章雪婷,陳少平,饒文貴

摘? 要： 提出了一種基于二維網(wǎng)格法的低密度奇偶校驗(yàn)碼（LDPC）構(gòu)造方法。 該方法對(duì)斜率集進(jìn)行更加嚴(yán)格的篩選，利用一組特殊的數(shù)列作為斜率子集，該數(shù)列中不存在任何三項(xiàng)元素公差相等和任何四項(xiàng)元素公差相等或者成兩倍的情況，從而排除線段構(gòu)成三角形和四邊形的可能，突破原有圍長(zhǎng)8的限制，得到圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字，顯著提升了誤碼性能。采用該方法得到的碼字校驗(yàn)矩陣具有準(zhǔn)循環(huán)特性，能保證較低的編譯碼復(fù)雜度。Matlab仿真結(jié)果表明，該碼在瀑布區(qū)域具有良好的性能，同時(shí)具有較好的錯(cuò)誤平層特性。

關(guān)鍵詞： 低密度奇偶校驗(yàn)碼； 二維網(wǎng)格法； 碼字校驗(yàn)矩陣； 斜率集篩選

中圖分類號(hào)： TN919.3?34??????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A??????????????????????? 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）23?0075?05

Abstract： A LDPC construction method based on 2D lattice method is proposed in this paper. With the method， a strict selection of slope sets is carried out to avoid the possibility of forming triangle and quadrangle in configuration. As a result， girth?ten LDPC was accomplished to improve performance significantly instead of girth?eight one known as before. Besides， the resul?ting parity?check matrix has the feature of quasi?cyclic permutation， so that encoding and decoding of these codes can be efficiently implemented by using simple shift?registers. The result of simulation with Matlab shows that the proposed code performs excellent in the waterfall region and has good error floor property.

Keywords： LDPC； 2D lattice； codon check matrix； slope set selection

0? 引? 言

LDPC碼字最早由Gallager在1962年提出，因其較低的譯碼復(fù)雜度以及逼近香農(nóng)極限的優(yōu)異性能受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者與工業(yè)界的關(guān)注，廣泛應(yīng)用于光纖通信，信息存儲(chǔ)以及無線通信系統(tǒng)等各個(gè)領(lǐng)域[1?4] 。校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造和譯碼算法一直都是研究領(lǐng)域的兩大熱點(diǎn)，而降低編譯碼復(fù)雜度和提高譯碼性能的關(guān)鍵在于校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造。良好的碼字結(jié)構(gòu)可以大大簡(jiǎn)化編碼過程，提高譯碼效率，降低誤碼機(jī)率。

LDPC碼構(gòu)造方式主要分為隨機(jī)構(gòu)造和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造。Mackay和Gallager提出的隨機(jī)構(gòu)造矩陣方法，盡管編碼思想簡(jiǎn)單，但碼長(zhǎng)較短的碼字容易出現(xiàn)短環(huán)從而影響碼字性能，并且存在編碼儲(chǔ)存量大、譯碼復(fù)雜度高的缺陷。為了易于硬件實(shí)現(xiàn)，專家學(xué)者更加關(guān)注結(jié)構(gòu)化構(gòu)造方法，例如利用代數(shù)方法提出的基于有限幾何LDPC構(gòu)造方法[5?6]，碼字具有相對(duì)較好的最小距離，并且不包含短環(huán)，因而譯碼性能優(yōu)異，但校驗(yàn)矩陣的非滿秩特性會(huì)造成碼率損失。

準(zhǔn)循環(huán)矩陣構(gòu)造方法[7?9]也是一種結(jié)構(gòu)化構(gòu)造方案，因其較低的編譯碼復(fù)雜度和良好的誤碼性能，廣泛應(yīng)用于多種無線、深空通信標(biāo)準(zhǔn)，但性能曲線中往往易出現(xiàn)較高的差錯(cuò)平臺(tái)，影響整體碼字性能。利用均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)方法（BIBD）對(duì)準(zhǔn)循環(huán)矩陣進(jìn)行改進(jìn)[10]，在構(gòu)造過程中對(duì)斜率集進(jìn)行巧妙篩選，得到圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字，有效降低了差錯(cuò)平臺(tái)?；贐IBD的3D網(wǎng)格法，將二維網(wǎng)格擴(kuò)展到三維網(wǎng)格圖，并在三維網(wǎng)格中截取出[Q]平面，利用[Q]平面上平行循環(huán)直線與網(wǎng)格點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造出圍長(zhǎng)至少為10的3D?LDPC碼字。該方法有效提升了譯碼性能，但生成矩陣并不是一個(gè)稀疏的分塊循環(huán)矩陣；采用高斯消元法得到的生成矩陣是一個(gè)密集矩陣，導(dǎo)致編碼復(fù)雜度較高。

同樣基于二維網(wǎng)格法，本文利用一組特殊的數(shù)列作為斜率子集，該數(shù)列中不存在任何三項(xiàng)元素公差相等和任何四項(xiàng)元素公差相等或者公差成兩倍的情況，從而使得網(wǎng)格中的線段無法構(gòu)成三角形和四邊形，得到同樣圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字。與3D網(wǎng)格法相比，該方法大大降低了編碼復(fù)雜度。

文章先介紹基于BIBD的網(wǎng)格構(gòu)造法，然后介紹基于二維網(wǎng)格法圍長(zhǎng)為10的LDPC碼的校驗(yàn)矩陣構(gòu)造法并給出復(fù)雜度分析，最后給出圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字在高斯白噪聲（AWGN）信道下的Matlab仿真性能曲線圖，與圍長(zhǎng)為8的LDPC和Mackay隨機(jī)碼進(jìn)行比較分析并給出結(jié)論。

1? 基于BIBD的網(wǎng)格構(gòu)造

高圍長(zhǎng)準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼字構(gòu)造方法的主要思想是將有限平面上點(diǎn)與線的對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到校驗(yàn)矩陣非零元素的位置上，巧妙構(gòu)造出了具有良好性能的高碼率圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字。下面詳細(xì)介紹構(gòu)造方法：

（1） 確定校驗(yàn)矩陣的結(jié)構(gòu)

確定校驗(yàn)矩陣[H]的大小[M×N，]行重[r]和列重[m，]使其滿足[M=r×m，][N=r×S，][S]為斜率集中的斜率個(gè)數(shù)。

（2） 架構(gòu)點(diǎn)線關(guān)系

根據(jù)行重[r]和列重[m，]得到長(zhǎng)為[r-1]寬為[m-1]的網(wǎng)格，網(wǎng)格上的點(diǎn)集[L]表示為：

[L={（x，y）： 0≤x≤m-1，0≤y≤r-1}]?? （1）

以網(wǎng)格左下角的點(diǎn)為原點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系，網(wǎng)格長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)[y]軸，寬邊對(duì)應(yīng)[x]軸。運(yùn)用點(diǎn)斜式表示線段，能夠更加直觀的表現(xiàn)出點(diǎn)線關(guān)系：

[y=sx+y0modr，?? 0≤s≤r-1，0≤y0≤r-1] （2）

注意，由于網(wǎng)格建立在有限平面內(nèi)，所以必須對(duì)直線進(jìn)行模處理，使直線成為[（r-1）×（m-1）]域內(nèi)的線段。

按照斜率大小將線段劃分為[r]組平行線，得到斜率集{0，1，2，…，r-1}，每一組平行線再根據(jù)線段與[y]軸截點(diǎn)大小進(jìn)行升序排列，同時(shí)給網(wǎng)格中每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)號(hào)：

[i=（r+1）x+y+1，i∈{1，2，…，rm}]?? （3）

（3） 點(diǎn)線關(guān)系映射矩陣元素

點(diǎn)對(duì)應(yīng)校驗(yàn)矩陣[H]的行，線段對(duì)應(yīng)[H]的列，若點(diǎn)[i]位于斜率為[s]截距為[y0]的線段上，那么[Hi，（s·r+y0+1）=1，]其他元素為0。

設(shè)定[r=5，][m=3，]構(gòu)造大小為15×25的校驗(yàn)矩陣，圖1為相應(yīng)的網(wǎng)格圖，圖2為平行線段組，即斜率集{0，1，2，3，4}，每一斜率集中的線段由該線段經(jīng)過的網(wǎng)格點(diǎn)來表示。根據(jù)該方法得到的校驗(yàn)矩陣具有準(zhǔn)循環(huán)特性，與隨機(jī)構(gòu)造的碼字相比，大大簡(jiǎn)化了編碼復(fù)雜度。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t1.tif>；

圖1 [r=5，][m=3]對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格圖

網(wǎng)格構(gòu)造法的優(yōu)勢(shì)在于能夠巧妙避免校驗(yàn)矩陣中圍長(zhǎng)為4的短環(huán)。因?yàn)閲L(zhǎng)為4的短環(huán)對(duì)應(yīng)校驗(yàn)矩陣中相互連接的兩個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)和兩個(gè)信息點(diǎn)，這就要求網(wǎng)格上的兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)在兩條不同的線段上，根據(jù)兩點(diǎn)只能確定一條直線（線段）的定理可知構(gòu)造得到的校驗(yàn)矩陣不存在短環(huán)。同理，圍長(zhǎng)為6的環(huán)對(duì)應(yīng)校驗(yàn)矩陣的三個(gè)校驗(yàn)點(diǎn)和三個(gè)信息點(diǎn)，映射為網(wǎng)格上的三條線段和三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這三條線段和三個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)能夠構(gòu)成三角形時(shí)，說明構(gòu)造矩陣中存在圍長(zhǎng)為6的短環(huán)。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t2.tif>；

圖2 r=5，m=3構(gòu)造的斜率集

如果對(duì)斜率集進(jìn)行篩選，得到一組特殊的斜率子集，使相應(yīng)線段和點(diǎn)無法構(gòu)成三角形，那么就可以產(chǎn)生圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字。具體方法如下：

將網(wǎng)格中第[i]條線段表示為：

[yi=y0，i+si?x（modr），i=1，2，3]? （4）

式中：[si]表示斜率；[y0，i]表示截距。

若[y1，][y2，][y3]三條線段構(gòu)成三角形，將三個(gè)頂點(diǎn)分別設(shè)為[（x12，y12），][（x23，y23），][（x13，y13），]那么這三個(gè)頂點(diǎn)必須滿足以下等式：

[y12=y0，1+s1x12，y12=y0，2+s2x12] （5）

[y13=y0，1+s1x13，y13=y0，3+s3x13] （6）

[y23=y0，2+s2x23，y23=y0，3+s3x23]? （7）

合并式（5）～式（7），化簡(jiǎn)得到：

[（s1-s2）x12+（s2-s3）x23+（s3-s1）x13=0] （8）

任意兩個(gè)頂點(diǎn)不可能具有相同的橫坐標(biāo)值，因此，可以假定[x12=0，][x23=1，][x13=2，]不失一般性（任意交換[x12，][x23，][x13]的值，得到的結(jié)果相同），式（8）可化簡(jiǎn)為：

[s1-s2=s3-s1] （9）

可以看出[s1，][s2，][s3]構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。反之如果斜率子集中任意三個(gè)元素?zé)o法構(gòu)成等差數(shù)列，那么由該斜率子集構(gòu)造的網(wǎng)格線段將無法構(gòu)成三角形，也就說明校驗(yàn)矩陣內(nèi)不存在圍長(zhǎng)為6的環(huán)。數(shù)列M2353滿足以上條件，從而得到斜率子集S={0，1，3，4，9，10，12，…}，構(gòu)造出圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字（簡(jiǎn)稱girth?8），仿真結(jié)果[11]顯示Girth?8碼字誤碼性能與Mackay隨機(jī)構(gòu)造的性能相近，并且性能曲線中仍然出現(xiàn)較高的差錯(cuò)平臺(tái)。

2? 基于二維網(wǎng)格法圍長(zhǎng)為10的校驗(yàn)矩陣構(gòu)造法

2.1? 構(gòu)造方法介紹

為了優(yōu)化二維網(wǎng)格法構(gòu)造的碼字性能，更好地解決差錯(cuò)平臺(tái)問題，在此基礎(chǔ)上，本文對(duì)斜率集進(jìn)一步篩選，避免網(wǎng)格中的線段構(gòu)成三角形和四邊形，從而構(gòu)造出圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字，詳細(xì)構(gòu)造方法如下：

對(duì)于正則LDPC而言，當(dāng)列重大于3時(shí)，最小漢明距離會(huì)隨著碼長(zhǎng)線性增長(zhǎng)，同時(shí)為了簡(jiǎn)化構(gòu)造過程，規(guī)定m=3。

與上述提出的方法相似，假設(shè)其中一個(gè)四邊形由四條斜率分別為[s1，s2，s3，s4]的線段構(gòu)成，將該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別表示為（x12，y12），（x23，y23），（x34，y34），（x14，y14），那么四個(gè)頂點(diǎn)滿足以下條件：

[y12=y0，1+s1x12，y14=y0，1+s1x14]?? （10）

[y12=y0，2+s2x12，y23=y0，2+s2x23]?? （11）

[y23=y0，3+s3x23，y34=y0，3+s3x34]?? （12）

[y14=y0，4+s4x14，y34=y0，4+s4x34]?? （13）

將式（10）～式（13）進(jìn)行合并，化簡(jiǎn)得到：

[s1（x12-x14）+s2（x23-x12）+s3（x34-x23）+s4（x14-x34）=0] （14）

將四邊形根據(jù)頂點(diǎn)位置分為兩類：

（1） 只有一對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同

假設(shè)相同的頂點(diǎn)都為[x14，][x23，]則：

① [x23=x14=0，][x12=1，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：

[2（s3-s4）+（s1-s2）=0]?? （15）

② [x23=x14=1，][x12=0，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：

[（s3-s4）+s2-s1=0] （16）

③ [x23=x14=2，][x12=1，][x34=0，]不失一般性，代入式（14）得到：

[2（s3-s4）+s1-s2=0]? （17）

（2） 兩對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同

假設(shè)[x23=x14=0，][x12=x34=1，]不失一般性，代入式（14）得到：

[（s3-s4）+s2-s1=0] （18）

從上面兩種情況可以看出：當(dāng)數(shù)列中任意四個(gè)元素[a，][b，][c，][d]滿足[a-b≠c-d]以及[a-b≠2（c-d）]時(shí)，該數(shù)列對(duì)應(yīng)的斜率子集所構(gòu)造的網(wǎng)格線段將無法構(gòu)成四邊形，那么對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣中也不會(huì)存在圍長(zhǎng)為8的環(huán)。若數(shù)列M2353對(duì)應(yīng)正整數(shù)集的子集能夠滿足任意四個(gè)元素公差不相等或者無法構(gòu)成兩倍時(shí)，就能夠獲得圍長(zhǎng)為10的碼字。

下面提供一種數(shù)列算法可以得到滿足條件的序列：

a序列表示輸入序列，即M2353。[ai（a[i]）]為序列第[i]個(gè)元素[。m]中存儲(chǔ)序列中任意兩數(shù)的差值，[n]中存儲(chǔ)差值的兩倍或者一半。error指示新加入的數(shù)字是否符合條件，0表示符合，其他表示不符合。

輸入：[a0，][a1]

初始化賦值： [m0，][n0]

for i=2；i≤序列所需個(gè)數(shù)；i++

{

for d=1；d ≤數(shù)列中最大值和最小值的估計(jì)差值；d++

{

error=2；

if d不在m和n的范圍內(nèi)? then

a[i]=a[i-1]+d；

for 數(shù)列的舊元素 do

{

if 檢驗(yàn)新加入的元素和原集合中所有元素的差值在m或者n中 then

error=1；

跳出循環(huán)，d加1，到error=2處開始執(zhí)行

}

error =0；

if? error==0? then

更新m和n；

}

}

最后輸出a0，a1，a2，….

最后輸出的{a0，a1，a2，…}即為滿足條件的數(shù)列。

基于二維網(wǎng)格法，對(duì)斜率集進(jìn)行進(jìn)一步篩選，得到的斜率子集能夠使網(wǎng)格中線段和點(diǎn)無法構(gòu)成三角形和四邊形，從而獲得圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字。

2.2? 復(fù)雜度分析

2.2.1? 存儲(chǔ)空間比較

本文構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣由[S×S]單位矩陣組成，每一行中有[r]個(gè)分塊循環(huán)子矩陣，每一列有[m]個(gè)分塊循環(huán)子矩陣。校驗(yàn)矩陣的準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)使得存儲(chǔ)單元中只需存儲(chǔ)每一分塊矩陣的位置和循環(huán)移位次數(shù)，就等效存儲(chǔ)了該矩陣所有元素信息。因此總體存儲(chǔ)量只需[r×m×] [（ln（r）+ln（m）+ln（S））]比特，而對(duì)于隨機(jī)構(gòu)造LDPC碼字，則需要存儲(chǔ)每一個(gè)元素1的行列具體位置，總體存儲(chǔ)量則需要[S×r×m×（ln（S×r）+ln（S×r））]比特。3D? LDPC碼字為了簡(jiǎn)化編碼過程，在原有構(gòu)造得到的矩陣基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，加入了準(zhǔn)三對(duì)角結(jié)構(gòu)的矩陣，額外增加了[m2（2ln（m）+ln（r））]比特的存儲(chǔ)單元。

2.2.2? 編碼復(fù)雜度

采用基本的編碼方法進(jìn)行編碼，將校驗(yàn)矩陣[H]通過高斯消元法轉(zhuǎn)化為生成矩陣[G。]通常的高斯消元法對(duì)[N×N]的矩陣求逆的復(fù)雜度是O（N3），而本文提出的校驗(yàn)矩陣具有準(zhǔn)循環(huán)結(jié)果，因此基于子矩陣高斯消元法求逆算法復(fù)雜度僅僅包括行交換運(yùn)算復(fù)雜度O（1）、行疊加運(yùn)算復(fù)雜度O（M）、行乘法運(yùn)算復(fù)雜度O（MS）和求逆元復(fù)雜度O（S3），與隨機(jī)結(jié)構(gòu)相比，大大降低了運(yùn)算復(fù)雜度。而3D?LDPC碼字采用高斯消元法進(jìn)行系統(tǒng)化時(shí)，會(huì)導(dǎo)致編碼器復(fù)雜度較高，并沒有采用該方法進(jìn)行編碼。

3? 仿真結(jié)果與結(jié)論

利用以上介紹的數(shù)列算法，得到數(shù)列{1，3，4，11，22，34，51，78，119，…}，從而確定斜率子集，分別構(gòu)造出三種不同碼長(zhǎng)不同碼率的Mackay隨機(jī)碼（列重為3且無4環(huán)）、圍長(zhǎng)為8的LDPC以及本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC，在AWGN信道下進(jìn)行Matlab仿真，仿真幀數(shù)為10 000，調(diào)制方式為BPSK，采用置信度傳播譯碼算法進(jìn)行譯碼，譯碼最大迭代次數(shù)為50，得到最終仿真結(jié)果如下：

圖3顯示的是碼率為0.5碼長(zhǎng)為426的Mackay隨機(jī)碼、圍長(zhǎng)為8的LDPC以及改進(jìn)后圍長(zhǎng)為10的碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t3.tif>；

圖3 碼率為0.5，碼長(zhǎng)為426的三種LDPC性能比較

從圖3可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對(duì)于Mackay隨機(jī)碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對(duì)于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。相比之下，Mackay隨機(jī)碼與圍長(zhǎng)為8的LDPC于3.5 dB處均出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，并且圍長(zhǎng)為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字性能最優(yōu)。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t4.tif>；

圖4 碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機(jī)碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內(nèi)，Girth?8LDPC碼字性能略微優(yōu)于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續(xù)降低，但在1.6 dB以后降低趨勢(shì)逐漸變緩。而圍長(zhǎng)為10的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢(shì)，且無差錯(cuò)平臺(tái)產(chǎn)生，并且在信噪比2 dB以后圍長(zhǎng)為10的LDPC性能略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t5.tif>；

圖5 碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內(nèi)，圍長(zhǎng)為10與圍長(zhǎng)為8的LDPC性能曲線相近且都略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼；而在2 dB以后，圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機(jī)碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長(zhǎng)為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長(zhǎng)為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢(shì)變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現(xiàn)了差錯(cuò)平臺(tái)。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC誤碼性能相對(duì)較優(yōu)，與Mackay隨機(jī)碼字相比，兩者性能相近或前者優(yōu)于后者，并且圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。而圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內(nèi)）情況下，誤碼性能優(yōu)異，甚至出現(xiàn)優(yōu)于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，影響整體性能。

4? 結(jié)? 語(yǔ)

本文基于網(wǎng)格法提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC構(gòu)造方法，能夠有效降低差錯(cuò)平臺(tái)，提升誤碼性能。其與圍長(zhǎng)為8的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時(shí)由于其準(zhǔn)循環(huán)特性，使得所占存儲(chǔ)空間較少，編碼復(fù)雜度較低。

參考文獻(xiàn)

[1] 高興龍，王中訓(xùn)，顏飛，等.多元LDPC碼串行譯碼算法在光纖通信中的應(yīng)用[J].光通信技術(shù)，2013（5）：56?59.

[2] MOTWANI R， ONG C. Design of LDPC coding schemes for exploitation of bit error rate diversity across dies in NAND flash memory [C]// International Conference on Computing， Networ?king and Communication. San Diego， CA： IEEE， 2013： 950?954.

[3] BELEAN B， NEDEVSCHI S， BORDA M. Application specific hardware architecture for high?throughput short?length LDPC decoders [C]// International Conference on Intelligent Computer Communication and Processing. Cluj?Napoca： IEEE， 2013： 307?310.

[4] ZHAO Yue， LAU F C M. Implementation of decoders for LDPC block codes and LDPC convolutional codes based on GPUs [J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems， 2014， 25（3）： 663?672.

[5] DIAO Qiu?ju， TAI Ying?yu， LIN Shu， et al. Trapping set structure of LDPC codes on finite geometries [C]// Information Theory and Applications Workshop. San Diego， CA： IEEE， 2013： 1?8.

[6] REVIRIEGO P， MAESTRO J A， FLANAGAN M F. Error detection in majority logic decoding of euclidean geometry low density parity check codes [J]. IEEE Transactions on VLSI， 2013， 30（1）： 156?159.

[7] PARK H， HONG S， NO J S， et al. Construction of high?rate regular quasi?cyclic LDPC codes based on cyclic difference families [J]. IEEE Transactions on Communications， 2013， 61（8）： 3108?3113.

[8] WANG Lei， ZHANG Xing， YU Feng， et al. QC?LDPC codes with girth eight based on independent row?column mapping sequence [J]. IEEE Communication Letters， 2013， 17（11）： 2140?2143.

[9] 王琪，謝求亮，王昭誠(chéng).定碼長(zhǎng)多碼率QC?LDPC碼的構(gòu)造[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，53（3）：394?398.

[10] FALSAFAIN H， ESMAELI M. Construction of structured regular LDPC codes： a design?theoretic approach [J]. IEEE Tran?sactions on Communications， 2013， 61（2）： 1640?1647.

從圖3可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對(duì)于Mackay隨機(jī)碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對(duì)于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。相比之下，Mackay隨機(jī)碼與圍長(zhǎng)為8的LDPC于3.5 dB處均出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，并且圍長(zhǎng)為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字性能最優(yōu)。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t4.tif>；

圖4 碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機(jī)碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內(nèi)，Girth?8LDPC碼字性能略微優(yōu)于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續(xù)降低，但在1.6 dB以后降低趨勢(shì)逐漸變緩。而圍長(zhǎng)為10的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢(shì)，且無差錯(cuò)平臺(tái)產(chǎn)生，并且在信噪比2 dB以后圍長(zhǎng)為10的LDPC性能略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t5.tif>；

圖5 碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內(nèi)，圍長(zhǎng)為10與圍長(zhǎng)為8的LDPC性能曲線相近且都略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼；而在2 dB以后，圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機(jī)碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長(zhǎng)為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長(zhǎng)為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢(shì)變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現(xiàn)了差錯(cuò)平臺(tái)。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC誤碼性能相對(duì)較優(yōu)，與Mackay隨機(jī)碼字相比，兩者性能相近或前者優(yōu)于后者，并且圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。而圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內(nèi)）情況下，誤碼性能優(yōu)異，甚至出現(xiàn)優(yōu)于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，影響整體性能。

4? 結(jié)? 語(yǔ)

本文基于網(wǎng)格法提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC構(gòu)造方法，能夠有效降低差錯(cuò)平臺(tái)，提升誤碼性能。其與圍長(zhǎng)為8的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時(shí)由于其準(zhǔn)循環(huán)特性，使得所占存儲(chǔ)空間較少，編碼復(fù)雜度較低。

參考文獻(xiàn)

[1] 高興龍，王中訓(xùn)，顏飛，等.多元LDPC碼串行譯碼算法在光纖通信中的應(yīng)用[J].光通信技術(shù)，2013（5）：56?59.

[2] MOTWANI R， ONG C. Design of LDPC coding schemes for exploitation of bit error rate diversity across dies in NAND flash memory [C]// International Conference on Computing， Networ?king and Communication. San Diego， CA： IEEE， 2013： 950?954.

[3] BELEAN B， NEDEVSCHI S， BORDA M. Application specific hardware architecture for high?throughput short?length LDPC decoders [C]// International Conference on Intelligent Computer Communication and Processing. Cluj?Napoca： IEEE， 2013： 307?310.

[4] ZHAO Yue， LAU F C M. Implementation of decoders for LDPC block codes and LDPC convolutional codes based on GPUs [J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems， 2014， 25（3）： 663?672.

[5] DIAO Qiu?ju， TAI Ying?yu， LIN Shu， et al. Trapping set structure of LDPC codes on finite geometries [C]// Information Theory and Applications Workshop. San Diego， CA： IEEE， 2013： 1?8.

[6] REVIRIEGO P， MAESTRO J A， FLANAGAN M F. Error detection in majority logic decoding of euclidean geometry low density parity check codes [J]. IEEE Transactions on VLSI， 2013， 30（1）： 156?159.

[7] PARK H， HONG S， NO J S， et al. Construction of high?rate regular quasi?cyclic LDPC codes based on cyclic difference families [J]. IEEE Transactions on Communications， 2013， 61（8）： 3108?3113.

[8] WANG Lei， ZHANG Xing， YU Feng， et al. QC?LDPC codes with girth eight based on independent row?column mapping sequence [J]. IEEE Communication Letters， 2013， 17（11）： 2140?2143.

[9] 王琪，謝求亮，王昭誠(chéng).定碼長(zhǎng)多碼率QC?LDPC碼的構(gòu)造[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，53（3）：394?398.

[10] FALSAFAIN H， ESMAELI M. Construction of structured regular LDPC codes： a design?theoretic approach [J]. IEEE Tran?sactions on Communications， 2013， 61（2）： 1640?1647.

從圖3可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對(duì)于Mackay隨機(jī)碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對(duì)于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。相比之下，Mackay隨機(jī)碼與圍長(zhǎng)為8的LDPC于3.5 dB處均出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，并且圍長(zhǎng)為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC碼字性能最優(yōu)。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t4.tif>；

圖4 碼率為0.57，碼長(zhǎng)為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長(zhǎng)為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機(jī)碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內(nèi)，Girth?8LDPC碼字性能略微優(yōu)于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續(xù)降低，但在1.6 dB以后降低趨勢(shì)逐漸變緩。而圍長(zhǎng)為10的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢(shì)，且無差錯(cuò)平臺(tái)產(chǎn)生，并且在信噪比2 dB以后圍長(zhǎng)為10的LDPC性能略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種碼字的性能比較。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t5.tif>；

圖5 碼率為0.625，碼長(zhǎng)為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內(nèi)，圍長(zhǎng)為10與圍長(zhǎng)為8的LDPC性能曲線相近且都略微優(yōu)于Mackay隨機(jī)碼；而在2 dB以后，圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機(jī)碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長(zhǎng)為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長(zhǎng)為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢(shì)變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現(xiàn)了差錯(cuò)平臺(tái)。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC誤碼性能相對(duì)較優(yōu)，與Mackay隨機(jī)碼字相比，兩者性能相近或前者優(yōu)于后者，并且圍長(zhǎng)為10的LDPC性能曲線中沒有出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)。而圍長(zhǎng)為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內(nèi)）情況下，誤碼性能優(yōu)異，甚至出現(xiàn)優(yōu)于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現(xiàn)差錯(cuò)平臺(tái)，影響整體性能。

4? 結(jié)? 語(yǔ)

本文基于網(wǎng)格法提出的圍長(zhǎng)為10的LDPC構(gòu)造方法，能夠有效降低差錯(cuò)平臺(tái)，提升誤碼性能。其與圍長(zhǎng)為8的LDPC和Mackay隨機(jī)碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時(shí)由于其準(zhǔn)循環(huán)特性，使得所占存儲(chǔ)空間較少，編碼復(fù)雜度較低。

參考文獻(xiàn)

[1] 高興龍，王中訓(xùn)，顏飛，等.多元LDPC碼串行譯碼算法在光纖通信中的應(yīng)用[J].光通信技術(shù)，2013（5）：56?59.

[2] MOTWANI R， ONG C. Design of LDPC coding schemes for exploitation of bit error rate diversity across dies in NAND flash memory [C]// International Conference on Computing， Networ?king and Communication. San Diego， CA： IEEE， 2013： 950?954.

[3] BELEAN B， NEDEVSCHI S， BORDA M. Application specific hardware architecture for high?throughput short?length LDPC decoders [C]// International Conference on Intelligent Computer Communication and Processing. Cluj?Napoca： IEEE， 2013： 307?310.

[4] ZHAO Yue， LAU F C M. Implementation of decoders for LDPC block codes and LDPC convolutional codes based on GPUs [J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems， 2014， 25（3）： 663?672.

[5] DIAO Qiu?ju， TAI Ying?yu， LIN Shu， et al. Trapping set structure of LDPC codes on finite geometries [C]// Information Theory and Applications Workshop. San Diego， CA： IEEE， 2013： 1?8.

[6] REVIRIEGO P， MAESTRO J A， FLANAGAN M F. Error detection in majority logic decoding of euclidean geometry low density parity check codes [J]. IEEE Transactions on VLSI， 2013， 30（1）： 156?159.

[7] PARK H， HONG S， NO J S， et al. Construction of high?rate regular quasi?cyclic LDPC codes based on cyclic difference families [J]. IEEE Transactions on Communications， 2013， 61（8）： 3108?3113.

[8] WANG Lei， ZHANG Xing， YU Feng， et al. QC?LDPC codes with girth eight based on independent row?column mapping sequence [J]. IEEE Communication Letters， 2013， 17（11）： 2140?2143.

[9] 王琪，謝求亮，王昭誠(chéng).定碼長(zhǎng)多碼率QC?LDPC碼的構(gòu)造[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，53（3）：394?398.

[10] FALSAFAIN H， ESMAELI M. Construction of structured regular LDPC codes： a design?theoretic approach [J]. IEEE Tran?sactions on Communications， 2013， 61（2）： 1640?1647.