羅 寧

（中國電子科技集團(tuán)公司第十研究所，四川 成都 610036）

0 引言

MIMO技術(shù)充分利用了空間資源，可以通過空間復(fù)用、空間分集或智能天線技術(shù)達(dá)到提高數(shù)據(jù)比特率、降低誤碼率或提高信噪比的目的[1]，但當(dāng)系統(tǒng)中天線之間具有空間相關(guān)性時，會對系統(tǒng)性能造成影響。參考文獻(xiàn)[2]研究了拉普拉斯角能量分布條件下均勻圓陣下的空間相關(guān)性，分析了衰落因子和歸一化間距對空間相關(guān)性的影響。參考文獻(xiàn)[3]與參考文獻(xiàn)[4]分析了均勻線陣與均勻圓陣下空間相關(guān)性對系統(tǒng)誤碼性能的影響；參考文獻(xiàn)[5]研究了空間相關(guān)性對信道容量的影響，在這些研究中均未將收發(fā)結(jié)合進(jìn)行研究。本文首先研究MIMO系統(tǒng)的空間相關(guān)性模型，然后根據(jù)該模型，針對上述研究中的不足，研究均勻線陣和均勻圓陣結(jié)合的2發(fā)4收MIMO系統(tǒng)空間相關(guān)性對誤碼性能和信道容量的影響。在本文分析中，未考慮信號的傳輸距離的衰落和多普勒的影響。

1 MIMO空間相關(guān)性模型

MIMO天線空間相關(guān)性主要指發(fā)射端與接收端天線之間的相關(guān)特性，用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行表征。假設(shè)任意兩個接收天線的相關(guān)性與發(fā)射天線是哪一個無關(guān)，兩個發(fā)射天線之間的相關(guān)性與接收天線是哪一個也沒有關(guān)系[6-7]。

對第m個天線陣元和第n個的天線陣元的相關(guān)系數(shù)定義為[2]：

式(1)中，()*表示復(fù)共軛，vm(ζ)是第 m 個天線陣元的響應(yīng)，f(ζ)為角能量譜概率分布密度函數(shù)。

均勻線陣和均勻圓陣的響應(yīng)[8]分別如式(2)和式(3)：其中，λ為無線電波波長，M表示天線個數(shù)，d是線陣天線間距，θ是發(fā)射信號的離開角或接收信號的到達(dá)角，φ為發(fā)射信號或接收信號的俯仰角(本文中假定為φ=90°)，R為均勻圓陣的半徑，Ψ表示圓陣的位置方位角。常用的角能量譜概率分布包括高斯分布、均勻分布和拉普拉斯分布，在城區(qū)和農(nóng)村環(huán)境下，拉普拉斯角能量分布是與信道測量結(jié)果吻合最好的一種分布[9]。因此本文研究拉普拉斯角能量分布情況下的MIMO天線的空間相關(guān)性。拉普拉斯角能量分布方程[8]為：

可以認(rèn)為角分布標(biāo)準(zhǔn)差σ即為角度擴(kuò)展，隨著角度擴(kuò)展的增大，衰落因子相應(yīng)減少，反之亦然。

將式(2)、(3)、(4)代入式(1)，可得均勻線陣和均勻圓陣下的空間相關(guān)性系數(shù)[3-4]。

其中，Rl表示線陣的空間相關(guān)系數(shù)，Rc表示圓陣的空間相關(guān)系數(shù)，均為復(fù)數(shù)。Jk(x)為第1類貝賽爾函數(shù)，Zl=，α 滿足

2 空間相關(guān)性對誤碼率的影響

[8]對均勻線陣和均勻圓陣情況下，采用最大比合并，假設(shè)是準(zhǔn)靜態(tài)信道，不考慮多普勒的影響，得出了空間相關(guān)性與誤碼率的關(guān)系，如式（10）所示：

式中，λm為空間相關(guān)矩陣 Rh的特征值，Rh=γcRv，γc是接收到的每天線每比特的信噪比，式(10)是采用BPSK調(diào)制解調(diào)下的性能特性，也可適用于采用格雷編碼的QPSK。由式(10)，需要計算MIMO信道的整體相關(guān)矩陣Rv，從而計算特征值，Rv可以通過下式進(jìn)行計算[6]：

其中，?表示矩陣的 Kronecker乘積，RTx、RRx分別表示發(fā)射和接收天線的相關(guān)矩陣，可以通過式(1)進(jìn)行計算。

3 空間相關(guān)性對信道容量的影響

當(dāng)?shù)玫较到y(tǒng)的發(fā)射相關(guān)矩陣和接收相關(guān)矩陣后，可以根據(jù)式(12)計算MIMO系統(tǒng)的信道傳輸矩陣H[7]：

其中，Hiid為隨機(jī)矩陣，其元素為獨立同分布的零均值復(fù)高斯變量，(·)1/2表示矩陣的平方根分解。當(dāng)發(fā)射端不知道信道狀態(tài)信息時，采用等功率發(fā)射，即每根天線上分配相同的功率，MIMO信道的瞬時容量為[5]：

其中，(·)H表示矩陣的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，I表示單位矩陣，ρ是平均信噪比，n為發(fā)射天線數(shù)和接收天線數(shù)的最小值。由式(13)，信道容量與MIMO的信道傳輸矩陣有關(guān)，而信道傳輸矩陣又受發(fā)射與接收天線的空間相關(guān)性影響，將在下節(jié)中通過計算分析空間相關(guān)性對信道容量的影響情況。

4 計算與分析

4.1 空間相關(guān)性分析

根據(jù)式（6）、（7）、（8）、（9）分別計算均勻線陣和均勻圓陣的空間相關(guān)值并取模，得到均勻線陣和均勻圓陣的相關(guān)值曲線分別如圖1、圖2所示，圖1是線陣陣元1和陣元2的相關(guān)性，圓陣的陣元分別位于圓周的π/4、3π/4、5π/4和 7π/4 處。

圖1 均勻線陣的空間相關(guān)性曲線

圖2 均勻圓陣的空間相關(guān)性曲線

由圖1和圖2可以看到，當(dāng)σ確定時，空間相關(guān)值總體趨勢是隨著歸一化間距的增大而相應(yīng)減小，因此可以通過提高無線電波頻率或增大天線之間距離的方法來增大歸一化間距以減少空間相關(guān)性，但這種減少趨勢受θ的影響，會出現(xiàn)一些波動。而θ對空間相關(guān)性則有不同的影響，跟天線陣元的結(jié)構(gòu)、位置有關(guān)，如對于均勻圓陣，由圖 2，陣元 1、2之間的空間相關(guān)性隨 θ的增大而減小，陣元1、4之間的空間相關(guān)性則隨著θ的增大相應(yīng)增大，但陣元1、3之間空間相關(guān)性則不是單調(diào)關(guān)系，θ為45°時空間相關(guān)性最大，其余則是關(guān)于θ=45°對稱變化。

4.2 誤碼性能分析

圖3是根據(jù)式(10)計算的空間相關(guān)性與誤碼率之間的關(guān)系曲線，均假設(shè)發(fā)射端采用2陣元的均勻線陣，接收端采用4陣元的均勻圓陣，發(fā)射端的歸一化間距均為2，平均到達(dá)角或離開角均為5°。

圖3(a)中，信噪比一定，改變角度擴(kuò)展和歸一化間距，隨著角度擴(kuò)展或歸一化間距的增加，誤碼率降低；但當(dāng)角度擴(kuò)展或歸一化間距增加到一定程度后，對誤碼改善的能力趨于平緩。相較而言角度擴(kuò)展對誤碼性能的影響更大。圖3(b)中，接收端歸一化間距為4，改變角度擴(kuò)展和信噪比，隨著信噪比的增加，誤碼率降低，當(dāng)信噪比一定時，與圖3(a)相同；隨著角度擴(kuò)展的增加，誤碼性能雖得到改善，但這種改善隨著角度擴(kuò)展的增大逐漸減小。

由圖3可以看出，當(dāng)陣元之間的歸一化間距或角度擴(kuò)展增大時，由3.1節(jié)的分析，都會減少天線之間的空間相關(guān)性，使得誤碼性能得到了改善，但這種改善隨著歸一化間距的增大或角度擴(kuò)展的增加而趨于減小。

4.3 信道容量分析

空間相關(guān)性對信道容量的影響如圖4所示。發(fā)射端采用2陣元均勻線陣，歸一化間距為2，接收端采用4陣元均勻圓陣，圖 4(a)中，接收端歸一化間距為 4，當(dāng)信噪比增加時，瞬時信道容量相應(yīng)增加，而當(dāng)信噪比確定時，隨著角度擴(kuò)展的增大，空間相關(guān)性減小，瞬時信道容量相應(yīng)增加。圖4(b)中，當(dāng)歸一化間距逐漸增大時，信道容量出現(xiàn)一定波動，這種波動隨著間距的增大和角度擴(kuò)展的增大而減小，特別是當(dāng)角度擴(kuò)展較大時，波動已經(jīng)很小，說明角度擴(kuò)展對信道容量的影響較歸一化間距的影響更為顯著。

5 結(jié)論

圖3 空間相關(guān)性對誤碼性能的影響

圖4 空間相關(guān)性對信道容量的影響

本文在拉普拉斯角能量分布條件下，以均勻線陣和均勻圓陣為例，分析了MIMO系統(tǒng)的空間相關(guān)性模型、空間相關(guān)性對誤碼率及信道容量的影響。而天線陣元間的空間相關(guān)性主要取決于發(fā)射端和接收端天線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、天線間距、發(fā)射信號的離開角與角度擴(kuò)展、接收信號的到達(dá)角與角度擴(kuò)展以及角度功率譜等空間參數(shù)。在這些影響因素中，發(fā)射信號的離開角或接收信號的到達(dá)角對空間相關(guān)性的影響跟陣元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)，而歸一化間距和角度擴(kuò)展的增加均會減小空間相關(guān)性，相較而言，角度擴(kuò)展比歸一化間距對系統(tǒng)的誤碼率和信道容量的影響更大，這是在設(shè)計MIMO系統(tǒng)時均要考慮的因素。

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