尹彥坤，陳 實，李挺前

(湛江南海西部石油勘察設計有限公司，廣東 湛江 524057)

隨機波浪載荷下基于斷裂力學的結構疲勞分析算法研究

尹彥坤，陳 實，李挺前

(湛江南海西部石油勘察設計有限公司，廣東 湛江 524057)

應用斷裂力學方法進行結構疲勞評估，Paris法則給出了簡潔的計算公式，但是對于海洋結構物來說，在隨機波浪載荷下的響應是非常復雜的。因此，對于結構疲勞壽命的評估，尋求一種兼顧計算效率、準確度和安全性的計算方法是非常重要的。結構的響應應力是一個隨機變量，為了提高計算效率，研究了其等效恒值應力；為了保證計算結果的安全性，探討了長期波浪分布下應力的加載次序。

隨機波浪；斷裂力學；疲勞；算法

0 引 言

通常認為海浪短期統(tǒng)計特性是平穩(wěn)隨機過程，波面高度的分布符合正態(tài)分布，波高的分布遵從瑞利分布，并且常用隨機功率譜即海浪譜形式來描述隨機波浪。波浪的長期分布通常以長期分布統(tǒng)計概率表的形式給出。波浪的短期分布加長期分布形成了結構的整個疲勞海況。

根據結構隨機振動理論，結構的應力譜由傳遞函數(shù)和海浪譜生成。對于構成疲勞分析的海況來說，絕大多數(shù)為小振幅波，結構線性響應正比于波高，因此應力也遵從瑞利分布。應力分布的概率密度函數(shù)的生成，需要先求解應力的均方值，而應力的均方值可以從應力譜求得。

對于短期波浪引起的結構應力，為了避免計算程序上復雜的隨機加載，可以采用等效應力的方法；而對于長期波浪統(tǒng)計，需要研究其加載次序。這兩點便是本文討論的主要內容。

1 應力譜及應力概率密度函數(shù)

1.1 海浪譜

波浪譜從頻域角度描述波浪的組成，又稱為頻譜。海浪可視作由無限多個振幅不同、頻率不同、方向不同、相位不同的波組成，在如圖1所示的坐標系中[橫軸為頻率f，縱軸為Sηη(f)=H2/8，代表波浪的能量]表達這些波浪，便構成了波浪譜。

在海浪研究中對充分成長的風浪記錄進行譜估計和曲線的擬合時，提出了多種譜，常見的有Pieron-Moskowitz(PM)譜和JONSWAP譜等。其中PM譜的定義如下[2]：

(1)

式中:Hs為有效波高;Tz為平均跨零周期。

圖1 PM譜Fig.1 PM spectrum

1.2 應力譜及應力概率密度函數(shù)

根據結構隨機振動理論，應力譜由應力傳遞函數(shù)G(f)的平方乘上頻譜得到，傳遞函數(shù)為單位激勵和結構響應之間的函數(shù)關系，表示為[2]

Sσσ(f)=|G(f)|2Sηη(f).

(2)

圖2給出了這一方程的示意圖。

應力的概率密度函數(shù)符合瑞利分布，其定義如下[2]：

(3)

式中：m0為應力譜的0階矩,由前面應力譜的定義可知，m0的物理意義為應力均方值的1/8。

2 短期波浪引起的等效應力算法

2.1 等效應力的公式

有了應力譜和概率密度函數(shù)，下面考慮如何將其施加于結構并求解裂紋擴展。英國標準學會的BS7910(2005)8.4.2章對算法的建議是：把應力譜劃分成一定數(shù)量的區(qū)塊，區(qū)塊的應力取其內部的最大值作為恒值，然后對每個區(qū)塊分別進行計算，并且要選出造成最大裂紋擴展的區(qū)塊加載次序[1]。

這種算法對于具有單一應力譜的結構是可行的；而對于生命周期為20～30年的海洋結構來說，應力譜的數(shù)量較大，加載次數(shù)多達上億次，裂紋擴展公式的積分計算量是驚人的，因此需要尋找簡化的方法。

應力作為隨機變量，其多次作用的簡化計算方法是求其等效值。這個等效也即對裂紋造成的擴展的等效，從數(shù)學上講為所有應力的m次方的平均值。等效應力σe可由概率密度函數(shù)求出，計算公式如下：

(4)

假設此短期統(tǒng)計的持續(xù)時長為T，則應力循環(huán)次數(shù)為N=T/Te。

圖2 應力譜的生成Fig.2 Generation of stress spectrum

2.2 考慮應力強度因子閾值影響時等效應力公式的修正

根據斷裂力學理論，在應力強度因子變化幅Δk小于閾值Δk0時，不引起裂紋的擴展[1]，所以等效應力的計算要進行修正，過濾掉低應力部分。Δk0與材料、應力比R和環(huán)境有關。

(5)

有效循環(huán)次數(shù)修正為

(6)

在實際的計算程序中，可采用近似方法計算σe和Ne，方法如下。

把應力從應力幅閾值σ0到上限σu之間進行分解，步長為δσ。對每一個值σ，其出現(xiàn)概率為p(σ)·δσ，所以等效應力

(7)

有效循環(huán)次數(shù)

(8)

經過上述計算，最終得到裂紋擴展公式

(9)

2.3 積分上限σu的確定

(10)

2.4 導管架管節(jié)點疲勞分析算例

下面以某導管架管節(jié)點的疲勞分析為例，展示求解等效應力的過程。為了計算簡單，把傳遞函數(shù)進行了簡化。

求解導管架的傳遞函數(shù)要進行確定性波浪響應分析，采用Airy波理論，波浪力用Morison方程計算。傳遞函數(shù)選取波浪周期從1～20 s之間的20～30個值，波陡采用1/25～1/20。為了求解某個波浪工況下的應力變化幅值δ，把波浪分成20個左右的不同的相位進行計算，20個相位中的最大值減去最小值即得到該工況的應力變化幅值[4]。

傳遞函數(shù)G(f)如圖3所示，圖中橫坐標為頻率，縱坐標為σ/H，H為對應某一頻率的波高。

圖3 傳遞函數(shù)Fig.3 Transfer function

表1給出了波浪數(shù)據和波浪譜；表2列出了根據式(2)和圖3所示傳遞函數(shù)計算得到的應力譜的0階矩、2階矩和有效周期，應力譜的圖形見圖4；表3給出了裂紋參數(shù)；表4列出了根據2.2節(jié)公式計算得到的等效應力、循環(huán)次數(shù)以及裂紋擴展。

表1 波浪參數(shù)Table 1 Wave data

表2 應力譜Table 2 Stress spectrum

圖4 應力譜Fig.4 Stress spectrum

表3 裂紋參數(shù)Table 3 Crack parameters

表4 裂紋擴展計算結果Table 4 Result for crack growth

3 波浪長期分布的加載順序

3.1 加載次序的差別

注意到裂紋擴展率的公式是微分方程，裂紋擴展需要進行積分求解，每次加載的裂紋初始尺寸等于上次加載的最終尺寸，因此不同的施加次序可能會造成計算結果的不同。

波浪的長期統(tǒng)計是由“方向-Hs-Tz-出現(xiàn)概率”構成的表格，典型統(tǒng)計見表5；表格中的數(shù)據表示某個短期波浪的出現(xiàn)概率，其有效波高為Hs，跨零周期為Tz。在確定表中的波浪加載次序之前，我們首先要研究不同加載次序造成的差別。

表5 典型波浪長期分布概率表Table 5 Typical long-term wave distribution

選取表6中所示6組波浪數(shù)據，用第2節(jié)的方法計算裂紋擴展，并對結果進行對比。應力傳遞函數(shù)仍然采用2.4節(jié)的數(shù)據，頻譜采用PM譜。計算結果見表7。

表6 分組的波浪數(shù)據Table 6 Grouping of wave data

表7 裂紋擴展計算結果對比Table 7 Comparison of calculation results of crack growth

從表7的結果中可以看出，先施加較大荷載，后施加較小荷載，造成的破壞較大，但差別很小。

3.2 加載方法的確定

根據3.1節(jié)的結論，同時基于保守的原則，對于波浪長期概率分布表的數(shù)據，應采用從大波高到小波高的順序進行施加。但是對于設計壽命為20～30年的海洋結構來說，這樣做會與事實不符，因為在這么長的時間內實際波浪不會完全按照從大到小的順序出現(xiàn)。

綜合考慮安全、計算精度和計算量，對于波浪荷載的加載建議采用三級模式。第一級以年為單位，把總壽命劃分成N塊,記為Ti，這N塊之間除給定裂紋初始尺寸的不同外無其他差別；如果事先總壽命不清楚，可以通過初步試算確定。

第二級為Ti的定義及分解，以3～24 h為單位，把Ti劃分成m塊，每塊記為ti，每塊ti有各自的有效波高Hs和跨零周期Tz；m個ti要符合波浪長期概率表的定義，并按照Hs由大到小的順序施加到結構上。

第三級為每塊ti內部，根據其Hs和Tz，采用第2節(jié)所述方法計算其等效應力和等效循環(huán)次數(shù),作為裂紋疲勞評估的輸入數(shù)據。

上述方法可用圖5來表示。

圖5 波浪加載算法圖Fig.5 Numerical algorithm for wave loading

4 結 語

目前海洋結構疲勞分析常用的是應力-壽命(S-N) 曲線和斷裂力學法。對于隨機波浪的加載，S-N曲線的方法比較簡單和成熟，而斷裂力學方法的研究較少。這兩種方法的主要區(qū)別就是等效應力的計算和加載次序。

在實際應用中，應力閾值σ0的計算比本文中公式要復雜得多，因為在應力強度因子的公式中，應力要分解為主應力、次應力、膜應力和彎曲應力，不同的應力有不同的修正因子Y。

同時應注意到，本文中應力譜的計算僅適用于線性反應體系，所以上述方法也僅適用于線性結構體系。在導管架的疲勞分析中，非線性的樁土基礎可以進行近似的線性化，從而運用上述方法計算。

[1] British Standards Institution.BS 7910—2005.Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures [S].2005.

[2] Barltrop N D P.Dynamics of Fixed Marine Structures[M].Oxford: Butterworth-Heinemann,2011: 609-635.

[3] 劉永庚.海洋工程水動力學[M].北京：國防工業(yè)出版社，2012：19-49.

[4] American Petroleum Institute.API RP 2A-2007.Recommended practice for planning,designing and constructing fixed offshore platforms—working stress design[S].2007.

ResearchofNumericalAlgorithmsforStructure’sFatigueAssessmentinRandomWavesBasedonFractureMechanics

YIN Yan-kun,CHEN Shi,LI Ting-qian

(ZhanjiangNanhaiWestOilSurveyamp;DesignCo.,Ltd.,Zhanjiang,Guangdong524057,China)

Paris law gives a simple formula for offshore structure’s fatigue assessment with fracture mechanics method.However,the input “stress” data are complex,because the offshore structure’s response under random waves is complex.For structures exposed under long-term waves,it is important to find a numerical algorithm which is efficient,accurate and safe for calculating fatigue life.Structure’s response stress is a random variable,so its equivalent constant value can be investigated for efficiency，and its loading sequence under long-term waves should be investigated for conservation.

random waves; fracture mechanics; fatigue; numerical algorithm

TU973+.254

A

2095-7297(2014)03-0213-05

2014-08-20

尹彥坤(1980-)，男，高級工程師，主要從事海洋石油固定式平臺結構設計。