其他更多領(lǐng)域里都非常重要。彈簧振子模型可以應(yīng)用于避震系統(tǒng)、建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)等機(jī)械系統(tǒng)，也可以應(yīng)用于液壓系統(tǒng)。

彈簧振子模型的位移響應(yīng)可以通過列出并求解該系統(tǒng)的微分方程來獲得。在欠阻尼條件下，阻尼很小，允許振子振動(dòng)。在過阻尼條件下，則振子回到原來的位置都是不可能的。如果阻尼正好使得振子回到原來位置，但是并沒有引起振動(dòng)，則我們稱它為臨界阻尼。在欠阻尼條件下，彈簧振子的位移響應(yīng)解是：

式中：—— 振子相對(duì)于平衡位置的偏移量（振幅）。

—— 初始偏移值（即在時(shí)刻的偏移量）。

—— 系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率。它表示系統(tǒng)每秒鐘自由振動(dòng)的次數(shù)。

—— 阻尼比。它的值介于0～1之間。

—— 阻尼頻率，它的計(jì)算公式是：

這個(gè)解是假設(shè)初速度為0時(shí)得到的，即把彈簧拉伸到位置后釋放。顯然振幅是時(shí)間的函數(shù)，繪制彈簧振子系統(tǒng)的位移隨時(shí)間的變化曲線。假設(shè)，。分別討論無阻尼和欠阻尼，即和時(shí)的情況。MATLAB編程如下：

y0=4.0；

dc=0.0；

fr=2*pi；

fd=fr*sqrt（1-dc^2）；

for

i=1∶101

t（i）=（i-1）*0.05；

c=cos（fd*t（i））；

s=sin（fd*t（i））；

e=exp（-dc*fr*t（i））；

y（i）=（y0*c+y0*dc*fr/fd*s）*e；

end

plot（t，y）

dc2=0.05；

fd2=fr*sqrt（1-dc2^2）；

for

i=1∶101

c=cos（fd2*t（i））；

s=sin（fd2*t（i））；

e=exp（-dc2*fr*t（i））；

y2（i）=（y0*c+y0*dc2*fr/fd2*s）*e；

end

hold on

plot（t，y2，‘LineWidth，3， ‘LineStyle，‘-，‘Color，‘red）；

legend（阻尼比=0.0，阻尼比=0.05）；

通過命令運(yùn)行程序，即可得到下面圖形。

2 結(jié)語

通過MATLAB編程后得到的圖1我們可以很清晰地看到，當(dāng)阻尼比為0也就是無阻尼情況下，振子可以一直振動(dòng)下去且振幅不衰減，但當(dāng)阻尼比為0.05的欠阻尼時(shí)，振子仍然可以振動(dòng)但振幅逐漸衰減直到0為止。這樣一來，一個(gè)抽象的動(dòng)力學(xué)問題便通過圖形化具體地展現(xiàn)在學(xué)生面前，相對(duì)于枯燥的公式記憶，學(xué)生通過這種模式會(huì)加深對(duì)力學(xué)基本概念的掌握和理解，并且自己編程解決問題也會(huì)極大地增強(qiáng)學(xué)生在掌握知識(shí)后的成就感，進(jìn)而提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。所以希望能有更多的教師在工作中應(yīng)用這一現(xiàn)代化的教學(xué)工具。

參考文獻(xiàn)

[1] 張定華.工程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] 高俊斌.MATLAB語言與程序設(shè)計(jì)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，1998.

[3] 張志涌.掌握和精通MATLAB[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1999.

[4] 張錚，楊文平，石博強(qiáng)，等.MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2003.

[5] 陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應(yīng)用指南[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2000.