洪少華

摘 ?要：物理模型法是抓主要的、本質(zhì)的，在一定條件下，將主要問題突現(xiàn)出來作為“模型”進(jìn)行研究的一種非常重要的方法。作為物理學(xué)分支的力學(xué)課題，可以按照其認(rèn)知結(jié)構(gòu)廣泛運(yùn)用客觀模型、過程模型及數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，破解一些比較復(fù)雜的實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：力學(xué);物理模型;模型法

中圖分類號：TP393 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1006-8937（2014）36-0062-02

由自然科學(xué)的特點(diǎn)可知，力學(xué)是工程技術(shù)的精髓。因此，力學(xué)問題既是工程技術(shù)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。要解決這一難題，需要我們借助物理模型法予以破解。

1 ?物理模型的概念及類別

物理學(xué)探知物質(zhì)世界的方法很多，如實(shí)驗法、模型法、推理法、分析法、假設(shè)法、圖象法、數(shù)學(xué)方法等。其中，物理模型法排除了實(shí)際物理現(xiàn)象或過程中的非本質(zhì)因素的干擾，舍棄次要因素和無關(guān)因素，突出地反映客觀事物本質(zhì)特征，從而使物理現(xiàn)象和物理過程得到簡化和理想化，對破解力學(xué)難題具有重要作用。所謂物理模型，就是抓住本質(zhì)解決問題，對復(fù)雜變化的事物進(jìn)行簡化抽象后而建立的理想化模型。作為物理學(xué)分支的力學(xué)模型，是從復(fù)雜的物體運(yùn)動中抓住共性，找出反映事物本質(zhì)的主要因素，略去次要因素，經(jīng)過簡化，把作機(jī)械運(yùn)動的實(shí)際物體和過程進(jìn)行抽象的理想化模型。按照力學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，解決問題的第一步是選取研究對象;第二部是確定運(yùn)動過程;第三部將運(yùn)動過程與數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系起來，建立函數(shù)關(guān)系求解。依次形成三類模型：客體模型、過程模型和數(shù)學(xué)模型。

1.1 ?客體模型

力學(xué)研究的物體，是作機(jī)械運(yùn)動的客觀存在的實(shí)際物體，依據(jù)上述從具體事物的復(fù)雜現(xiàn)象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素的觀點(diǎn)，我們可以將經(jīng)過處理后作機(jī)械運(yùn)動的具體物體抽象為力學(xué)模型，這種力學(xué)模型就是我們所稱的客體模型。其關(guān)鍵詞是抽象、去繁從簡，如，力學(xué)中研究某些物體的運(yùn)動時，如果物體本身的尺寸與所研究問題中的有關(guān)距離相比很小，又不要求涉及物體自身的轉(zhuǎn)動等因素，就可忽略物體的大小和形狀，突出物體的質(zhì)量和位置，用一個有質(zhì)量的點(diǎn)來代替整個物體，建立起“質(zhì)點(diǎn)”模型;又如，將變形很小的物體抽象為剛體;再如，研究跳水運(yùn)動員時可以將他看作質(zhì)量全部集中在其重心的一個質(zhì)點(diǎn)模型。

1.2 ?過程模型

所謂過程模型，是指把一個具體抽象的物理過程，還原成一個理想的便于研究的簡單過程。建立過程模型的要點(diǎn)，是將實(shí)際物理運(yùn)動過程進(jìn)行處理，忽視次要因素，考慮主要因素;忽略個性，考慮共性，使之成為典型過程。如，若下落物體是一個不計質(zhì)量大小的“質(zhì)點(diǎn)”，且從靜止開始下落，忽略空氣阻力和浮力的作用，只受恒定的重力作用（由于運(yùn)動范圍不大，重力隨高度變化可忽略不計），則這個物體在這樣理想化的條件下的運(yùn)動過程，就可稱為自由落體運(yùn)動過程模型。

1.3 ?數(shù)學(xué)模型

客觀世界的一切規(guī)律原則上都可以在數(shù)學(xué)中找到它們的表現(xiàn)形式，力學(xué)研究客觀世界時，通常采用抽象、概括的方法，將客觀條件模型化，同時又離不開數(shù)學(xué)這個工具，需要將客體的屬性及運(yùn)動變化規(guī)律數(shù)學(xué)公式化，這就是本文所定義的數(shù)學(xué)模型。

2 ?模型法在基礎(chǔ)力學(xué)中的應(yīng)用

力學(xué)問題的解決，是指要弄清楚實(shí)際問題中的研究對象，它所處的運(yùn)動狀態(tài)，運(yùn)動狀態(tài)過程的變化特點(diǎn)和結(jié)果等方面的內(nèi)容。在工程實(shí)際中，力學(xué)研究的機(jī)械運(yùn)動復(fù)雜多樣，變化萬千，我們不可能一個一個地分別進(jìn)行研究，需要我們按照以上所述的從具體事物的復(fù)雜現(xiàn)象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素，把作機(jī)械運(yùn)動的具體物體抽象為一種力學(xué)模型。因此，運(yùn)用力學(xué)知識解決具體問題的關(guān)鍵，就是要善于將問題中的實(shí)際物體（研究對象）和作機(jī)械運(yùn)動過程抽象為怎樣的力學(xué)模型。然后，通過轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方程求解，得到最后的結(jié)果。下面通過幾個實(shí)例，分別側(cè)重闡述客體模型、過程模型和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用問題。

2.1 ?關(guān)于客體模型的應(yīng)用

已知太陽光射到地面歷時8 min20 s，試計算太陽的質(zhì)量。

解析：本例的重點(diǎn)是客體模型的確定。由于本例涉及的太陽和地球本身的尺寸與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的距離相比甚小，又不涉及它們自身的轉(zhuǎn)動問題。故可將太陽和地球均抽象為“質(zhì)點(diǎn)”模型。按照建立力學(xué)模型的思想，將地球繞太陽的變速橢圓運(yùn)動可看作“勻速圓周運(yùn)動”，故設(shè)太陽和地球的質(zhì)量分別為M和m，地球繞太陽旋轉(zhuǎn)的周期為T，地心與太心的距離為R，由向心力與圓周運(yùn)動的關(guān)系，可得：

所以，將發(fā)掘的隱含條件，找出已知條件代入上式計算，即可求解太陽的質(zhì)量：

M=2.00×1030 kg

由上例可見，在一定的條件下，對涉及地球和太陽這樣的“龐然大物”的運(yùn)動問題，按抓主要矛盾的方法，可將其簡化為質(zhì)點(diǎn)，否則，很難求解。

將“龐然大物”簡化為質(zhì)點(diǎn)，與先驗觀念是相悖的。先驗觀念認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)等同于“小物體”，“大物體”是不可以看成質(zhì)點(diǎn)的。因此，正確建立客體模型，要克服只有“小物體”才可以簡化為質(zhì)點(diǎn)的模糊認(rèn)識，因為，建立模型的手段是“近似”，但本質(zhì)不是“近似”，而是“科學(xué)的抽象”?？腕w模型不是完全由研究對象自身的尺寸大小所決定的，它還與所處的環(huán)境，即它的運(yùn)動、變化情況有密切關(guān)系，同是一個物體（不論尺寸大小、形狀），有時可看作質(zhì)點(diǎn)，有時則不行。如，研究地球公轉(zhuǎn)時可抽象為質(zhì)點(diǎn)，研究自轉(zhuǎn)時就不可以。

2.2 ?關(guān)于過程模型的應(yīng)用

一質(zhì)量為60kg的學(xué)生參加跳繩活動。測定他每分鐘跳繩150次，每次與地面接觸時間2/5，則該生跳繩時克服重力做功的平均功率為（令g=10 m/s2）：

A.21.6 w ? B.108 w ? C.150 w ? D.200 w

解析：本例的重點(diǎn)是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質(zhì)點(diǎn)豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據(jù)豎直上拋運(yùn)動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應(yīng)用的關(guān)鍵是物理過程的分析及其處理。力學(xué)研究的是自然界中最普遍的機(jī)械運(yùn)動，而運(yùn)動對象自身及其運(yùn)動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復(fù)雜因素考慮進(jìn)來，就會增加研究的難度，甚至無法進(jìn)行研究。因此，建立模型就要仔細(xì)分析研究對象的運(yùn)動過程，充分考慮客觀事物的本質(zhì)屬性，忽視次要的非本質(zhì)屬性，將復(fù)雜的事物或運(yùn)動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進(jìn)而解決實(shí)際問題。這種將復(fù)雜問題進(jìn)行分解、簡化、抽象成力學(xué)模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復(fù)雜的問題。力學(xué)中解決實(shí)際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學(xué)的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點(diǎn)不遠(yuǎn)的B處?，F(xiàn)同時從靜止開始釋放，問誰先到達(dá)A點(diǎn)。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運(yùn)動過程很容易判斷為自由落體運(yùn)動;難點(diǎn)是從B處開始釋放物體的運(yùn)動過程的確定，一般很容易被看成圓周運(yùn)動。仔細(xì)推敲：這里是軌道對物體產(chǎn)生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運(yùn)動的受力及運(yùn)動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達(dá)A點(diǎn)的正確答案。可見，過程模型的正確運(yùn)用可以突破較難的力學(xué)問題。

2.3 ?關(guān)于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

現(xiàn)沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關(guān)鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運(yùn)動方向的夾角有關(guān)。咋看似乎這個夾角a越小，沿運(yùn)動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細(xì)分析，a夾角越小，F(xiàn)的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N(yùn)，可知摩擦力也就較大。因此很難下結(jié)論說夾角越小越省力。要準(zhǔn)確回答這個問題必須建立F與a間的函數(shù)關(guān)系，遵循函數(shù)與機(jī)械運(yùn)動的關(guān)系，連續(xù)求導(dǎo)，建立數(shù)學(xué)模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據(jù)靜力平衡方程，建立數(shù)學(xué)模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，建立新的數(shù)學(xué)方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F(xiàn)（a）有極值

③令F（a）的二階導(dǎo)數(shù)為零，再建數(shù)學(xué)方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數(shù)F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學(xué)中的應(yīng)用

例如，天文學(xué)家預(yù)測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設(shè)距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學(xué)發(fā)展史可知，力學(xué)的概念及其理論，大都源自對天體運(yùn)動的探研，故天體力學(xué)問題，可以運(yùn)用模型法進(jìn)行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運(yùn)動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設(shè)星體和黑洞的質(zhì)量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運(yùn)動似作圓周運(yùn)動

③建立數(shù)學(xué)模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設(shè)以光速C運(yùn)動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

參考文獻(xiàn)：

[1] 上海市高等工業(yè)學(xué)校物理學(xué)編寫組.普通物理學(xué)[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，錢景華，等.改變世界的物理學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1998.

[3] 朱傳龍.物理教學(xué)思維方式[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2000.

[4] 張倩.物理模型淺析[J].沈陽教育學(xué)院學(xué)報，1999，（12）.

[5] 韓峰.物理模型淺說[J].濟(jì)寧師范專科學(xué)校學(xué)報，2003，（6）.

[6] 翟秀蓮.淺析如何用模型法解決物理問題[J].科協(xié)論壇，2011，（8）.

解析：本例的重點(diǎn)是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質(zhì)點(diǎn)豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據(jù)豎直上拋運(yùn)動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應(yīng)用的關(guān)鍵是物理過程的分析及其處理。力學(xué)研究的是自然界中最普遍的機(jī)械運(yùn)動，而運(yùn)動對象自身及其運(yùn)動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復(fù)雜因素考慮進(jìn)來，就會增加研究的難度，甚至無法進(jìn)行研究。因此，建立模型就要仔細(xì)分析研究對象的運(yùn)動過程，充分考慮客觀事物的本質(zhì)屬性，忽視次要的非本質(zhì)屬性，將復(fù)雜的事物或運(yùn)動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進(jìn)而解決實(shí)際問題。這種將復(fù)雜問題進(jìn)行分解、簡化、抽象成力學(xué)模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復(fù)雜的問題。力學(xué)中解決實(shí)際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學(xué)的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點(diǎn)不遠(yuǎn)的B處?，F(xiàn)同時從靜止開始釋放，問誰先到達(dá)A點(diǎn)。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運(yùn)動過程很容易判斷為自由落體運(yùn)動;難點(diǎn)是從B處開始釋放物體的運(yùn)動過程的確定，一般很容易被看成圓周運(yùn)動。仔細(xì)推敲：這里是軌道對物體產(chǎn)生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運(yùn)動的受力及運(yùn)動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達(dá)A點(diǎn)的正確答案?？梢姡^程模型的正確運(yùn)用可以突破較難的力學(xué)問題。

2.3 ?關(guān)于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

現(xiàn)沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關(guān)鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運(yùn)動方向的夾角有關(guān)。咋看似乎這個夾角a越小，沿運(yùn)動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細(xì)分析，a夾角越小，F(xiàn)的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N(yùn)，可知摩擦力也就較大。因此很難下結(jié)論說夾角越小越省力。要準(zhǔn)確回答這個問題必須建立F與a間的函數(shù)關(guān)系，遵循函數(shù)與機(jī)械運(yùn)動的關(guān)系，連續(xù)求導(dǎo)，建立數(shù)學(xué)模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據(jù)靜力平衡方程，建立數(shù)學(xué)模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，建立新的數(shù)學(xué)方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F(xiàn)（a）有極值

③令F（a）的二階導(dǎo)數(shù)為零，再建數(shù)學(xué)方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數(shù)F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學(xué)中的應(yīng)用

例如，天文學(xué)家預(yù)測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設(shè)距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學(xué)發(fā)展史可知，力學(xué)的概念及其理論，大都源自對天體運(yùn)動的探研，故天體力學(xué)問題，可以運(yùn)用模型法進(jìn)行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運(yùn)動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設(shè)星體和黑洞的質(zhì)量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運(yùn)動似作圓周運(yùn)動

③建立數(shù)學(xué)模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設(shè)以光速C運(yùn)動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

參考文獻(xiàn)：

[1] 上海市高等工業(yè)學(xué)校物理學(xué)編寫組.普通物理學(xué)[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，錢景華，等.改變世界的物理學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1998.

[3] 朱傳龍.物理教學(xué)思維方式[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2000.

[4] 張倩.物理模型淺析[J].沈陽教育學(xué)院學(xué)報，1999，（12）.

[5] 韓峰.物理模型淺說[J].濟(jì)寧師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2003，（6）.

[6] 翟秀蓮.淺析如何用模型法解決物理問題[J].科協(xié)論壇，2011，（8）.

解析：本例的重點(diǎn)是過程模型的建立，咋看難度很大，無從下手，但是我們把跳繩分解成腳脫離地面和腳接觸地面兩段過程，在跳離到落回地面這段時間里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身體上、下的平動，因此可以建立質(zhì)點(diǎn)豎直上拋的過程模型。起跳時的動能可以根據(jù)豎直上拋運(yùn)動求出，再求出平均跳一次的時間即可求出平均功率，解出本題的正確答案為B。

通過上例分析可知，過程模型的應(yīng)用的關(guān)鍵是物理過程的分析及其處理。力學(xué)研究的是自然界中最普遍的機(jī)械運(yùn)動，而運(yùn)動對象自身及其運(yùn)動變化的過程要受周圍環(huán)境中諸多因素的影響和制約。在研究過程中，如果不加分析地把所有復(fù)雜因素考慮進(jìn)來，就會增加研究的難度，甚至無法進(jìn)行研究。因此，建立模型就要仔細(xì)分析研究對象的運(yùn)動過程，充分考慮客觀事物的本質(zhì)屬性，忽視次要的非本質(zhì)屬性，將復(fù)雜的事物或運(yùn)動過程，用較簡單客體模型和過程模型代替，進(jìn)而解決實(shí)際問題。這種將復(fù)雜問題進(jìn)行分解、簡化、抽象成力學(xué)模型的方法，可以啟發(fā)研究者突破思維障礙，解決極其復(fù)雜的問題。力學(xué)中解決實(shí)際問題大都使用了這種過程模型，使解決較復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化，去除不必要的麻煩，得到科學(xué)的答案。譬如，一個光滑的半圓形軌道，半徑為R，圓心是O。如圖1所示，兩個相同的物體，一個放在圓心O處，一個放在離A點(diǎn)不遠(yuǎn)的B處?，F(xiàn)同時從靜止開始釋放，問誰先到達(dá)A點(diǎn)。

分析：本例中從圓心釋放的物體的運(yùn)動過程很容易判斷為自由落體運(yùn)動;難點(diǎn)是從B處開始釋放物體的運(yùn)動過程的確定，一般很容易被看成圓周運(yùn)動。仔細(xì)推敲：這里是軌道對物體產(chǎn)生指向圓心的支持力，這與一物體作單擺運(yùn)動的受力及運(yùn)動的情形完全一致，故其過程模型為單擺。建立了從B處開始釋放物體的過程模型，問題就迎刃而解，從而得出從圓心釋放物體先期到達(dá)A點(diǎn)的正確答案?？梢?，過程模型的正確運(yùn)用可以突破較難的力學(xué)問題。

2.3 ?關(guān)于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

現(xiàn)沿如圖2所示的水平面勻速拉動一物體，問怎樣拉最省力。

解析：怎樣拉最省力？關(guān)鍵是看其模型圖3所示物體的受力情況，即看拉力F的方向，它與其運(yùn)動方向的夾角有關(guān)。咋看似乎這個夾角a越小，沿運(yùn)動方向的分力便越大，所以就越省力。但仔細(xì)分析，a夾角越小，F(xiàn)的豎直方向分量FY就會小，由N=mg-FY，可知正壓力N就變大，從而由摩擦力f=？滋N(yùn)，可知摩擦力也就較大。因此很難下結(jié)論說夾角越小越省力。要準(zhǔn)確回答這個問題必須建立F與a間的函數(shù)關(guān)系，遵循函數(shù)與機(jī)械運(yùn)動的關(guān)系，連續(xù)求導(dǎo)，建立數(shù)學(xué)模型，找出自變量a的值，得出最省力的F（a）的極小值。

①根據(jù)靜力平衡方程，建立數(shù)學(xué)模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，建立新的數(shù)學(xué)方程：

即=tga，a=arctg？滋時，F(xiàn)（a）有極值

③令F（a）的二階導(dǎo)數(shù)為零，再建數(shù)學(xué)方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函數(shù)F（a）為極小值的條件，即滿足時最省力。

3 ?模型法在天體力學(xué)中的應(yīng)用

例如，天文學(xué)家預(yù)測銀河系中可能存在一個巨大的黑洞，設(shè)距黑洞60億 km的星體以2 000 km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近黑洞的所有物體即使速度等于光速也逃脫不了它的引力作用，試估算黑洞的半徑。

解析：由力學(xué)發(fā)展史可知，力學(xué)的概念及其理論，大都源自對天體運(yùn)動的探研，故天體力學(xué)問題，可以運(yùn)用模型法進(jìn)行研究。

①建立客體模型：黑洞及其饒它運(yùn)動的星體

星體到黑洞的距離r=60億km=6×1012 m，

星體速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

設(shè)星體和黑洞的質(zhì)量分別為m和M，黑洞的半徑為R。

②建立過程模型：將星體繞黑洞的運(yùn)動似作圓周運(yùn)動

③建立數(shù)學(xué)模型：萬有引力定律

mGM/r2=mV2r

化簡后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物體的逃逸速度，繼而求出黑洞半徑。

地球上第一宇宙速度為7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度為，則黑洞逃逸速度為。

設(shè)以光速C運(yùn)動的物體剛好不能逃逸，則=C，即2 GM/R=C2（2）

將（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半徑：

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