沙志祥

[摘 ?要] 本文通過分析南通中考試題特點(diǎn)，查找學(xué)生錯(cuò)誤原因，研究今后的教學(xué)對(duì)策.

[關(guān)鍵詞] 穩(wěn)定;求新;錯(cuò)因;對(duì)策

今年是南通使用老教材的最后一年，中考試題如何命題，才能既適應(yīng)課改的趨勢、實(shí)現(xiàn)新老教材的銜接，又能有利于高校選拔，本文以今年中考第28題為例，談?wù)劰P者對(duì)今年中考解答題的認(rèn)識(shí)與體會(huì).

試題再現(xiàn)

（2014年南通中考第28題）如圖1所示，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸DF與BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.

（1）求線段DE的長;

（2）設(shè)過點(diǎn)E的直線與拋物線相交于點(diǎn)M（x，y），N（x，y），判斷當(dāng)x-x為最小時(shí)，直線MN與x軸的位置關(guān)系，并說明理由;

（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，當(dāng)tan∠α=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題特點(diǎn)

1.體現(xiàn)南通中考數(shù)學(xué)穩(wěn)定為主的特點(diǎn).

以二次函數(shù)為背景，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力，是近幾年南通中考的趨向，所以今年中考的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從熟悉的二次函數(shù)y=-x2+2x+3出發(fā)，第一問考查了兩點(diǎn)之間的距離、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及會(huì)用配方法或公式法求頂點(diǎn)坐標(biāo);第二問與南通去年中考第28題（2）類似，主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一次函數(shù)中k的幾何意義;第三問與前年南通中考第28題（3）類似，基本保持了南通中考試題的穩(wěn)定性，要求學(xué)生處理運(yùn)動(dòng)問題時(shí)會(huì)進(jìn)行分類討論，會(huì)用三角函數(shù)的定義法解題及將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形求解，讓學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)柳暗花明又一村的感覺，三個(gè)問題既互相獨(dú)立，又具有層次性，體現(xiàn)了問題設(shè)計(jì)由淺入深、循序漸進(jìn)、逐步提高的原則，有利于各層次學(xué)生的發(fā)揮，在問題的設(shè)計(jì)上遵循上一個(gè)問題不會(huì)解答，不影響下一個(gè)的思考，重在思維，沒有偏、難、怪題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的重要性.

2.體現(xiàn)南通中考數(shù)學(xué)穩(wěn)中求新的特點(diǎn).

問題（1）的設(shè)計(jì)改變了重在考查三元一次方程組的解法，轉(zhuǎn)為直接告知解析式，設(shè)計(jì)為求過拋物線的頂點(diǎn)平行于y軸直線上兩點(diǎn)之間的距離. 第二問充分抓住圖形中的特殊點(diǎn)E，通過旋轉(zhuǎn)知道過點(diǎn)E的直線有無數(shù)條，這些直線與拋物線相交形成線段，必然有長短，由線段最短時(shí)來判斷直線與x軸的位置關(guān)系，這樣就有了創(chuàng)新，既保持了與去年相同考了根與系數(shù)關(guān)系，又考了二次函數(shù)最值的求法、兩直線的位置關(guān)系. 在2012年南通中考28題（3）的問法的基礎(chǔ)上又有一定的創(chuàng)新，將兩個(gè)角的和等于第三個(gè)角改成了等于一個(gè)非特殊角，且已知該角的正切，強(qiáng)化了三角函數(shù)定義法解題的應(yīng)用，有利于引領(lǐng)學(xué)生思考，尋找解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)和整理屬于自己的解題策略.

典型錯(cuò)誤

1. 審題不清匆忙作答.

問題（1）的設(shè)計(jì)從熟悉的二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+2x+3出發(fā)，求過拋物線的頂點(diǎn)且平行于y軸的直線上的特殊點(diǎn)之間的距離， 但是考試時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生由于平時(shí)的訓(xùn)練求x軸兩點(diǎn)之間的距離較多，因此出現(xiàn)了學(xué)生求出AB長等于4，就認(rèn)為是DE的長，也有人看成了只求頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即把求線段DE看成求線段DF的長.

2. 基本知識(shí)不牢固.

問題（2）判斷直線MN與x軸的位置關(guān)系時(shí)，不少學(xué)生根據(jù)要求求出了E的直線MN中k=0，但是卻不知道MN與x軸的平行關(guān)系，原因是學(xué)生對(duì)一次函數(shù)y=kx+bk≠0的定義印象很深，但是不知道為什么要加k≠0，概念不清，誤以為k=0是無解，直線不存在，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

3. 綜合解題能力不強(qiáng)

問題（2）在設(shè)過點(diǎn)E的直線時(shí)，由于含有字母系數(shù)方程，學(xué)生的綜合計(jì)算能力不強(qiáng)，導(dǎo)致錯(cuò)誤. 第三問與2012年南通中考第28題的解題方法類似，在原有問題的基礎(chǔ)上將兩個(gè)角的和等于第三個(gè)角改成了等于一個(gè)非特殊角，且已知該角的正切值，強(qiáng)化了三角函數(shù)定義法解題的應(yīng)用，將在y軸上找一點(diǎn)改成在x軸上找一點(diǎn)，其基本方法都是要先找到一個(gè)角等于已知的兩個(gè)角的和. 由于學(xué)生的綜合分析和解決問題能力不強(qiáng)，不能將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形求解，不能將運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行全面分類討論，導(dǎo)致漏解.

正確解答

（1）解法一：令y=0，得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0），頂點(diǎn)D（1，4），所以DF=4. 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得直線BC的解析式為y=-x+3. 當(dāng)x=1時(shí)，y=2，所以E（1，2），EF=2. 所以DE=DF-EF=4-2=2.

解法二：因?yàn)镃（0，3），A（-1，0），B（3，0），所以O(shè)B=OC=3. 所以∠CBO=45°. 又 AB=4，所以EF=BF=2. 因?yàn)镈F=4，所以DE=2.

（2）設(shè)過點(diǎn)E（1，2）的直線MN的解析式為y=mx+n，得m+n=2，所以y=mx+2-m.

由y=mx+2-m，y=-x2+2x+3 得x2+（m-2）x-1-m=0，所以x+x=2-m，xx=-1-m.

所以x-x===.

所以當(dāng)m=0，即y=2時(shí)，x-x最小，此時(shí)直線MN與x軸平行.

（3）解法一：當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)PD交y軸于點(diǎn)N，AD交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)N作NM⊥AD于點(diǎn)M.

因?yàn)锳（-1，0），D（1，4），所以直線AD的解析式為y=2x+2.

所以H（0，2）. 所以DH=.

tan∠AHO===tan∠NHD=. 設(shè)NM=a，則HM=2a，∠DAO+∠DPO=∠α=∠NDA. 因?yàn)閠an∠α=4，所以MD=.

因?yàn)镈H=DM+MH， 所以=2a+. 所以a=. 所以MN=，MH=. 所以HN=. 所以N0，. 所以直線ND的解析式為y=-x+，此時(shí)P（19，0）.

根據(jù)對(duì)稱性，還存在另一點(diǎn)P（-17，0）滿足條件.

解法二：因?yàn)镈（1，4），所以tan∠DOF=4=tan∠α. 所以∠DOF=∠α. 因?yàn)椤螪OF=∠DAO+∠ADO=∠α=∠DAO+∠DPO，所以∠DPO=∠ADO.

若點(diǎn)P在DF右側(cè)，則△ADP∽△AOD，所以AD2=AO·AP. 又AD2=AF2+DF2=20，AO=1，所以AP=20. 所以O(shè)P=19，此時(shí)P（19，0）.

同理可得，點(diǎn)P在DF左側(cè)時(shí)，△OAD∽△ODP，可求出OP=17，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-17，0）.

教學(xué)反思

1.進(jìn)一步重視教材教學(xué)，抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基本技能和對(duì)基本思想方法的掌握.

教材對(duì)一次函數(shù)的定義是：形如y=kx+bk≠0，叫y是x的一次函數(shù)，因此在閱卷中就發(fā)現(xiàn)有學(xué)生求出了k=0，但是學(xué)生卻不敢給出直線與x軸的位置關(guān)系，認(rèn)為自己做錯(cuò)了，放到一邊不再做了，如果我們初三復(fù)習(xí)的時(shí)候強(qiáng)調(diào)了k的幾何意義，k表示直線的傾斜程度，k=0表示直線與x軸平行，學(xué)生就不會(huì)不敢作答了. 這道試題給了我們一個(gè)在今后的教學(xué)中如何理解教材的引領(lǐng)和示范作用，要求我們的學(xué)生在新知的學(xué)習(xí)中不斷地質(zhì)疑，形成知識(shí)體系. 因?yàn)橹挥匈|(zhì)疑才能真正學(xué)到別人學(xué)不到的知識(shí). 同時(shí)，要求我們?cè)谥笇?dǎo)初三學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)深鉆教材，如果只是讓學(xué)生整天埋頭做大量的課外試題，實(shí)際上是本末倒置，得不償失. ？搖？搖

2.進(jìn)一步抓好基本圖形的通解通法，重變形，促進(jìn)學(xué)生能力的提升.

tan∠NHD=，tan∠NDH=4，在解直角三角形的學(xué)習(xí)中，我們強(qiáng)化了用定義法解題，平時(shí)只是指導(dǎo)學(xué)生已知一個(gè)角是非特殊角的三角函數(shù)值，要用定義法解三角形，并沒有進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)角是非特殊角的三角函數(shù)怎么辦？思考第三問的實(shí)質(zhì)就是：如圖3所示，在△DHN中，DH= ，求HN的長. 平時(shí)的學(xué)習(xí)中這類圖形見過不少，只是平時(shí)都是已知∠H及∠D是特殊角，求HN的長，沒有進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，告訴了特殊角，實(shí)際上就相當(dāng)于告訴了角的三角函數(shù)值，此時(shí)已知了非特殊角的三角函數(shù)值與已知特殊角是一樣的，都是過第三個(gè)角的頂點(diǎn)作高，轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)直角三角形. 這些都要求我們?cè)谄綍r(shí)抓基本圖形的教學(xué)時(shí)，注重變式和拓展訓(xùn)練，要真正教會(huì)學(xué)生化歸的方法和解決這類問題的實(shí)質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生思考，不斷激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思考，引領(lǐng)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，尋找解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)和整理屬于自己的解題策略，這樣，學(xué)生才能真正做到以不變應(yīng)萬變.

3. 進(jìn)一步重過程、防粗心，強(qiáng)反思，理清錯(cuò)因，切實(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.

第二問中當(dāng)線段MN最小時(shí)，不少學(xué)生能抓住過點(diǎn)E的直線有無數(shù)條及拋物線的對(duì)稱性，會(huì)猜想到當(dāng)MN平行于x軸時(shí)，MN最小，但是在解含有字母系數(shù)的方程時(shí)，卻發(fā)生錯(cuò)誤. 還有學(xué)生在做第三問的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，沒有分類討論，導(dǎo)致考慮問題不全面而被扣分，這些問題的出現(xiàn)說明了我們?cè)谡业浇鉀Q問題的方法時(shí)，要細(xì)心，過好計(jì)算關(guān)，運(yùn)動(dòng)問題一定要將點(diǎn)全程動(dòng)一遍，確定分點(diǎn)，確保分類討論的全面性.這就 要求我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思自己的錯(cuò)誤，準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，對(duì)一些易錯(cuò)、易忘的問題隨時(shí)做好筆記，根據(jù)個(gè)人的具體情況，查漏補(bǔ)缺，做到知識(shí)、解題方法歸類，在形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加深記憶，對(duì)經(jīng)常錯(cuò)的知識(shí)及時(shí)進(jìn)行歸類、分析、反思：解該題時(shí)哪些步驟容易出錯(cuò)？用了哪些知識(shí)和方法？該問題的難點(diǎn)在哪里？在知識(shí)、思想方法上我還存在哪些缺陷？我是如何突破的等. 并提醒學(xué)生經(jīng)常翻閱，以此培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的問題與弱點(diǎn)的能力.