譚興毅，李 強(qiáng)

( 湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施445000)

傳染病是由各種病原體或寄生蟲感染生物體后所產(chǎn)生的且能在相關(guān)生物種群中引起流行的疾病，是病原體、宿主與環(huán)境相互作用的結(jié)果［1］．通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究疾病傳播有著較早的歷史，Kermack 和McKendrick 在1926 年構(gòu)建了著名的SIR 模型倉(cāng)室，隨后又提出了SIS 倉(cāng)室模型，并在此基礎(chǔ)上提出了區(qū)分疾病是否流行的“閾值理論”，奠定傳染病動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)［2－3］．Hethcote［4］和Aron［5］分別研究了具有常數(shù)遷入和具有雙線性傳染率的SIRS 模型，得到了模型的基本再生數(shù)和相關(guān)閾值參數(shù)，并證明了相應(yīng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．另一方面，水稻稻瘟病的病原為Magnaporthe grisea，是水稻最常見(jiàn)的傳染病菌［6］，并以其突發(fā)性、暴發(fā)性、災(zāi)害性強(qiáng)等特點(diǎn)，成為水稻大面積減產(chǎn)甚至部分地方絕收的重要病害之一．所以建立稻瘟病模型，揭示稻瘟病的發(fā)生過(guò)程及其流行規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)預(yù)防和控制稻瘟病，增加糧食產(chǎn)量具有重要意義．本文建立了具有常數(shù)遷入的SIRS 稻瘟病模型，利用數(shù)值計(jì)算分析了模型平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性．

1 模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明

1．1 模型假設(shè)

1)由于稻瘟病發(fā)病具有局域性，即小區(qū)域發(fā)病，再向四周傳播的特點(diǎn)，而且水稻種植面積很大，所以可以認(rèn)為水稻植株的數(shù)量是連續(xù)可變的;

2)考慮到稻瘟病的爆發(fā)性，即稻瘟病的發(fā)病、流行時(shí)間相對(duì)水稻生長(zhǎng)周期很短，所以模型中不用考慮易感染和具有暫時(shí)免疫力的水稻植株的死亡率．

3)模型考慮的是存在稻瘟病的同種水稻，獲稻瘟病之后的植株具有暫時(shí)的免疫力．

4)研究發(fā)現(xiàn)，稻瘟病的形成、流行以及造成災(zāi)害與氣象條件緊密相關(guān)［7－10］．溫度、濕度、光照等氣象因素直接影響到稻瘟病真菌孢子的形成、釋放和傳播等，即適宜稻瘟病真菌的環(huán)境條件是稻瘟病發(fā)生的最主要因素．例如，當(dāng)氣溫在20～30℃、田間濕度大于90%、稻株體表水膜保持6～10 h，稻瘟病真菌孢子容易形成;平均氣溫24～28℃，并有一晝夜以上飽和濕度時(shí)，稻瘟病真菌孢子容易傳播．氣象條件在影響病原的同時(shí)，還通過(guò)寄主間接影響病害發(fā)生．例如，水稻抽穗后若遇到20℃以下低溫侵襲，會(huì)減弱植株抗病力，遇到陰雨多霧天氣，就容易引起穗頸瘟的流行．因此，在模型中引入與環(huán)境因素如氣溫、濕度、光照等密切相關(guān)的因子A(易感染水稻植株的常數(shù)補(bǔ)充率)．

1．2 符號(hào)定義

S(t):t時(shí)刻易感染水稻植株的數(shù)量;I(t):t時(shí)刻已感染水稻植株的數(shù)量;R(t):t時(shí)刻具有暫時(shí)免疫力的水稻植株的數(shù)量;A:易感染水稻植株的常數(shù)補(bǔ)充率;β:發(fā)病率系數(shù)(與環(huán)境中的風(fēng)速等因子相關(guān));μ:已感染水稻植株的死亡率;γ:水稻施藥后的治愈率;α:具有免疫的水稻植株重新成為易感染水稻植株的速率．

1．3 模型建立

相應(yīng)的微分模型建立如下:

1)根據(jù)假設(shè)，每株病植株每時(shí)間單位內(nèi)可以使βS(t)個(gè)易感染植株變?yōu)椴≈仓?，病植株總?shù)為I(t)，所以每時(shí)間單位共有βS(t)I(t)個(gè)健康植株被感染;具有免疫的水稻植株重新成為易感染水稻植株的速率為α，t時(shí)刻具有暫時(shí)免疫力的水稻植株的數(shù)量為R(t)，所以每時(shí)間單位共有αR(t)個(gè)健康植株成為易感染植株，于是易感染植株的增加率為:

2)病植株的轉(zhuǎn)換主要是感染增加的病植株βS(t)I(t)減去被移除的病植株(包括治愈的和死亡的)，即μI(t)+γI(t)．因此，病植株的增加率可以表示為:

3)發(fā)病植株與治愈植株之間的轉(zhuǎn)換，單位時(shí)間內(nèi)退出植株的變化等于發(fā)病植株的減少量，即:

綜上，SIRS 稻瘟病微分模型為:

2 模型解的有界性、穩(wěn)定性分析

設(shè)x=(x1，x2，x3)分別代表(S，I，R)，由系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)可以給如下假設(shè):(S，I，R)是非負(fù)且有界的，μ≥0，β≥0，α≥0，γ≥0．方程改寫成如下形式:

1)fii≤0 其中i，t≥0;2)fij≥0 其中i≠j，t≥0;3)，其中j，t≥0．

所以此SIRS 系統(tǒng)為倉(cāng)室系統(tǒng)［11］．

再將系統(tǒng)寫成一下形式:

其中xi是倉(cāng)室i的質(zhì)量，從系統(tǒng)外流入倉(cāng)室i的流量，即系統(tǒng)輸入，用Ii來(lái)表示;而從這個(gè)倉(cāng)室流到系統(tǒng)外的流量，即系統(tǒng)輸出，用F0i來(lái)表示;用Fji表示從倉(cāng)室i轉(zhuǎn)移到倉(cāng)室j的量，同理Fij是指從j到i的量．記Fi(x)為一般SIRS 倉(cāng)室系統(tǒng)的第i 個(gè)函數(shù)的右式，結(jié)合前面假設(shè)(Assume)，則由系統(tǒng)(6)可知

3 結(jié)論

建立了具有常數(shù)遷入的SIRS 稻瘟病模型，分析了模型有界解的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)該模型的每一個(gè)有界解都趨于穩(wěn)定集，說(shuō)明稻瘟病的流行與易感染水稻植株的常數(shù)補(bǔ)充率即氣象因子密切相關(guān)．

［1］ 彭文偉．傳染病學(xué)［M］．北京:人民衛(wèi)生出版社，2001．

［2］ Kermack W O，McKendrick A G．Contributions to the mathematical theory of epidemics［J］．Proc Roy Soc，1927(A115):700－721．

［3］ Kermack W O，McKendrick A G．Contributions to the mathematical theory of epidemics［J］．Proc Roy Soc，1932(A138):55－83．

［4］ Mena－lorcaand J．Hethcote H W．Dynamic models of infectious diseases as regulatiors of population sizes［J］．J Math Biol，1992，30:693－716．

［5］ Joan L，Aron．Acquired immunity dependent upon exposure in an SIRS epidemic model［J］．Math Biosci，1988，88:37－47．

［6］ 孫國(guó)昌．關(guān)于水稻稻瘟病病原菌學(xué)名的正確使用［J］．真菌學(xué)報(bào)，1994，13(2):158－159．

［7］ 舒暢，潘華．江西水稻病蟲災(zāi)害發(fā)生與防治淺議［J］．氣象與減災(zāi)研究，2006，29(1):61－64．

［8］ 黃瑞榮，華菊玲，王梅和，等．江西省稻瘟病發(fā)生流行趨勢(shì)和治理對(duì)策探討［J］．江西農(nóng)業(yè)學(xué)報(bào)，2006，18(5):80－82．

［9］ 王建忠，鄭文靜，張燕之．水稻稻瘟病的發(fā)病原因及綜合防治［J］．糧食作物，2006(8):24－25．

［10］ 李湘民．植病流行學(xué)(一)［J］．江西植保，1990，13(2):27－29．

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