趙 寧，李 亮，杜彥華

（北京科技大學 機械工程學院，北京 100083）

0 引言

煉鋼—連鑄是將鐵水等原料通過煉鋼轉化為液態(tài)鋼水，再通過精煉和連鑄轉化為固態(tài)鋼坯的生產(chǎn)過程。該過程的加工對象是煉鋼后放在鋼包中的鋼水，因此煉鋼—連鑄生產(chǎn)調度一般以煉鋼爐中的鋼水為調度對象，稱為爐次。煉鋼—連鑄生產(chǎn)調度計劃是在批量計劃的基礎上，以爐次為最小計劃單位，在滿足溫度、連鑄等約束的前提下，追求綜合評價函數(shù)，如等待時間最小、提前／拖期費用和總流程時間最少等最佳情況下的一類排序問題［1］。相對其他調度問題，煉鋼—連鑄調度存在約束多、節(jié)拍緊的特點，被認為是最難的流水車間調度問題之一［2］。煉鋼—連鑄調度問題具有很高的研究價值與實用價值，也有很多優(yōu)化目標，其中最小化總流程時間（Makespan）是相對最重要的優(yōu)化目標，并吸引著眾多研究者參與其中。

早期關于煉鋼—連鑄調度的研究側重于機器調度，即通過計算機和算法快速尋找最優(yōu)或滿意的調度解。因此，機器調度又可分為最優(yōu)和近優(yōu)兩大類，最優(yōu)方法包括整數(shù)規(guī)劃法［3］和拉格朗日算法［4］等，它們大都是以遍歷問題的所有可行解為手段，適合規(guī)模小、約束條件少的調度計劃編制問題；近優(yōu)方法包括蜂群算法［5］、遺傳算法［6］、粒子群算法［7］和鄰域搜索方法［8］等，這些近優(yōu)方法得到的結果雖然不一定最優(yōu)，但是計算的效率高，對解決大規(guī)模調度問題很有效。

盡管機器調度已經(jīng)取得了很多研究成果［3-8］，但在實際的煉鋼—連鑄生產(chǎn)調度時，仍存在很多需要依靠經(jīng)驗的情形，具體表現(xiàn)在：

（1）煉鋼調度存在一些經(jīng)驗規(guī)則，如盡量將相似鋼種安排在同一設備、盡量將鋼水安排在以往質量較穩(wěn)定的設備、鋼水等待時間盡量少、盡量考慮設備維護的影響等。這些規(guī)則并非在每次調度時都要遵守，在實際生產(chǎn)時仍要依據(jù)不同的鋼種、不同的生產(chǎn)狀況由調度員憑經(jīng)驗掌握。

（2）實際生產(chǎn)的狀況千變萬化，目前的調度模型難以涵蓋生產(chǎn)現(xiàn)場隨時可能提出的各種調度需求，當機器調度難以滿足需求時，仍要依賴調度員的經(jīng)驗調度。

因此很多文獻都指出，在目前的煉鋼—連鑄調度中，調度員的經(jīng)驗仍不可替代［9-12］。很多學者在煉鋼—連鑄調度領域開展人機協(xié)同調度的研究，取得了一些成果［9-14］，并已經(jīng)在一些鋼廠獲得實際應用，產(chǎn)生了經(jīng)濟效益。但這些方法仍存在如下不足：

（1）人工調度和機器調度分工明確、各自為政，調度員可以干預調度結果，但無法涉足優(yōu)化過程，調度員難以參與各種優(yōu)化算法的運算過程，調度算法也難以與調度員的經(jīng)驗相結合。

（2）這些方法都是由機器調度產(chǎn)生一個初始解，再由調度員憑借經(jīng)驗對調度解加以調整。煉鋼—連鑄調度存在緊前約束、設備資源約束、連鑄約束和運輸時間約束等調度約束，在調整過程中調度員不得不投入大量精力來滿足這些調度約束，影響人機協(xié)同的調度效率。

本文針對以上問題提出一種多階段人機協(xié)同調度方法（Multi-Stage Man Machine Cooperated scheduling method，MSMMC），該方法提供了調度員參與優(yōu)化過程的接口，可以將機器調度的特點與調度員的經(jīng)驗相結合，通過人機協(xié)同的方式實現(xiàn)調度解的調整和優(yōu)化。與已有方法相比，本文所提方法具有以下優(yōu)勢：

（1）使調度員更容易理解機器調度過程并參與其中，從而更好地發(fā)揮調度經(jīng)驗的優(yōu)勢。

（2）可訓練并增強人的調度能力，當出現(xiàn)機器調度難以處理的情形時，人工調度會發(fā)揮更多優(yōu)勢。

2 多階段調度優(yōu)化

本文的主要目標是縮短整個調度計劃的完工時間Makespan。建立調度數(shù)學模型如下：

其中：i為爐次序號；Ω 為沒有澆鑄結束的爐次的集合，i∈Ω，|Ω|為爐次總數(shù)；n為澆次號，N 為澆次數(shù)，n=1，2，…，N；Ωn為第n 澆次中沒有澆鑄結束的爐次集合，Ω1∩Ω2∩… ∩ΩN=?，且Ω1∪Ω2∪… ∪ΩN=Ω；Si為爐次i的工序總數(shù)，由于精煉總數(shù)的不同，所有爐次計劃的工序總數(shù)不完全相同；j為工序序號，1≤j≤Si；Θ′i為爐次i的所有工序集合；Θi為爐次i沒有開始生產(chǎn)的工序集合；M 為機器總臺數(shù)；k為機器序號，1≤k≤M；kij為爐次i工序j所在的機器序號；stijk為 爐次i工序j 在機器k上的加工開始時間；Xijk為爐次i工序j 在機器k 上調度優(yōu)化后的加工開始時間，選為模型的決策變量；ptijk為爐次i在工序j的機器k 上的工藝加工時間；tmax為鋼包在兩工序間的最大等待時間；tmin為鋼包在兩工序間的最小等待時間；utkk′為爐次從機器k到機器k′的運輸時間；SI（i，j，k）為爐次i在工序j的機器k上的緊后爐次。

式（1）為目標函數(shù)，即調度計劃的完工時間最短；式（2）表示在同一臺設備上相鄰爐次間要等到前一爐次加工完后才可進行下一爐次的加工；式（3）表示同一爐次相鄰工序間要等到前一工序加工完后才可進行下一工序的加工；式（4）表示同一爐次的相鄰工序在進行設備間運輸?shù)倪^程中，運輸時間必須在一定范圍內，否則會導致鋼水溫度不滿足溫度約束；式（5）表示同屬一個澆次的爐次在連鑄機上加工時要保證連續(xù)生產(chǎn)約束，否則會導致斷澆事故；式（6）表示每爐次的開始時間應大于等于0。

以上模型表達了本文所考慮的煉鋼—連鑄調度的優(yōu)化目標和約束條件。此處假定所有爐次可在任一并行機上加工，則調度的內容是確定所有爐次的加工設備、先后次序和開始時間，在滿足所有約束條件的基礎上使總加工周期最短。以上模型雖然表達了煉鋼—連鑄調度的約束和目標，但是無法描述前文所述的依靠調度經(jīng)驗的情形。這些情形較難納入調度模型中考慮，在實際生產(chǎn)中一般都需調度員憑借經(jīng)驗手動調整。

為了使機器調度與手工調度能夠優(yōu)勢互補，有必要設計一種便于調度員理解和參與的調度算法，使調度經(jīng)驗能夠融入機器調度過程中。因此，本文設計了MSMMC，該方法借鑒經(jīng)典調度中的鄰域搜索和關鍵路徑方法。其基本思路是先產(chǎn)生一個初始調度解，再根據(jù)該調度解的關鍵路徑對該調度解進行鄰域搜索，調度員可參與機器搜索過程并在搜索過程中添加約束，通過人機協(xié)同調度直至找到滿意的調度解。MSMMC 的優(yōu)化調度過程具體分為如下幾個階段：

（1）第一階段 以手動調度或其他自動調度方式生成初始調度解。

（2）第二階段 調度員判斷調度解是否滿足要求，如果不滿意則可憑借經(jīng)驗手動調整工序所在的煉鋼、精煉設備以及工序加工順序，系統(tǒng)采用貪心和反貪心算法對人工調整解進行自動修正，在滿足各項約束的基礎上盡量縮短生產(chǎn)周期。

（3）第三階段 采用極值法對關鍵路徑進行鄰域搜索，并采用約束聯(lián)動方法獲得滿足約束的優(yōu)化解。調度員評價優(yōu)化解的生產(chǎn)周期是否滿意，如果滿意則調度結束；否則可再次對優(yōu)化解進行人工調整，然后重復該階段直至滿意。MSMMC 調度過程如圖1所示。

在圖1所示的MSMMC優(yōu)化過程中，人工調整是第二階段和第三階段的核心。人工調整的方法有調整工序、加工順序、調整工序設備、調整工序開始時間等。此處采取的是基于關鍵路徑的鄰域搜索方法，其搜索過程相對更容易被調度員理解，而調度員在人工調整過程中只需考慮需要憑借調度經(jīng)驗解決的問題，調度模型中的約束則由機器加以保障。當人工調度結束后，系統(tǒng)再不斷以調度員的調整解為基礎進行新一輪鄰域優(yōu)化，直至獲得滿意的調度解。與以往的方法相比，多階段人機優(yōu)化調度方法在優(yōu)化過程上提供了多個調度員的參與點，從而能將調度經(jīng)驗更好地融入優(yōu)化過程，實現(xiàn)機器和調度經(jīng)驗的優(yōu)勢互補。特別地，如果不需要調度經(jīng)驗干預，則可在多階段人機優(yōu)化調度過程中跳過人工調整，進行下一輪鄰域搜索，從而起到快速尋優(yōu)的效果。

3 關鍵技術

下面依次對多階段人機協(xié)同調度過程中存在的關鍵技術進行說明。

3.1 貪心算法與反貪心算法

貪心算法是根據(jù)給定的調度方案，計算每道工序的開始加工時間，通過縮短同臺設備上工序與工序間的間隔時間，使工序的可開始加工時間變得最早，通過該策略對調度解進行修正，使調度解滿足約束并變得更為緊湊。以爐次i的工序j 為例，在計算最早開始加工時間時，需要按照以下公式進行計算：

式中：i′和j′分別表示與爐次i的工序j 安排在同一設備上相鄰的前序爐次，表示爐次i 的第j 道工序的最早開始加工時間，表示爐次i 的第j 道工序的完工時間。式（7）表達了最早開始時間等于該爐次上一工序的結束時間加最短運輸時間與同一設備上一工序結束時間的最大值，式（8）表示最早結束時間可由最早開始時間與加工時間之和求得。

算法1 貪心算法。

步驟1 按式（7）和式（8）計算爐次i工序j 的開始時間和結束時間。

步驟2 j=j+1，按式（7）和式（8）計算下一工序的開始時間和結束時間，直至遍歷爐次i的所有工序。

步驟3 針對與爐次i的工序j 同一設備的下一工序，按式（7）和式（8）計算開始時間和結束時間，直至遍歷爐次i的工序j 同設備的所有后續(xù)工序。

可見，貪心算法是在保證緊前約束和設備資源約束的基礎上獲得最早可開始時間，并將每一工序按其最早可開始時間調度，從而使Makespan 盡可能短。同理，反貪心算法則是由最后一道工序的開始時間推算，在保證緊前約束和設備資源約束的基礎上依次獲得以上每道工序的最晚可開始時間，并將每一工序按其最晚可開始時間進行調度，反貪心算法與貪心算法的計算過程則完全相反，這里不再贅述。貪心算法忽視了連鑄約束和運輸時間約束，追求最早可開始時間，可用于Makespan 的優(yōu)化；而反貪心算法則用于確保連鑄約束和運輸時間約束，可用于優(yōu)化后的人工調整。

3.2 基于關鍵路徑的鄰域搜索

關鍵路徑是指煉鋼—連鑄調度計劃中對整個調度計劃影響最大的加工路徑，通過對關鍵路徑進行領域搜索，可以有效提高搜索效率。根據(jù)已知的調度方案選擇出最后完工的爐次工序，利用逆推法決定關鍵路徑，通過交換關鍵塊中的工序次序和更換連鑄設備實現(xiàn)鄰域搜索。

逆推法首先將最后完工工序設為關鍵工序，再將關鍵工序所在設備的前驅工序和同一爐次的前驅工序進行比較，取結束時間較大的前驅工序作為下一個關鍵工序，依次類推，直至找到開始時間最早的工序。按照這一方法可以得到一條對整個調度計劃影響較大的關鍵路徑。在逆推過程中，如果遇到設備前驅工序的結束時間與爐次前驅工序的結束時間相等，則取爐次前驅工序作為下一個關鍵工序，這是因為爐次前驅工序約束等級高于設備約束等級。

本文將鄰域分為鄰域由關鍵路徑?jīng)Q定和鄰域由鑄機選擇決定兩部分。其中關鍵路徑鄰域搜索的基本思路是：根據(jù)逆推法可獲得任一調度方案的關鍵路徑，更換關鍵路徑中的工序順序、獲得新的調度方案，新調度方案即為舊調度方案的鄰域。在得到的關鍵路徑中必定包括了轉爐設備的工序塊、精煉設備的工序塊和連鑄機設備的工序塊，在關鍵路徑中放置于轉爐和精煉設備上并受設備資源約束限制的連續(xù)工序稱為關鍵塊。關鍵塊中的工序兩兩置換后得到的新調度解稱為原調度解的鄰域。如果關鍵塊中只有一道關鍵工序，則不需要交換，如果關鍵塊中有兩道以上關鍵工序，則依次進行兩兩交換。在所有關鍵塊都交換完畢后得到的鄰域解中取最優(yōu)解，如果最優(yōu)鄰域解優(yōu)于原調度解，則保留最優(yōu)鄰域解并開始新一輪鄰域交換，反之則搜索完畢。

鑄機選擇鄰域搜索是本文定義的另一鄰域搜索方法，僅將鑄機選擇作為搜索范疇主要基于如下考慮：

（1）鑄機是煉鋼過程的最后一臺設備，因此鑄機選擇對生產(chǎn)周期有直接影響。

（2）如果將所有設備的選擇都作為鄰域搜索的范疇，則會極大地增加搜索空間，影響搜索速度，導致調度人員等待時間過長，影響人機協(xié)同效果。

本文僅將連鑄設備的選擇納入鄰域搜索，煉鋼、精煉設備的選擇通過人工調整完成。當然，調度員也可對機器選擇的鑄機進行手動調整，但此時最終調度方案的生產(chǎn)周期可能會比機器搜索方案的生產(chǎn)周期更長。

鑄機選擇鄰域搜索的基本思路是采用極值優(yōu)化（Extremal Optimization，EO）方法，該方法是受復雜系統(tǒng)自組織臨界進化模型的啟發(fā)形成的一種啟發(fā)式智能算法［16］。EO 方法的基本出發(fā)點是將問題分解成低耦合度的局部變量，考查各變量對解的貢獻，并將其量化為適應度。對適應度最低的變量取值進行修改，使其適應度提高，從而提高解的質量。

算法2 EO 算法。

步驟1 找出調度方案中最晚完工的機器，令其為M1。

步驟2 找到M1 的末道工序，將其定義為當前工序A。

步驟3 在A 的可加工機器集合上找到最早結束加工的機器，令其為M2。根據(jù)不同情形，將工序A 變換到M2設備上，變換時依據(jù)式（2）和式（3）計算變換工序的開始時間和結束時間。

（1）若設備M2的末道工序B 的結束時間小于A 的開始加工時間，則直接將設備M1上的末道工序A 排在B的后面。如圖2所示。

（2）若M2上的末道工序B 的結束時間大于等于A 的開始時間，則從設備M2的末道工序開始向前查找加工時間小于A 的加工時間的工序，然后進行交換。如圖3所示。

（3）如果B的加工時間小于A 的加工時間，則把A 與B進行交換。如果B 的加工時間大于等于A 的加工時間，則在設備M2上從B 開始向前尋找加工時間小于A 的工序C，然后進行交換。如圖4所示。

步驟4 判斷變換后的新方案，若仍存在上述三種情形，則轉步驟3，否則算法結束。

在以上兩種鄰域搜索方法的基礎上，對任一初始解，依次結合關鍵路徑法和EO 算法進行鄰域搜索，每次都會得到一個完工時間更小的新調度方案。新調度方案又會產(chǎn)生新的關鍵路徑，可進一步通過關鍵路徑和鑄機選擇搜索更優(yōu)的新調度方案。如此循環(huán)，當完工時間不再縮小時搜索結束。值得一提的是，如果調度員不滿意，則可在結果的基礎上調整煉鋼和精煉設備的選擇，調整之后的鄰域搜索可望獲得更好的結果。

3.3 基于約束的聯(lián)動調整

在通過關鍵路徑搜索得到優(yōu)化解的基礎上，考慮約束模型中的緊前約束、設備資源約束、連鑄約束和運輸時間約束，在保證上述約束的基礎上實現(xiàn)調度解的聯(lián)動調整，從而減輕調度員的負擔。具體的聯(lián)動調整步驟如下：

算法3 約束聯(lián)動調整算法。

步驟1 針對調度員調整后的結果，按加工順序遍歷所有爐次的所有工序。

步驟2 對遍歷工序按照式（2）和式（3）進行緊前和設備資源約束判定，對有約束沖突的工序按貪心算法進行調整，以滿足約束。

步驟3 針對上述調整結果，按反向加工順序遍歷所有爐次的所有工序。

步驟4 對遍歷工序按照式（4）進行連鑄約束判定，對不滿足連鑄約束的按反貪心算法調整鑄機工序。

步驟5 對遍歷工序按照式（5）進行運輸時間約束判定，對不滿足約束的按運輸時間調整算法進行調整。

其中步驟5的運輸時間調整算法如下：

算法4 運輸時間調整算法。

步驟1 先進行精煉爐到連鑄機的運輸時間調整，對精煉爐上的工序，從每臺精煉設備上的末道工序開始，依次進行設備前驅工序前推。

步驟2 根據(jù)精煉爐上工序的結束時間和該工序的后繼工序開始時間進行差值計算，設差值為ΔT。如果ΔT ＞tmax，則進行精煉爐上該工序的后移，后移值為ΔT-tmin。

步驟3 調整完精煉爐后，利用相同的原理調整轉爐到精煉爐的運輸時間。按連鑄機工序順序前移，轉步驟1，直至遍歷所有鑄機工序。

以圖5為例說明算法4的思路。從圖5可以看出：1-12-2到1-12-3的運輸輔助時間ΔT ＞tmin，因此1-12-2號工序需要進行調整。將1-12-2道工序的開始時間加上ΔT-tmin，使得該工序的結束時間與后續(xù)工序開始時間的時間差為tmin，從而保證了約束模型中運輸時間的限制和計劃的可行性。

4 實例分析及性能測試

基于上述內容開發(fā)了煉鋼—連鑄調度系統(tǒng)，并進行了實例分析和性能測試。

4.1 實例分析

以文獻［15］中機器調度的最終優(yōu)化結果對比說明本文方法。在該實例中的生產(chǎn)工藝路線為轉爐、精煉和連鑄，使用轉爐2臺、精煉爐3臺、連鑄機3臺，針對一個澆次的18爐鋼進行生產(chǎn)計劃調度。在調度系統(tǒng)中建立文獻［15］最終的優(yōu)化結果，如圖6所示。

以該結果為初始解，利用貪心算法進行方案的初步調度優(yōu)化，得到的結果如圖7所示。

可以看出，貪心算法計算后的方案在完工時間上雖然較之前的方案沒有改進，但大幅提前了煉鋼和精煉階段工序的開始時間，在此基礎上可進一步通過關鍵路徑法優(yōu)化。圖7中的關鍵路徑為1-1-1，1-3-1，1-3-2，1-3-3，1-6-3，1-9-3，1-12-3，1-15-3，1-18-3，如圖8所示。

對圖8中關鍵路徑所形成的鄰域進行搜索并進行約束聯(lián)動調整，優(yōu)化結果與圖8一致，調度員去除等待時間約束的優(yōu)化結果如圖9所示。

由圖9可見，優(yōu)化后的生產(chǎn)周期比初始解減少了15min，但造成第2，4，6，8，10，14等多個爐次的轉爐結束時間與精煉開始時間的差距過大，雖然滿足了運輸時間約束，但整體等待時間過大會造成溫度損耗并給生產(chǎn)帶來隱患。因此，圖9 結果與圖6結果相比，雖然生產(chǎn)周期更優(yōu)，但整體衡量未必更好，這從另一方面也說明了文獻［15］的機器調度結果在2臺轉爐情況下已較優(yōu)，而本文方法可達到文獻［15］的同等效果。

假設此時調度條件發(fā)生變化，生產(chǎn)現(xiàn)場要求將17，18爐次轉做方坯，同時要求生產(chǎn)周期盡量縮短，調度員可憑借調度經(jīng)驗（考慮鋼種類似、等待時間較多的爐次）在圖9的基礎上手動調整3，6，9，12，15，17，18等工序的加工設備，利用貪心算法修正后的結果如圖10所示。

由圖10可見，人工調整后使用了轉爐3和方坯鑄機1，生產(chǎn)周期比初始方案縮短了75 min。在人工調整的基礎上進一步利用鄰域搜索優(yōu)化，再用約束聯(lián)動方法修補約束后的調度結果，如圖11所示。

圖11所示結果的生產(chǎn)周期比初始方案提前90 min，同時各爐次間滿足等待時間約束。如果該方案仍不滿足要求或生產(chǎn)現(xiàn)場提出新的調度要求，則可再次利用人工調整，結合機器調度算法進行新一輪優(yōu)化，直到滿意為止。

4.2 性能測試

在人機結合調度過程中，機器算法的運算效率對人機結合調度的效果有較大影響。為了檢驗本文算法的響應速度，針對爐數(shù)在10爐～30 爐的調度計劃隨機生成不同的初始解，對初始解進行算法優(yōu)化并對算法效率進行測試，測試結果如圖12所示。

從圖12可以看出，算法運算時間會隨爐次的增加而增加，但在30爐時最長也不超過10s，在人能夠承受的等待時間范圍內。此外，由第15 爐和26爐的對應時間可知，算法運算時間并不平滑，這一現(xiàn)象可能是由不同的初始解造成的。對于是否會有個別初始解造成運算時間非常長的情況，以18爐鋼為例，隨機形成30個不同的初始調度方案，實驗結果如圖13所示。結果顯示，18爐鋼的算法執(zhí)行時間平均為2s，最長時間不超過8s，整體仍處于可承受范圍之內。因此，算法具有較好的計算效率，在人機協(xié)同過程中不會導致調度員等待較長時間。

5 結束語

本文針對煉鋼—連鑄調度問題提出一種多階段人機協(xié)同調度方法。該方法以最小完工時間為目標，采用最早完工貪心算法進行初優(yōu)化，再結合關鍵路徑和鄰域搜索方法進行優(yōu)化，調度員憑借經(jīng)驗可干預優(yōu)化過程，從而更快地獲得滿意調度解。通過實例表明，本文提出的多階段人機協(xié)同調度方法可以充分發(fā)揮調度人員的經(jīng)驗，能夠獲得更好的調度解。算法性能測試表明，本文提出的機器調度算法具有較好的計算性能，能夠配合調度員快速有效地對調度方案進行優(yōu)化。

目前本文工作還停留在煉鋼—連鑄的靜態(tài)調度階段，而動態(tài)調度是更能發(fā)揮人機協(xié)同優(yōu)勢的調度領域。因此，開展人機協(xié)同動態(tài)調度的研究將是未來的研究方向。

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