沈兆益

摘 要 在高等職業(yè)學(xué)校高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分教學(xué)內(nèi)容中，多元隱函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的求解由于并沒有沿用該章節(jié)隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求解方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生一些疑問，這是由于對(duì)函數(shù)的復(fù)合理解不夠深入，甚至導(dǎo)致對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù)求解出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文針對(duì)學(xué)生在這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，挖掘根源，找到學(xué)生理解的不足。并進(jìn)行知識(shí)與方法總結(jié)，對(duì)高等教學(xué)提供具有參考意義的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)參照。

關(guān)鍵詞 多元函數(shù)微分 隱函數(shù) 二階偏導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Answer Students' Doubt about the Second Derivative

Calculation of the Implicit Function

SHEN Zhaoyi

（Wuxi City College of Vocational Technology， Wuxi， Jiangsu 214153）

Abstract Higher Mathematics at higher vocational schools teaching multi-function calculus content， multiple implicit function solving the second derivative does not follow that section because of the implicit function of the first order derivative solution method， the students in the study will produce some doubt that this is due to the understanding of the complex function is not deep enough， and even lead to solving second order partial derivative errors. In this paper， the students appearing in learning the content of this problem， digging roots find enough students to understand. And summarize the knowledge and methods of higher education to provide a reference meaningful teaching methods and learning reference.

Key words multi-function differential; implicit function; second order partial derivatives

在教學(xué)過(guò)程中，教師需要隨時(shí)應(yīng)對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題，進(jìn)行答疑解惑。高職微積分的教學(xué)內(nèi)容中，多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)階段，由于對(duì)知識(shí)掌握不夠透徹，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中常會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問題。這就是在“多元隱函數(shù)求導(dǎo)”內(nèi)容學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)遇到的困難。

學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的困惑的具體表現(xiàn)，可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行說(shuō)明：已知隱函數(shù)： + ?= 1，求解二階偏導(dǎo)數(shù)。

學(xué)生能做到迅速正確地求解這一問題的前半部分，即求解出一階偏導(dǎo)數(shù)，依據(jù)多元函數(shù)微積分這一章節(jié)中剛學(xué)習(xí)的方法，設(shè)（） = ?+ ?1 = 0，則 = 2， ?= 2，得到 = ?= ?= 。但接下來(lái)求解二階導(dǎo)數(shù)，學(xué)生就產(chǎn)生了一系列疑問。第一個(gè)問題就是：此時(shí)，令 = ?= ，則原先的一階導(dǎo)函數(shù)變?yōu)?= 。而后， = 對(duì)于求偏導(dǎo)，得到 = 。這顯然與正確的求解： = ?= ?= 不符。但學(xué)生辨別不出自己解法中的錯(cuò)誤，需要教師進(jìn)行詳細(xì)解釋與指導(dǎo)，向?qū)W生提出其錯(cuò)誤所在。第二個(gè)問題是：在多元函數(shù)微積分章節(jié)，新學(xué)習(xí)的求解隱函數(shù)的方法，并沒有在求解二階導(dǎo)過(guò)程中加以繼續(xù)使用，反倒是使用了函數(shù)復(fù)合類型的隱函數(shù)求解方法，是老的方法。新方法為什么不沿用？在此，教師需要通過(guò)向?qū)W生解釋在此處改變求導(dǎo)方法的理由，并加深學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的原理的理解。

學(xué)生的這兩個(gè)問題，其根源是對(duì)于函數(shù)復(fù)合的理解不夠明確，由此對(duì)于多元函數(shù)微分中，隱函數(shù)的求解公式理解有偏差。在之前例子中，求的二階導(dǎo)數(shù)，令 = ?= 。得到 = 是可以的，但這時(shí) = 對(duì)于求導(dǎo)，需要注意是的函數(shù)。即 = 不正確，而應(yīng)該注意到是的函數(shù)，這一函數(shù)復(fù)合的求導(dǎo)過(guò)程不可或缺。即：

= ?= ?=

但是這一解釋，往往還不能使得學(xué)生明了自己的知識(shí)性缺失，在了解了之前的解釋之后，學(xué)生提出了第三個(gè)疑問：“如果是這樣，之前求解函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，設(shè)（） = ?+ ?1 = 0，則求偏導(dǎo) = 2就有問題，因?yàn)橥瑯記]有將看作的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)結(jié)果為0，這又是為什么？究竟什么時(shí)候需要將看作的函數(shù)，什么時(shí)候又將其視為兩個(gè)不同的變量呢？

而且，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的疑問，是在接觸到了更為復(fù)雜的練習(xí)題而產(chǎn)生的，更為復(fù)雜的題目加重了學(xué)生的迷惑。如筆者遇到學(xué)生列舉了2007年7月高等教育自學(xué)考試全國(guó)卷高等數(shù)學(xué)（一）試題第20題：“設(shè)函數(shù) = 是由方程++ = 所確定的隱函數(shù)，求”。更為復(fù)雜的多元隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)加大了學(xué)生對(duì)于問題的理解難度。

要解答學(xué)生這一系列的迷惑，需要教師從學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)理解不夠深入這一根源入手。使得學(xué)生了解到，兩種隱函數(shù)的求解方法是相通的，都是基于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算的變形，只是第一種方法體現(xiàn)得更明確，而多元函數(shù)微積分這一章節(jié)中介紹的方法似乎隱藏了這一特征。因此需要詳細(xì)介紹這一方法的由來(lái)： = （）的函數(shù)關(guān)系是由方程（） = 0確定的，確實(shí)是的函數(shù)。于是對(duì)（） = 0求的導(dǎo)數(shù)得到的是 = 0。這是體現(xiàn)出了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的特征的。而在此之后將這一等式變形為隱函數(shù)求導(dǎo)的公式，將和分開了，似乎不再具有函數(shù)復(fù)合求導(dǎo)的特征，只是推導(dǎo)出學(xué)生經(jīng)常使用而并未深層次理解的 = 。

向?qū)W生講解求出隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求解原理，在前面講解的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)類比的方法，進(jìn)行類似的變換。將一階導(dǎo)函數(shù)形式視為 = （），然后將移項(xiàng)，得到（） = 0。設(shè)方程（） = （） = 0，即得到由“”、“”、“”三個(gè)變量構(gòu)成的方程，其中，“”和“”都是“”的函數(shù)。并提請(qǐng)學(xué)生注意，在求導(dǎo)過(guò)程中是存在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的要求的。對(duì)方程求解的導(dǎo)數(shù)，得到 + ?+ ?= 0。因?yàn)椋ǎ?= （） = 0，所以上式繼續(xù)變形為 + ? ?= 0，特別需要學(xué)生注意到 = 。而也就是。因此， + ? ?= 0也就可以變形為 = ?+ 。這與 = （）直接進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，得到的結(jié)果是一致的。

基于向?qū)W生展示這一類比過(guò)程，就能解開學(xué)生之前的疑問。首先是第二個(gè)問題，該章節(jié)介紹的隱函數(shù)一階偏導(dǎo)的公式，是以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為基礎(chǔ)并加以變形的，在本質(zhì)上并沒有將函數(shù)復(fù)合的性質(zhì)抹去。而學(xué)生認(rèn)為的“”和 “”不再具有函數(shù)關(guān)系這一思想是片面的。只是同樣的變形過(guò)程使用在二階偏導(dǎo)的計(jì)算中，并沒有形成與求隱函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)類似的公式。其化簡(jiǎn)后得到的結(jié)果與直接利用函數(shù)復(fù)合進(jìn)行二階求導(dǎo)（之前的方法）一致。因此隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)不再有類同于 = 或 = 的公式。

然后，因?yàn)楹瘮?shù)復(fù)合的事實(shí)，學(xué)生的第一個(gè)問題中，由于 “”依然是 “”的函數(shù)。 = 對(duì)于求導(dǎo)，若只得到 = 。就是沒能正確認(rèn)識(shí)這一函數(shù)復(fù)合的情況，所產(chǎn)生的錯(cuò)誤。

第三個(gè)問題中，設(shè)（） = ?+ ?1 = 0，則 = 2沒有問題。理由是（） = 0求的導(dǎo)數(shù)得到的是 + ?= 0，之后變?yōu)?= ，這時(shí)候求解偏導(dǎo)數(shù)是沒有問題的。而且，求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不論是哪一種方法，不論是一階還是二階導(dǎo)數(shù)，本質(zhì)上都不能忽視函數(shù)的復(fù)合。只是在一階導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程中獲得了本質(zhì)相同，形式上有所差異的兩種方法。而二階導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程，不再有兩種方法，唯有直接求解，必須注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。

因此，同樣的推導(dǎo)方法類比到多元隱函數(shù)求導(dǎo)，即（，，） = 0求解的二階導(dǎo)數(shù)也是如此。將一階導(dǎo)函數(shù)形式看做 = （，，），設(shè)（，，，） = （，，） = 0，對(duì)方程求的偏導(dǎo)數(shù)，得到 + ?+ ?= 0，此時(shí)“”是常數(shù)，而“”和“”均是的函數(shù)。又因?yàn)椋ǎ?，，?= （，，） = 0，將其代入，繼續(xù)變形為 + ? ?= 0，得到與之前得到的一元隱函數(shù)推導(dǎo)類似的結(jié)果： = ?+ ?。

所以學(xué)生提出的較為復(fù)雜的二元隱函數(shù)二階導(dǎo)題目“設(shè)函數(shù) = 是由方程++ = 所確定的隱函數(shù)，求”的求解也只需在二階導(dǎo)數(shù)時(shí)注意是的函數(shù)，須有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。

先進(jìn)行的一階偏導(dǎo)計(jì)算，可以使用隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式：

方法一：設(shè)（，，）= ++ ? = 0，則 = 1， ?= 1， ?=

得到 = = ?=

也可以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：

方法二：左右兩邊對(duì)求導(dǎo)， = ，求導(dǎo)時(shí)注意為的函數(shù)。

得到1 + 0 + ?= ，化簡(jiǎn)后 =

兩種方法所得到的一階導(dǎo)函數(shù)是一致的。

繼續(xù)求解二階導(dǎo)數(shù)： = ，此時(shí)不再有類似與方法一的公式，只有一種方法，求導(dǎo)時(shí)注意為的函數(shù)。

= ?= ?=

再將 = 代入，得到 = 。

通過(guò)向?qū)W生闡述隱函數(shù)求導(dǎo)或偏導(dǎo)公式的來(lái)源介紹，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在隱函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)性作用，在二階導(dǎo)計(jì)算與多元函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)中進(jìn)行類比。使學(xué)生理解隱函數(shù)求導(dǎo)的兩種常見方法的本質(zhì)與聯(lián)系。消除學(xué)生在處理具體問題中，隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的困惑，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于求解隱函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)所用方法的理解，降低學(xué)生處理相關(guān)問題的思維難度，減少對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和計(jì)算錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

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