杜秀全

摘要：離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，該課程有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，邏輯思維和抽象思維。但由于概念多，定理多，抽象度高，導(dǎo)致課堂上教師難教，學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象普遍存。論文中結(jié)合實(shí)際的教學(xué)經(jīng)歷，分析了離散數(shù)學(xué)教學(xué)中目前存在的問題，分別從教材，教學(xué)方法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)探討了可以改進(jìn)的幾點(diǎn)，特別是形象化教學(xué)，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，便于理解和記憶。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；抽象思維；形象化教學(xué)；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）32-7661-03

Abstract： Discrete mathematics is a basic course of computer professional， this course is beneficial to cultivate the students' mathematical thinking， logical thinking and abstract thinking. But due to a lot of the concept， theorem and highly abstract degree， cause teachers are difficult to teach and students are difficult to learn. This phenomenon has commonly existed. In the paper combining with the practical teaching experience， analyzes the present problems in discrete mathematics teaching， respectively from the teaching material， teaching method and experiment teaching is discussed， especially the visualization teaching， improve the learning enthusiasm of students， and easy to understand and remember.

Key words： discrete mathematics； abstract thinking； visualization teaching； experiment teaching； teaching method

1 概述

自從1978年高考恢復(fù)以來，我國的高等教育得到了長足的發(fā)展，特別是進(jìn)入21世紀(jì)，隨著國家經(jīng)濟(jì)的高速增長，高等教育也在各個(gè)方面得以迅速發(fā)展。盡管高等教育模式已持續(xù)發(fā)展30多年，但是高教課堂上的教與學(xué)之間的關(guān)系依然極其復(fù)雜，并且模式也隨著社會(huì)的變革也開始不斷的在發(fā)生微妙的變化。比如在過去的課堂上，基本是以板書為主，以學(xué)生聽為主，互動(dòng)性較差，形象性也比較差。計(jì)算機(jī)的發(fā)展使得這種模式發(fā)生變化，現(xiàn)在的大學(xué)課堂基本是板書結(jié)合媒體，這樣更有利于將知識(shí)形象化，學(xué)生也較容易明白。但同時(shí)這也帶來一系列的問題，比如學(xué)生能夠記下的知識(shí)較少，因?yàn)槊襟w的播放速度較快，加入的知識(shí)點(diǎn)也較寬，學(xué)生在短時(shí)間以內(nèi)很難記住所有點(diǎn)。再有，計(jì)算機(jī)手段越高，學(xué)生親自去寫的就越少，這對(duì)學(xué)生并沒有利處。

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，有著理論知識(shí)點(diǎn)多而復(fù)雜，理解困難，難于找到實(shí)際實(shí)例與之結(jié)合特點(diǎn)，在多種學(xué)科中有其應(yīng)用[1-3]。因此，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)對(duì)于教師的要求就顯得更高，教師不僅要把書本上的理論知識(shí)點(diǎn)傳授給學(xué)生，而且要讓學(xué)生真正的能夠融會(huì)貫通，舉一反三。但就本人所了解到的情況而言，上過離散數(shù)學(xué)的學(xué)生基本給出的統(tǒng)一答案是知識(shí)點(diǎn)多，抽象性強(qiáng)[4-5]，不易理解。在我從教的四年時(shí)間里，我不得不思考該如何設(shè)計(jì)知識(shí)點(diǎn)，能夠做到讓學(xué)生既能記住知識(shí)點(diǎn)，又能真正的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)。該文結(jié)合自己在高校里從教的四年經(jīng)歷，簡單談?wù)剬?duì)計(jì)算機(jī)中基礎(chǔ)課程離散數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)和可能的改進(jìn)之處。文章將從教材建設(shè)，教學(xué)方法和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的角度，探討在現(xiàn)代課堂中離散數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該需要考慮的幾點(diǎn)。

2 教材內(nèi)容的建設(shè)

現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)研究表明，每一次的突破不僅是技術(shù)上的，也包含理論上的，特別是理論知識(shí)的進(jìn)步。這就要求學(xué)生要從根本上將理論知識(shí)打牢。離散數(shù)學(xué)是一門綜合性的計(jì)算機(jī)學(xué)科。它包含數(shù)理邏輯，集合論，代數(shù)和圖論等內(nèi)容，基于一般的教材已不能適應(yīng)學(xué)生的需求。由于離散數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多，學(xué)生難以理解，也不知其到底在計(jì)算機(jī)學(xué)科中起到什么樣的作用，而導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生厭煩學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)。這里其中之一的原因在于教材內(nèi)容的建設(shè)還不夠豐富，作者認(rèn)為應(yīng)該當(dāng)將離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與實(shí)際的實(shí)例結(jié)合起來或與計(jì)算機(jī)其它學(xué)科里的實(shí)例相結(jié)合來闡述所要表達(dá)的知識(shí)點(diǎn)。因此，我們認(rèn)為離散數(shù)學(xué)教材的建設(shè)[6-7]應(yīng)該必需要考慮以下幾點(diǎn)：

1） 教材應(yīng)該具有內(nèi)容精，范圍廣，知識(shí)點(diǎn)新，知識(shí)點(diǎn)實(shí)例化特點(diǎn)。當(dāng)然教材的建設(shè)應(yīng)該也要注重重點(diǎn)內(nèi)容突出的特點(diǎn)。

2） 結(jié)合數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，應(yīng)該將數(shù)學(xué)建模中的思想，內(nèi)容引入到離散數(shù)學(xué)教材的建設(shè)上來。這樣有利于學(xué)生有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，能夠知道一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在一個(gè)實(shí)際的案例中應(yīng)該如何去應(yīng)用，去展現(xiàn)。

3） 實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在市場(chǎng)上所出版的教材多數(shù)學(xué)是理論與實(shí)驗(yàn)相脫節(jié)的，一些內(nèi)容闡述很好的教材，但并未引入實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)。

4） 注重教材內(nèi)容的深度和廣度的設(shè)計(jì)，可以分兩部分安排，一部分是較易理解的點(diǎn)，再設(shè)計(jì)一部分比較深的知識(shí)點(diǎn)。這樣可以有利于學(xué)有余力的學(xué)生做一些補(bǔ)充，也能夠做到讓學(xué)生知識(shí)哪些知識(shí)是基本知識(shí)點(diǎn)，哪些是深層次的知識(shí)點(diǎn)。

3 教學(xué)方法的改進(jìn)

在傳統(tǒng)型課堂教學(xué)上，教師基本都是以板書和粉筆為展現(xiàn)方式，并且大都以書本知識(shí)點(diǎn)為出發(fā)向?qū)W生傳授知識(shí)。學(xué)生在課堂上沒有自主的意識(shí)，整個(gè)課堂呈現(xiàn)出一片寂靜。比如，特別是在介紹離散數(shù)學(xué)代數(shù)理論部分，如果僅僅是按照書，將內(nèi)容和示例寫在黑板上來講解，筆者認(rèn)為這不利于學(xué)生的消化。從作者所在學(xué)校四年的教學(xué)上來看，大部分學(xué)生對(duì)于這部分的理解也僅僅是記住知識(shí)點(diǎn)，時(shí)間一長，自然就丟掉?？荚囍幸膊荒茏龅脚e一反三，一旦將題目換掉，即使是考相同的知識(shí)點(diǎn)，依然有多數(shù)同學(xué)不能夠正確解答。因此，現(xiàn)代課堂中的教學(xué)方法和手段必需要加以改進(jìn)[8-10]。endprint

3.1引入多媒體教學(xué)

多媒體課件并不是簡單的羅列書本上的知識(shí)點(diǎn)，而是能將具體的知識(shí)點(diǎn)用更加形象化的東西展現(xiàn)給學(xué)生，這樣能使學(xué)生更容易接受。離散數(shù)學(xué)圖論部分尤其需要借助多媒體。圖論中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解都要牽扯到圖。因此，我們可以只利用一個(gè)圖配以動(dòng)畫就把所有知識(shí)點(diǎn)給講解完，這既刺激學(xué)生的感覺器官，又能提高學(xué)生的興趣，幫助學(xué)生更快的掌握?qǐng)D的相關(guān)概念。很多教師也注意到這一點(diǎn)，但是很多情況下沒有取得預(yù)期的效果。作者這幾年也嘗試著將PPT引入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中來，但收效甚微，這主要是由于知識(shí)點(diǎn)的形象化不夠。因?yàn)槿绻麅H僅是將書本上的知識(shí)點(diǎn)放到PPT上，然后進(jìn)行講解，這反而不如在黑板上講解。這里最大的問是形象化教學(xué)不夠。

3.2 加強(qiáng)形象化教學(xué)

離散數(shù)學(xué)中每章的知識(shí)點(diǎn)比較獨(dú)立，自成一體系。例如在代數(shù)這一章里，它的內(nèi)容與數(shù)理邏輯，集合關(guān)系不太大。但是代數(shù)本身就是一個(gè)體系，一個(gè)對(duì)象而已。實(shí)際在離散數(shù)學(xué)教材里，關(guān)于代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的介紹就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。從一開始學(xué)生不知道代數(shù)是什么，然后到代數(shù)結(jié)構(gòu)（模型），再到代數(shù)的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)。這與數(shù)學(xué)建模如出一輒。因此，引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容將有利于學(xué)生更加系統(tǒng)地了解離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的用處，以及在實(shí)際問題中如何應(yīng)用。它可以煅煉學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要學(xué)生靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

4 實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入與實(shí)驗(yàn)教材的建設(shè)

離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多而繁雜，僅僅依靠課堂上的理論內(nèi)容的講解遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。為此，要能夠讓學(xué)生學(xué)以致用，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中加入一些實(shí)驗(yàn)，既能對(duì)離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)進(jìn)行很好的驗(yàn)證，同時(shí)也能鞏固先導(dǎo)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以及為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。不過可惜的是，據(jù)作者所了解，大部分的院校不僅沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，還將理論課時(shí)縮減，筆者所在學(xué)校也沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。因此，在上完課有許多同學(xué)都會(huì)覺得所上知識(shí)點(diǎn)有何用，能干什么，不像其它課程，學(xué)完可以直接去編程，然后出結(jié)果，一看就知道對(duì)不對(duì)。在四年的教學(xué)過程中，我也深感實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要性，它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解書本上的知識(shí)點(diǎn)更加重要。當(dāng)然我也在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中引入了一部分的實(shí)驗(yàn)，效果還不錯(cuò)，例如，在上圖論這一章，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論內(nèi)容的理解，我就要求他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)能夠求最短路徑的實(shí)驗(yàn)。這既能加深他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，又能提高他們的編程能力。如下圖1所示是作者所帶學(xué)生做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)。

5 結(jié)論

離散數(shù)學(xué)是一門綜合性較強(qiáng)的學(xué)科，內(nèi)容多，知識(shí)點(diǎn)雜而難，抽象性高。同時(shí)它又是計(jì)算機(jī)專業(yè)必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)課?？傊?，要能將離散數(shù)學(xué)這一門課上好，影響的因素非常多，需要授課教師花更多的時(shí)間進(jìn)行備課，將知識(shí)點(diǎn)融于實(shí)際的案例中，加強(qiáng)形象化教學(xué)。只有這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣，提高他們對(duì)離散數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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3.1引入多媒體教學(xué)

多媒體課件并不是簡單的羅列書本上的知識(shí)點(diǎn)，而是能將具體的知識(shí)點(diǎn)用更加形象化的東西展現(xiàn)給學(xué)生，這樣能使學(xué)生更容易接受。離散數(shù)學(xué)圖論部分尤其需要借助多媒體。圖論中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解都要牽扯到圖。因此，我們可以只利用一個(gè)圖配以動(dòng)畫就把所有知識(shí)點(diǎn)給講解完，這既刺激學(xué)生的感覺器官，又能提高學(xué)生的興趣，幫助學(xué)生更快的掌握?qǐng)D的相關(guān)概念。很多教師也注意到這一點(diǎn)，但是很多情況下沒有取得預(yù)期的效果。作者這幾年也嘗試著將PPT引入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中來，但收效甚微，這主要是由于知識(shí)點(diǎn)的形象化不夠。因?yàn)槿绻麅H僅是將書本上的知識(shí)點(diǎn)放到PPT上，然后進(jìn)行講解，這反而不如在黑板上講解。這里最大的問是形象化教學(xué)不夠。

3.2 加強(qiáng)形象化教學(xué)

離散數(shù)學(xué)中每章的知識(shí)點(diǎn)比較獨(dú)立，自成一體系。例如在代數(shù)這一章里，它的內(nèi)容與數(shù)理邏輯，集合關(guān)系不太大。但是代數(shù)本身就是一個(gè)體系，一個(gè)對(duì)象而已。實(shí)際在離散數(shù)學(xué)教材里，關(guān)于代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的介紹就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。從一開始學(xué)生不知道代數(shù)是什么，然后到代數(shù)結(jié)構(gòu)（模型），再到代數(shù)的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)。這與數(shù)學(xué)建模如出一輒。因此，引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容將有利于學(xué)生更加系統(tǒng)地了解離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的用處，以及在實(shí)際問題中如何應(yīng)用。它可以煅煉學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要學(xué)生靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

4 實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入與實(shí)驗(yàn)教材的建設(shè)

離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多而繁雜，僅僅依靠課堂上的理論內(nèi)容的講解遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。為此，要能夠讓學(xué)生學(xué)以致用，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中加入一些實(shí)驗(yàn)，既能對(duì)離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)進(jìn)行很好的驗(yàn)證，同時(shí)也能鞏固先導(dǎo)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以及為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。不過可惜的是，據(jù)作者所了解，大部分的院校不僅沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，還將理論課時(shí)縮減，筆者所在學(xué)校也沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。因此，在上完課有許多同學(xué)都會(huì)覺得所上知識(shí)點(diǎn)有何用，能干什么，不像其它課程，學(xué)完可以直接去編程，然后出結(jié)果，一看就知道對(duì)不對(duì)。在四年的教學(xué)過程中，我也深感實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要性，它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解書本上的知識(shí)點(diǎn)更加重要。當(dāng)然我也在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中引入了一部分的實(shí)驗(yàn)，效果還不錯(cuò)，例如，在上圖論這一章，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論內(nèi)容的理解，我就要求他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)能夠求最短路徑的實(shí)驗(yàn)。這既能加深他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，又能提高他們的編程能力。如下圖1所示是作者所帶學(xué)生做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)。

5 結(jié)論

離散數(shù)學(xué)是一門綜合性較強(qiáng)的學(xué)科，內(nèi)容多，知識(shí)點(diǎn)雜而難，抽象性高。同時(shí)它又是計(jì)算機(jī)專業(yè)必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)課?？傊軐㈦x散數(shù)學(xué)這一門課上好，影響的因素非常多，需要授課教師花更多的時(shí)間進(jìn)行備課，將知識(shí)點(diǎn)融于實(shí)際的案例中，加強(qiáng)形象化教學(xué)。只有這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣，提高他們對(duì)離散數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)。

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3.1引入多媒體教學(xué)

多媒體課件并不是簡單的羅列書本上的知識(shí)點(diǎn)，而是能將具體的知識(shí)點(diǎn)用更加形象化的東西展現(xiàn)給學(xué)生，這樣能使學(xué)生更容易接受。離散數(shù)學(xué)圖論部分尤其需要借助多媒體。圖論中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解都要牽扯到圖。因此，我們可以只利用一個(gè)圖配以動(dòng)畫就把所有知識(shí)點(diǎn)給講解完，這既刺激學(xué)生的感覺器官，又能提高學(xué)生的興趣，幫助學(xué)生更快的掌握?qǐng)D的相關(guān)概念。很多教師也注意到這一點(diǎn)，但是很多情況下沒有取得預(yù)期的效果。作者這幾年也嘗試著將PPT引入到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中來，但收效甚微，這主要是由于知識(shí)點(diǎn)的形象化不夠。因?yàn)槿绻麅H僅是將書本上的知識(shí)點(diǎn)放到PPT上，然后進(jìn)行講解，這反而不如在黑板上講解。這里最大的問是形象化教學(xué)不夠。

3.2 加強(qiáng)形象化教學(xué)

離散數(shù)學(xué)中每章的知識(shí)點(diǎn)比較獨(dú)立，自成一體系。例如在代數(shù)這一章里，它的內(nèi)容與數(shù)理邏輯，集合關(guān)系不太大。但是代數(shù)本身就是一個(gè)體系，一個(gè)對(duì)象而已。實(shí)際在離散數(shù)學(xué)教材里，關(guān)于代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的介紹就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。從一開始學(xué)生不知道代數(shù)是什么，然后到代數(shù)結(jié)構(gòu)（模型），再到代數(shù)的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)。這與數(shù)學(xué)建模如出一輒。因此，引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容將有利于學(xué)生更加系統(tǒng)地了解離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的用處，以及在實(shí)際問題中如何應(yīng)用。它可以煅煉學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要學(xué)生靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

4 實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入與實(shí)驗(yàn)教材的建設(shè)

離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多而繁雜，僅僅依靠課堂上的理論內(nèi)容的講解遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。為此，要能夠讓學(xué)生學(xué)以致用，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中加入一些實(shí)驗(yàn)，既能對(duì)離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)進(jìn)行很好的驗(yàn)證，同時(shí)也能鞏固先導(dǎo)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以及為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。不過可惜的是，據(jù)作者所了解，大部分的院校不僅沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，還將理論課時(shí)縮減，筆者所在學(xué)校也沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。因此，在上完課有許多同學(xué)都會(huì)覺得所上知識(shí)點(diǎn)有何用，能干什么，不像其它課程，學(xué)完可以直接去編程，然后出結(jié)果，一看就知道對(duì)不對(duì)。在四年的教學(xué)過程中，我也深感實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要性，它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解書本上的知識(shí)點(diǎn)更加重要。當(dāng)然我也在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中引入了一部分的實(shí)驗(yàn)，效果還不錯(cuò)，例如，在上圖論這一章，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論內(nèi)容的理解，我就要求他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)能夠求最短路徑的實(shí)驗(yàn)。這既能加深他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，又能提高他們的編程能力。如下圖1所示是作者所帶學(xué)生做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)。

5 結(jié)論

離散數(shù)學(xué)是一門綜合性較強(qiáng)的學(xué)科，內(nèi)容多，知識(shí)點(diǎn)雜而難，抽象性高。同時(shí)它又是計(jì)算機(jī)專業(yè)必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)課?？傊軐㈦x散數(shù)學(xué)這一門課上好，影響的因素非常多，需要授課教師花更多的時(shí)間進(jìn)行備課，將知識(shí)點(diǎn)融于實(shí)際的案例中，加強(qiáng)形象化教學(xué)。只有這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣，提高他們對(duì)離散數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)識(shí)。

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