楊德成，張 龍

（1．海裝駐九江地區(qū)軍事代表室，江西 九江 332007;2．海裝駐哈爾濱汽輪機(jī)廠有限責(zé)任公司軍事代表室，黑龍江 哈爾濱 150046）

能量選擇性熱電子熱機(jī)（簡(jiǎn)稱ESE熱機(jī)）是一種以電子作為工質(zhì)的微型能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，其性能的獨(dú)特之處在于如果穿過該系統(tǒng)能量過濾器的電子的能量調(diào)節(jié)到某一特殊的能量點(diǎn)處，ESE熱機(jī)的效率可以達(dá)到卡諾效率值[1～2]，正因?yàn)檫@一獨(dú)特性能及其對(duì)納米材料熱電裝置、半導(dǎo)體固態(tài)熱電和熱離子裝置實(shí)際電子機(jī)系統(tǒng)性能提升具有重要的指導(dǎo)意義，熱電子熱機(jī)系統(tǒng)的熱力學(xué)性能的研究也吸引了眾多學(xué)者的目光[3～7]。

近年來，能量系統(tǒng)功率最大時(shí)的效率（簡(jiǎn)稱EMP）特性已經(jīng)成為其最優(yōu)性能相關(guān)研究的熱點(diǎn)問題之一。EMP特性是揭示系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換機(jī)制和效率的一個(gè)非常有效的指標(biāo)。對(duì)于各種理想能量系統(tǒng)，其效率最大時(shí)的輸出功率往往為零。因此研究其EMP特性更具實(shí)際意義。Novikov[8]、Chambadal[9]、Curzon和Ahlborn[10]等學(xué)者最早分別注意到了這一問題，并得到了著名的Curzon-Ahlborn（CA）效率。CA效率的導(dǎo)出突破了卡諾效率在實(shí)際能量系統(tǒng)應(yīng)用中的局限性，奠定了有限時(shí)間熱力學(xué)理論[11~18]的根基，同時(shí)也使得人們對(duì)于熱機(jī)系統(tǒng)功率最大時(shí)的效率這一性能指標(biāo)給予了更多的關(guān)注。

研究微型能量系統(tǒng)的EMP特性，有助于揭示微型能量系統(tǒng)的本質(zhì)機(jī)理和共性特征，明晰微型能量系統(tǒng)與宏觀系統(tǒng)在能量轉(zhuǎn)換機(jī)理上的異同點(diǎn)。Humphrey[2]研究了單通道熱電子熱機(jī)在最大輸出功率模式時(shí)的EMP特性；Luo等[19]研究了低溫ESE熱離子熱機(jī)的EMP特性，并討論了能量譜寬度對(duì)EMP特性的影響。本文擬基于單諧振通道的內(nèi)可逆能量選擇性電子熱機(jī)模型，導(dǎo)出熱電子熱機(jī)在中間運(yùn)行模式和最大功率運(yùn)行模式下的功率和效率的解析表達(dá)式，系統(tǒng)分析熱機(jī)在這兩種模式下的EMP特性，討論過濾器中心能量位置和能量寬度對(duì)EMP特性的影響，確定EMP的性能界限，從而進(jìn)一步揭示熱電子機(jī)系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換的機(jī)理和特點(diǎn)。

1 單通道熱電子熱機(jī)模型

圖1 單諧振通道熱電子熱機(jī)模型

圖1給出了一維系統(tǒng)中包含單諧振通道的內(nèi)可逆熱電子熱機(jī)模型，它由兩個(gè)無限大的電子源和兩個(gè)能量過濾器構(gòu)成。兩電子源有不同的溫度TC和TH以及不同的化學(xué)勢(shì)μC和μH。兩電子源彼此熱絕緣，只通過兩個(gè)有限寬度的能量過濾器進(jìn)行電子交換，過濾器僅允許特定能量范圍內(nèi)的電子在兩源之間自由傳輸。圖中，ER為過濾器的中心能量，ΔE為過濾器允許通過的電子的能量寬度，eV0為施加于高溫電子源的偏轉(zhuǎn)電壓。

對(duì)定溫和定壓的開放系統(tǒng)，由熱力學(xué)第一定律，同時(shí)聯(lián)立Landauer方程[20]，可以得到過濾器中心能量ER附近很小能量范圍δE內(nèi)電子通過過濾器時(shí)高溫電子源放出的熱量以及低溫電子源吸收的熱量：

式中，

h為Planck常數(shù)，

fC和fH分別為低溫和高溫電子源的費(fèi)米分布

式中，

kB為Boltzmann常數(shù)。

由文獻(xiàn)[2]可知，對(duì)于中心能量為ER、寬度為ΔE的過濾器，電子機(jī)系統(tǒng)存在兩種不同的運(yùn)行模式：中間模式和最大輸出功率模式。

2 中間模式下的EMP性能特性

所謂的中間運(yùn)行模式是熱電子熱機(jī)介于最大輸出功率和可逆運(yùn)行這兩種狀態(tài)之間的一種運(yùn)行方式[2]。在中間模式下，只有能量在中心能量ER附近寬度ΔE范圍內(nèi)的電子才能夠通過過濾器進(jìn)行傳輸。相比前兩種理想狀態(tài)，中間模式對(duì)于電子機(jī)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行運(yùn)行來說更具實(shí)際意義。由圖1可知，在中間模式下，如果系統(tǒng)作為熱機(jī)工作，過濾器中電子的能量并非要求全部高于E0，只需保證中心ER>E0能量即可。

由式（1）和式（2），可得中間模式下高溫電子源的放熱率和低溫電子源的吸熱率分別為

聯(lián)立式（4）和式（5）可得中間模式下ESE熱機(jī)的功率Pi為

在式（4）至式（6）的基礎(chǔ)上，通過引入以下積分函數(shù)

可以得到單位時(shí)間放熱量Q觶H和功率Pi的解析表達(dá)式，分別為

式中rH+/-=（ER±ΔE/2-μH）/（kBTH），rC+/-=（ER±ΔE/2-μC）/（kBTC），f（x）=ln（x）·ln（1+x），f（x）=PolyLog（2，-x）為 Nielsen方程。

由式（10）和式（11）可得到中間模式下內(nèi)可逆ESE熱機(jī)的效率為

式中，τ=TC/TH為電子源的溫比。式（11）和式（12）為中間模式下電子機(jī)的主要性能參數(shù)。在給定TH、μH、μC等參數(shù)的情況下，中間模式下單諧振通道熱電子熱機(jī)的功率Pi、效率ηi是過濾器中心能量ER、能量寬度ΔE和低溫電子源溫度TC的函數(shù)。

由式（11），通過方程組[（墜P/墜ER）TC=0；（墜P/墜TC）ER=0]、[（墜P/墜ER）ΔE=0；（墜P/墜TC）ER=0]、[（墜P/墜ER）TC

=0；（墜P/墜TC）ΔE=0]可以求解出 ESE熱機(jī)功率最大時(shí) ΔE、ER和TC的最優(yōu)值，將其代入式（12）可以得到功率最大時(shí)的效率特性。由于式（11）存在非線性的指數(shù)項(xiàng)，對(duì)功率求最大值所得到的方程組無法得到解析解，因此必須通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行求解。取TH=0.5k、μC/kB=12k、μH/kB=10k，本節(jié)將通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步分析單通道ESE熱機(jī)中間模式下的EMP特性以及設(shè)計(jì)參數(shù)的影響。

圖2 最大功率Pi，max與能量寬度ΔE的特性關(guān)系

圖3 中間模式下EMPηi，EMP與能量寬度ΔE的特性關(guān)系

圖2 和3分別給出了單通道ESE熱機(jī)的最大功率 Pi，max和 EMPηi，EMP隨能量寬度 ΔE 的特性關(guān)系。由圖可知，最大功率Pi，max隨ΔE的增加而單調(diào)增大，而功率最大時(shí)的效率ηi，EMP隨ΔE的增加而單調(diào)減小。在ESE熱機(jī)系統(tǒng)中，只有能量高于E0的電子通過過濾器傳輸才有助于系統(tǒng)對(duì)外做功。ΔE增大時(shí)，更多能量高于E0的電子通過過濾器在電子源之間傳輸，使得電子機(jī)整體的輸出功率增大。最大功率和EMP的不同變化特征表明在實(shí)際設(shè)計(jì)和運(yùn)行中，ΔE需要合理取值以得到功率和效率折衷優(yōu)化。

圖4 中間模式下EMP與卡諾效率的特性關(guān)系

為了更進(jìn)一步分析電子機(jī)系統(tǒng)的EMP特性，圖4給出了單通道ESE熱機(jī)中間模式下的EMP特性與卡諾效率η（CηC=1-TC/TH）的特性關(guān)系，如圖4中曲線1所示。圖4中曲線4的點(diǎn)劃線代表CA效率ηCA=，曲線5代表卡諾效率。通常，ESE熱機(jī)過濾器中心能量和能量寬度的取值都在特定范圍之內(nèi)，系統(tǒng)在中間模式下運(yùn)行，曲線1就代表了ESE熱機(jī)功率最大時(shí)效率的一般特性。對(duì)比曲線1和4可以發(fā)現(xiàn)，卡諾效率ηC較?。═C較大）時(shí)，ηEMP高于熱機(jī)的 CA效率 ηCA；而當(dāng) ηC增大（TC減?。r(shí)，ηEMP會(huì)小于ηCA。圖4中同時(shí)給出了費(fèi)曼棘輪模型[21]和隨機(jī)熱機(jī)模型[22]功率最大時(shí)的效率特性曲線，如圖中曲線2和3所示。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，中間模式下電子機(jī)的EMP特性與費(fèi)曼棘輪和隨機(jī)熱機(jī)EMP特性的變化趨勢(shì)不同，隨著ηC的增加，曲線1與曲線2和3會(huì)相交，且不同類型EMP的大小會(huì)發(fā)生變化，這一差異體現(xiàn)了ESE熱機(jī)與其他熱機(jī)在運(yùn)行機(jī)制上的差別。

由圖2可知，功率最大時(shí)的效率ηi，EMP隨的增加而減小。這意味著當(dāng)在[0，∞]之間變化時(shí)，電子機(jī)的EMP會(huì)取得相應(yīng)的上限和下限值[19]。當(dāng)過濾器能量寬度 ΔE→0時(shí)，電子機(jī)的 EMP 達(dá)到上限值 ηi，EMP+。此時(shí)，過濾器中心能量ER附近很小能量范圍內(nèi)電子通過過濾器時(shí)高溫和低溫電子源熱量的變化由式（1）和式（2）確定。此時(shí)，熱機(jī)的功率和效率分別為

由式（13），令dPi/dER=0可得到功率最大時(shí)的值滿足以下關(guān)系

式中 rH/C=（ER-μH/C）/kBTH/C。式（15）無法求得解析結(jié)果，通過數(shù)值求解出功率最大時(shí)的ER值，將其代入式（14），即可得到此時(shí)的EMP特性，即中間模式下ESE熱機(jī)EMP特性的上限值ηEMP+。

3 最大功率模式下EMP性能特性

由文獻(xiàn)[2]可知，在能量范圍E0

在最大功率模式下，ESE熱機(jī)的輸出功率和效率分別為[2]

式中 r0、a和函數(shù) h（x）分別定義為

給定TH、μH、μC等參數(shù)時(shí)，最大功率模式下電子機(jī)的功率和效率是r0和卡諾效率ηC的函數(shù)。

由式（16），令dPm/dr0=0可以得到功率最大時(shí)的最優(yōu)r0值，其為如下方程的解[2]：

求解式（19）可得的取值為r0=1.144 6。將r0=1.144 6代入式（17）即得到功率最大時(shí)的效率的表達(dá)式[2]

圖5 ESE熱機(jī)EMP與卡諾效率的特性關(guān)系

式中b=1.068 5。由式（20）不難看出，在該模式下，功率最大時(shí)的效率特性只與熱源溫比有關(guān)，而與系統(tǒng)的其他設(shè)計(jì)參數(shù)無關(guān)。這一特性表明，最大輸出功率模式是不同與中間模式的一種極限運(yùn)行方式，而中間模式是一種常態(tài)化的運(yùn)行方式。

通過數(shù)值計(jì)算，可以得到最大輸出功率模式下的EMP隨卡諾效率變化的特性曲線，如圖5中的曲線2所示。由前文的分析可知，EMP隨ΔE的增加而減小，因此，最大功率模式下的EMP，即圖5中的曲線2就代表了電子機(jī)EMP的下限取值范圍。電子機(jī)常態(tài)化運(yùn)行，也就是在中間模式運(yùn)行時(shí)，其EMP總要高于下限值ηEMP-。

到目前為止，我們確定了電子機(jī)在中間模式下的EMP一般特性線，如圖5中曲線1。同時(shí)，基于能量寬度的變化特性和運(yùn)行模式情況，得到了EMP的ηEMP-。ηEMP+和ηEMP-兩條特性線所圍成的區(qū)域即是ESE熱機(jī)功率最大時(shí)效率的有效區(qū)域。為便于對(duì)比，圖5中還給出了文獻(xiàn)[23]所得到的低耗散卡諾熱機(jī)功率最大時(shí)效率的上下取值界限，如圖5中曲線4和5所示。由圖可知，ESE熱機(jī)的下限值ηEMP-僅在卡諾效率ηC較大（TC較小）時(shí)才高于低耗散卡諾熱機(jī)EMP的下限值，這與文獻(xiàn)[19]的結(jié)論相似。而電子機(jī)的一般特性線變化范圍較大，與低耗散卡諾熱機(jī)的EMP特性有著明顯的差異。

4 結(jié)束語

本文基于單諧振通道的內(nèi)可逆熱電子熱機(jī)模型，導(dǎo)出了熱電子熱機(jī)在中間運(yùn)行模式和最大功率運(yùn)行模式下輸出功率和效率的解析表達(dá)式，系統(tǒng)分析了熱機(jī)在這兩種模式下的功率最大時(shí)的效率特性，得到了EMP的一般特性關(guān)系曲線，并與費(fèi)曼棘輪和隨機(jī)熱機(jī)的EMP特性進(jìn)行了比較；確定了過濾器中心能量位置和能量寬度對(duì)EMP特性的影響特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)ESE熱電子熱機(jī)功率最大時(shí)的效率都隨過濾器中心能量和能量寬度的增加而減小，并由此確定了EMP的上下取值界限。分析表明電子機(jī)EMP特性具有獨(dú)特性，變化范圍較較廣。

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